Worldlex Wiki En mathématiques , une solution étrangère (ou solution fallacieuse ) est une solution qui émerge de la résolution d'un problème mais qui n'est pas une solution valide. Une solution manquante est une solution valide perdue au cours du processus de résolution. Ces deux situations résultent fréquemment d'opérations non inversibles pour certaines ou toutes les valeurs des variables impliquées, ce qui empêche la chaîne d'implications logiques d'être bidirectionnelle.
Solutions étrangères : multiplication
Un des principes fondamentaux de l'algèbre est que l'on peut multiplier les deux membres d'une équation par une même expression sans en modifier les solutions. Cependant, à proprement parler, cela n'est pas vrai, car la multiplication par certaines expressions peut introduire de nouvelles solutions qui n'existaient pas auparavant. Par exemple, considérons l'équation suivante :
Si nous multiplions les deux côtés par zéro, nous obtenons :
Ceci est vrai pour toutes les valeurs de
Plus subtilement, supposons que nous prenions la même équation et multipliions les deux côtés par
Cette équation du second degré possède deux solutions :
En général, lorsqu'on multiplie les deux membres d'une équation par une expression contenant des variables, on introduit des solutions étrangères là où cette expression est égale à zéro. Mais il ne suffit pas d'exclure ces valeurs, car elles peuvent être des solutions légitimes de l'équation initiale. Par exemple, supposons que l'on multiplie les deux membres de notre équation initiale.
qui n'a qu'une seule véritable solution :
Solutions étrangères : rationnelles
Des solutions étrangères peuvent apparaître naturellement dans les problèmes impliquant des fractions avec des variables au dénominateur. Par exemple, considérons cette équation :
Pour commencer la résolution, on multiplie chaque membre de l'équation par le plus petit dénominateur commun de toutes les fractions qui la composent. Dans ce cas, le plus petit dénominateur commun est
La résolution de ce problème donne l'unique solution
L'équation devient alors :
Cette équation n'est pas valide, car on ne peut pas diviser par zéro . Par conséquent, la solution
Dans cet exemple précis, on pourrait constater que (pour la valeur
Solutions manquantes : division
Les solutions superflues ne posent pas de difficultés majeures, car il suffit de vérifier la validité de toutes les solutions. En revanche, les solutions manquantes sont plus insidieuses ; elles peuvent survenir lors d’opérations sur des expressions invalides pour certaines valeurs de ces expressions.
Par exemple, si nous devions résoudre l'équation suivante, la solution correcte s'obtient en soustrayant
Par analogie, on pourrait supposer que l'on peut résoudre l'équation suivante en soustrayant
La solution
Il est généralement possible (et conseillé) d'éviter de diviser par une expression pouvant être nulle ; toutefois, lorsque cela est nécessaire, il suffit de s'assurer que les valeurs des variables qui annulent l'expression ne satisfont pas non plus l'équation initiale. Par exemple, supposons que nous ayons l'équation suivante :
Il est valable de diviser les deux côtés par
Ceci est valable car la seule valeur de
Dans certains cas, certaines solutions ne nous intéressent pas ; par exemple, nous pouvons ne vouloir que des solutions où
Autres opérations
La multiplication et la division ne sont pas les seules opérations susceptibles de modifier l'ensemble des solutions. Prenons par exemple le problème suivant :
Si nous prenons la racine carrée positive des deux côtés, nous obtenons :
Nous ne prenons pas ici la racine carrée de valeurs négatives, puisque les deux
Cette équation possède les mêmes deux solutions que l'équation originale :
On peut également modifier l'ensemble des solutions en élevant les deux membres au carré, car cela rendra positives toutes les valeurs négatives dans les plages de l'équation, ce qui entraînera des solutions étrangères.