Séquence de Farey

Diagramme de Farey vers F ₉ représenté par des arcs de cercle. Dans l'image SVG, passez la souris sur une courbe pour la mettre en surbrillance ainsi que ses termes.

En mathématiques , la suite de Farey d'ordre n est la suite de fractions complètement réduites , soit comprises entre 0 et 1, soit sans cette restriction, qui, dans leurs termes les plus simples, ont des dénominateurs inférieurs ou égaux à n , classés par ordre de taille croissante.

Avec la définition restreinte, chaque séquence de Farey commence par la valeur 0, désignée par la fraction ⁠0/1⁠ , et se termine par la valeur 1, désignée par la fraction ⁠1/1( bien que certains auteurs omettent ces termes).

Une suite de Farey est parfois appelée série de Farey , ce qui n'est pas tout à fait correct, car les termes ne sont pas additionnés.

Exemples

Les suites de Farey d'ordres 1 à 8 sont :

F ₁ = { ⁠0/1⁠ _, ⁠1/1⁠ }

F ₂ = { ⁠0/1⁠ _, ⁠1/2⁠ _, ⁠1/1⁠ }

F ₃ = { ⁠0/1⁠ _, ⁠1/3⁠ _, ⁠1/2⁠ _, ⁠2/3⁠ _, ⁠1/1⁠ }

F ₄ = { ⁠0/1⁠ _, ⁠1/4⁠ _, ⁠1/3⁠ _, ⁠1/2⁠ _, ⁠2/3⁠ _, ⁠3/4⁠ _, ⁠1/1⁠ }

F ₅ = { ⁠0/1⁠ _, ⁠1/5⁠ _, ⁠1/4⁠ _, ⁠1/3⁠ _, ⁠2/5⁠ _, ⁠1/2⁠ _, ⁠3/5⁠ _, ⁠2/3⁠ _, ⁠3/4⁠ _, ⁠4/5⁠ _, ⁠1/1⁠ }

F ₆ = { ⁠0/1⁠ _, ⁠1/6⁠ _, ⁠1/5⁠ _, ⁠1/4⁠ _, ⁠1/3⁠ _, ⁠2/5⁠ _, ⁠1/2⁠ _, ⁠3/5⁠ _, ⁠2/3⁠ _, ⁠3/4⁠ _, ⁠4/5⁠ _, ⁠5/6⁠ _, ⁠1/1⁠ }

F ₇ = { ⁠0/1⁠ _, ⁠1/7⁠ _, ⁠1/6⁠ _, ⁠1/5⁠ _, ⁠1/4⁠ _, ⁠2/7⁠ _, ⁠1/3⁠ _, ⁠2/5⁠ _, ⁠3/7⁠ _, ⁠1/2⁠ _, ⁠4/7⁠ _, ⁠3/5⁠ _, ⁠2/3⁠ _, ⁠5/7⁠ _, ⁠3/4⁠ _, ⁠4/5⁠ _, ⁠5/6⁠ _, ⁠6/7⁠ _, ⁠1/1⁠ }

F ₈ = { ⁠0/1⁠ _, ⁠1/8⁠ _, ⁠1/7⁠ _, ⁠1/6⁠ _, ⁠1/5⁠ _, ⁠1/4⁠ _, ⁠2/7⁠ _, ⁠1/3⁠ _, ⁠3/8⁠ _, ⁠2/5⁠ _, ⁠3/7⁠ _, ⁠1/2⁠ _, ⁠4/7⁠ _, ⁠3/5⁠ _, ⁠5/8⁠ _, ⁠2/3⁠ _, ⁠5/7⁠ _, ⁠3/4⁠ _, ⁠4/5⁠ _, ⁠5/6⁠ _, ⁠6/7⁠ _, ⁠7/8⁠ _, ⁠1/1⁠ }

Farey rayon de soleil

En traçant les numérateurs par rapport aux dénominateurs d'une suite de Farey, on obtient une forme semblable à celle de droite, illustrée pour F ₆ .

La réflexion de cette forme autour des axes diagonaux et principaux génère le rayon de soleil de Farey , illustré ci-dessous. Le rayon de soleil de Farey d'ordre n relie les points de grille entiers visibles de l'origine dans le carré de côté 2 n , centré à l'origine. En utilisant le théorème de Pick , l'aire du rayon de soleil est 4(| F _n | − 1) , où | F _n | est le nombre de fractions dans Fn.

Histoire

L'histoire de la « série Farey » est très curieuse — Hardy & Wright (1979)

... encore une fois, l'homme dont le nom a été donné à une relation mathématique n'était pas le découvreur original, d'après les documents. — Beiler (1964)

Les suites de Farey doivent leur nom au géologue britannique John Farey, Sr. , dont la lettre sur ces suites a été publiée dans le Philosophical Magazine en 1816. Farey a conjecturé, sans en apporter la preuve, que chaque nouveau terme dans un développement de suite de Farey est la médiane de ses voisins. La lettre de Farey a été lue par Cauchy , qui en a fourni une preuve dans ses Exercices de mathématique , et a attribué ce résultat à Farey. En fait, un autre mathématicien, Charles Haros , avait publié des résultats similaires en 1802 qui n'étaient connus ni de Farey ni de Cauchy. C'est donc un accident historique qui a lié le nom de Farey à ces suites. C'est un exemple de la loi d'éponymie de Stigler .

