Électrostatique

L'électrostatique est une branche de la physique qui étudie les charges électriques lentes ou stationnaires .

Depuis l'Antiquité , on sait que certains matériaux, comme l'ambre , attirent les particules légères après frottement . Le mot grec pour ambre, ἤλεκτρον ( ḗlektron ), est ainsi à l' origine du mot électricité . Les phénomènes électrostatiques naissent des forces que les charges électriques exercent les unes sur les autres. Ces forces sont décrites par la loi de Coulomb .

Il existe de nombreux exemples de phénomènes électrostatiques, depuis des phénomènes aussi simples que l'attraction d'un film plastique sur la main après l'avoir retiré de son emballage, jusqu'à l'explosion apparemment spontanée de silos à grains, l'endommagement de composants électroniques pendant la fabrication ou le fonctionnement d'un photocopieur ou d'une imprimante laser .

Le modèle électrostatique prédit avec précision les phénomènes électriques dans les cas « classiques » où les vitesses sont faibles et le système est macroscopique, de sorte qu'aucun effet quantique n'est impliqué. Il joue également un rôle en mécanique quantique, où des termes supplémentaires doivent également être inclus.

La loi de Coulomb stipule que :

L'amplitude de la force électrostatique d'attraction ou de répulsion entre deux charges ponctuelles est directement proportionnelle au produit des amplitudes des charges et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.

La force s'exerce le long de la droite qui les relie. Si les deux charges ont le même signe, la force électrostatique entre elles est répulsive ; si elles ont des signes différents, la force entre elles est attractive.

Si est la distance (en mètres ) entre deux charges, alors la force entre deux charges ponctuelles et est :

où ε ₀ =8,854 187 8188 (14) × 10 ⁻¹² F⋅m ⁻¹ ‍ [ est la permittivité du vide .

L' unité SI de ε ₀ est de manière équivalente A ² ⋅ s ⁴ ⋅kg ⁻¹ ⋅m ⁻³ ou C ² ⋅ N ⁻¹ ⋅m ⁻² ou F ⋅m ⁻¹ .

Le champ électrique, en unités de Newtons par Coulomb ou de volts par mètre, est un champ vectoriel qui peut être défini partout, sauf à l'emplacement des charges ponctuelles (où il diverge vers l'infini). Il est défini comme la force électrostatique sur une petite charge d'essai hypothétique au point due à la loi de Coulomb, divisée par la charge

Les lignes de champ électrique sont utiles pour visualiser le champ électrique. Les lignes de champ commencent sur une charge positive et se terminent sur une charge négative. Elles sont parallèles à la direction du champ électrique en chaque point, et la densité de ces lignes de champ est une mesure de l'amplitude du champ électrique en un point donné.

Un ensemble de particules de charge , situées à des points (appelés points sources ), génère le champ électrique en (appelé point de champ ) de :

où est le vecteur de déplacement d'un point source vers le point de champ , et est le vecteur unitaire du vecteur de déplacement qui indique la direction du champ dû à la source au point . Pour une seule charge ponctuelle, , à l'origine, la grandeur de ce champ électrique est et pointe dans la direction opposée à cette charge si elle est positive. Le fait que la force (et donc le champ) puisse être calculée en additionnant toutes les contributions dues aux particules sources individuelles est un exemple du principe de superposition . Le champ électrique produit par une distribution de charges est donné par la densité de charge volumique et peut être obtenu en convertissant cette somme en une intégrale triple :

La loi de Gauss stipule que « le flux électrique total à travers toute surface fermée dans l'espace libre de toute forme dessinée dans un champ électrique est proportionnel à la charge électrique totale enfermée par la surface ». De nombreux problèmes numériques peuvent être résolus en considérant une surface gaussienne autour d'un corps. Mathématiquement, la loi de Gauss prend la forme d'une équation intégrale :

où est un élément de volume. Si la charge est distribuée sur une surface ou le long d'une ligne, remplacer par ou . Le théorème de divergence permet d'écrire la loi de Gauss sous forme différentielle :

où est l' opérateur de divergence .