Propriétés

Longueur de séquence et indice d'une fraction

La suite de Farey d'ordre n contient tous les membres des suites de Farey d'ordres inférieurs. En particulier, F _n contient tous les membres de F _{n −1} et contient également une fraction supplémentaire pour chaque nombre inférieur à n et premier avec n . Ainsi, F ₆ est constitué de F ₅ ainsi que des fractions ⁠1/6et5/6⁠ .

Le terme moyen d'une suite de Farey F _n est toujours ⁠1/2⁠ , pour n > 1 . À partir de là, nous pouvons relier les longueurs de F _n et F _{n −1} en utilisant la fonction indicatrice d'Euler φ ( n ) :

${\displaystyle |F_{n}|=|F_{n-1}|+\varphi (n). <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle |F_{n}|=|F_{n-1}|+\varphi (n).}</annotation> </semantics> </math><img src=$

En utilisant le fait que | F ₁ | = 2 , nous pouvons dériver une expression pour la longueur de F _n :

${\displaystyle |F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)=1+\Phi (n), <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>Φ</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle |F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)=1+\Phi (n),}</annotation> </semantics> </math><img src=$ Φ( n ) est le totient sommatoire .

Nous avons également : et par une formule d'inversion de Möbius : où μ ( d ) est la fonction de Möbius théorique des nombres , et est la fonction plancher . ${\displaystyle |F_{n}|={\frac {1}{2}}\left(3+\sum _{d=1}^{n}\mu (d)\left\lfloor { frac {n}{d}} ight floor ^{2} ight), <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>μ</mi> <mo>(</mo> <mi>d</mi> <mo>)</mo> <msup> <mrow> <mo>⌊</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>d</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>⌋</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle |F_{n}|={\frac {1}{2}}\gauche(3+\sum _{d=1}^{n}\mu (d)\gauche\lfloor { frac {n}{d}}\droite floor ^{2}\droite),}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle |F_{n}|={\frac {1}{2}}(n+3)n-\sum _{d=2}^{n}|F_{\lfloor n/d floor }|, <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mo>⌊</mo> <mi>n</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mo>⌋</mo> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle |F_{n}|={\frac {1}{2}}(n+3)n-\sum _{d=2}^{n}|F_{\létage n/d étage }|,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \lfloor n/d floor <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⌊</mo> <mi>n</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mo>⌋</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \létage n/d étage }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le comportement asymptotique de | F _n | est : ${\displaystyle |F_{n}|\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>∼</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <msup> <mi>n</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <msup> <mi>π</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle |F_{n}|\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le nombre de fractions de Farey de dénominateurs égaux à k dans F _n est donné par φ ( k ) lorsque k ≤ n et zéro sinon. Concernant les numérateurs on peut définir la fonction qui renvoie le nombre de fractions de Farey de numérateurs égaux à h dans F _n . Cette fonction a quelques propriétés intéressantes comme ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(h) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(h)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(1)=n <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(1)=n}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(p^{m})=\left\lceil (n-p^{m})\left(1-1/p ight) ight ceil <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>⌈</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>p</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>⌉</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(p^{m})=\gauche\lceil (np^{m})\gauche(1-1/p\droite)\droite ceil }</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle p <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n+mh}(h)={\mathcal {N}}_{n}(h)+m\varphi (h) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n+mh}(h)={\mathcal {N}}_{n}(h)+m\varphi (h)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

m ≥ 0 ,

{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(4h)={\mathcal {N}}_{n}(2h)-\varphi (2h). <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mi>h</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>h</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>h</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(4h)={\mathcal {N}}_{n}(2h)-\varphi (2h).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

En particulier, la propriété de la troisième ligne ci-dessus implique et, en outre, Cette dernière signifie que, pour les suites de Farey d'ordre pair n , le nombre de fractions avec des numérateurs égaux à ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{mh}(h)=(m-1)\varphi (h) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle { mathcal {N}} _ {mh} (h) = (m-1) varphi (h)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{2h}(h)=\varphi (h). <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathcal {N}}_{2h}(h)=\varphi (h).}</annotation> </semantics> </math><img src=$ n/2⁠ est le même que le nombre de fractions dont le dénominateur est égal à ⁠n/2⁠ , c'est-à-dire. ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(n/2)=\varphi (n/2) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(n/2)=\varphi (n/2)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