La définition du potentiel électrostatique, combinée à la forme différentielle de la loi de Gauss (ci-dessus), fournit une relation entre le potentiel Φ et la densité de charge ρ :

Cette relation est une forme d' équation de Poisson . En l'absence de charge électrique non appariée, l'équation devient l'équation de Laplace :

La validité de l'approximation électrostatique repose sur l'hypothèse que le champ électrique est irrotationnel :

D'après la loi de Faraday , cette hypothèse implique l'absence ou la quasi-absence de champs magnétiques variant dans le temps :

En d'autres termes, l'électrostatique ne nécessite pas l'absence de champs magnétiques ou de courants électriques. Au contraire, si des champs magnétiques ou des courants électriques existent , ils ne doivent pas changer avec le temps, ou dans le pire des cas, ils ne doivent changer avec le temps que très lentement . Dans certains problèmes, l'électrostatique et la magnétostatique peuvent être nécessaires pour des prédictions précises, mais le couplage entre les deux peut toujours être ignoré. L'électrostatique et la magnétostatique peuvent toutes deux être considérées comme des limites galiléennes non relativistes de l'électromagnétisme. De plus, l'électrostatique conventionnelle ignore les effets quantiques qui doivent être ajoutés pour une description complète.

Comme le champ électrique est irrotationnel , il est possible de l'exprimer comme le gradient d'une fonction scalaire, , appelée potentiel électrostatique (également appelé tension ). Un champ électrique, , pointe des régions de potentiel électrique élevé vers des régions de potentiel électrique faible, exprimées mathématiquement comme

Le théorème du gradient peut être utilisé pour établir que le potentiel électrostatique est la quantité de travail par unité de charge nécessaire pour déplacer une charge d'un point à un autre avec l' intégrale de ligne suivante :

À partir de ces équations, nous voyons que le potentiel électrique est constant dans toute région pour laquelle le champ électrique disparaît (comme cela se produit à l’intérieur d’un objet conducteur).

L'énergie potentielle d' une particule test , , peut être calculée à partir d'une intégrale de ligne du travail, . Nous intégrons à partir d'un point à l'infini, et supposons qu'un ensemble de particules de charge , sont déjà situées aux points . Cette énergie potentielle (en Joules ) est :

où est la distance de chaque charge par rapport à la charge test , qui est située au point , et est le potentiel électrique qui serait à si la charge test n'était pas présente. Si seulement deux charges sont présentes, l'énergie potentielle est . L' énergie potentielle électrique totale due à un ensemble de N charges est calculée en assemblant ces particules une à une :

où la somme suivante de j = 1 à N exclut i = j :

Ce potentiel électrique est celui qui serait mesuré si la charge était manquante. Cette formule exclut évidemment l'énergie (infinie) qui serait nécessaire pour assembler chaque charge ponctuelle à partir d'un nuage de charges dispersées. La somme des charges peut être convertie en une densité de charge intégrale en utilisant la prescription :

Cette deuxième expression de l'énergie électrostatique utilise le fait que le champ électrique est le gradient négatif du potentiel électrique, ainsi que les identités du calcul vectoriel d'une manière qui ressemble à une intégration par parties . Ces deux intégrales pour l'énergie du champ électrique semblent indiquer deux formules mutuellement exclusives pour la densité d'énergie électrostatique, à savoir et ; elles donnent des valeurs égales pour l'énergie électrostatique totale uniquement si les deux sont intégrées sur tout l'espace.

Sur un conducteur , une charge de surface va subir une force en présence d'un champ électrique . Cette force est la moyenne du champ électrique discontinu au niveau de la charge de surface. Cette moyenne en termes de champ juste à l'extérieur de la surface s'élève à :

Cette pression tend à attirer le conducteur dans le champ, quel que soit le signe de la charge de surface.