L'indice d'une fraction dans la suite de Farey est simplement la position qu'elle occupe dans la suite. Ceci est particulièrement pertinent car il est utilisé dans une formulation alternative de l' hypothèse de Riemann , voir ci-dessous. Diverses propriétés utiles suivent : ${\displaystyle I_{n}(a_{k,n})=k <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle I_{n}(a_{k,n})=k}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a_{k,n <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a_{k,n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle F_{n}=\{a_{k,n}:k=0,1,\ldots ,m_{n}\ <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle F_{n}=\{a_{k,n}:k=0,1,\ldots ,m_{n}\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a_{k,n <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a_{k,n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}I_{n}(0/1)&=0,\\[6pt]I_{n}(1/n)&=1,\\[2pt]I_{n}(1/2)&={\frac {|F_{n}|-1}{2}},\\[2pt]I_{n}(1/1)&=|F_{n}|-1,\\[2pt]I_{n}(h/k)&=|F_{n}|-1-I_{n}\left({\frac {k-h}{k}} ight).\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>h</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>k</mi> <mo>−</mo> <mi>h</mi> </mrow> <mi>k</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}I_{n}(0/1)&=0,\\[6pt]I_{n}(1/n)&=1,\\[2pt]I_{n}(1/2)&={\frac {|F_{n}|-1}{2}},\\[2pt]I_{n}(1/1)&=|F_{n}|-1,\\[2pt]I_{n}(h/k)&=|F_{n}|-1-I_{n}\gauche({\frac {kh}{k}}\droite).\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

L'indice de ⁠1/koù ⁠n/je +1⁠ < k ≤ ⁠n/jeet n est le plus petit multiple commun des i premiers nombres, n = lcm([2, i ] ) , est donné par : ${\displaystyle I_{n}(1/k)=1+n\sum _{j=1}^{i}{\frac {\varphi (j)}{j}}-k\Phi (i). <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>j</mi> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mi>Φ</mi> <mo>(</mo> <mi>je</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle I_{n}(1/k)=1+n\sum _{j=1}^{i}{\frac {\varphi (j)}{j}}-k\Phi (i). }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les voisins de Farey

Les fractions qui sont des termes voisins dans n'importe quelle séquence de Farey sont appelées une paire de Farey et ont les propriétés suivantes.

Si ⁠un/betc/d⁠ sont voisins dans une suite de Farey, avec ⁠un/b< ⁠c/d⁠ , alors leur différence ⁠c/d⁠ − ⁠un/b⁠ est égal à ⁠1/bd⁠ . Depuis ${\displaystyle {\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}={\frac {bc-ad}{bd}}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>d</mi> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mi>un</mi> <mi>b</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mi>un</mi> <mi>d</mi> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mi>d</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}={\frac {bc-ad}{bd}},}</annotation> </semantics> </math><img src=$

cela équivaut à dire que ${\displaystyle bc-ad=1. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mi>un</mi> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle bc-ad=1.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Ainsi ⁠1/3et2/5sont voisins en F ₅ , et leur différence est ⁠1/15⁠ .

L'inverse est également vrai. Si ${\displaystyle bc-ad=1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mi>un</mi> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle bc-ad=1}</annotation> </semantics> </math><img src=$

pour les entiers positifs a , b , c , d avec a < b et c < d , alors ⁠un/betc/d⁠ seront voisins dans la suite de Farey d'ordre max( b,d ) .

Si ⁠p/q⁠ a des voisins ⁠un/betc/d⁠ dans une séquence de Farey, avec ⁠un/b< ⁠p/q< ⁠c/d⁠ , alors ⁠p/q⁠ est la médiane de ⁠un/betc/d⁠ – en d’autres termes, ${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {a+c}{b+d}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>un</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {a+c}{b+d}}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Cela découle facilement de la propriété précédente, puisque si ${\displaystyle {\begin{aligned}&&bp-aq&=qc-pd=1,\\[4pt]\implies &&bp+pd&=qc+aq,\\[4pt]\implies &&p(b+d)&=q(a+c),\\\implies &&{\frac {p}{q}}&={\frac {a+c}{b+d}}.\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd></mtd> <mtd></mtd> <mtd> <mi>b</mi> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mi>un</mi> <mi>q</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>q</mi> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mi>p</mi> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mspace></mspace> <mo>⟹</mo> <mspace></mspace> </mtd> <mtd></mtd> <mtd> <mi>b</mi> <mi>p</mi> <mo>+</mo> <mi>p</mi> <mi>d</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>q</mi> <mi>c</mi> <mo>+</mo> <mi>un</mi> <mi>q</mi> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mspace></mspace> <mo>⟹</mo> <mspace></mspace> </mtd> <mtd></mtd> <mtd> <mi>p</mi> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>q</mi> <mo>(</mo> <mi>un</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mspace></mspace> <mo>⟹</mo> <mspace></mspace> </mtd> <mtd></mtd> <mtd> <mrow> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>un</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}&&bp-aq&=qc-pd=1,\\[4pt]\implique &&bp+pd&=qc+aq,\\[4pt]\implique &&p(b+d)&=q(a+c),\\implique &&{\frac {p}{q}}&={\frac {a+c}{b+d}}.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Il s'ensuit que si ⁠un/betc/dsont voisins dans une suite de Farey , alors le premier terme qui apparaît entre eux lorsque l'ordre de la suite de Farey est incrémenté est ${\displaystyle {\frac {a+c}{b+d}}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>un</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {a+c}{b+d}},}</annotation> </semantics> </math><img src=$

qui apparaît pour la première fois dans la suite de Farey d'ordre b + d .

Ainsi le premier terme à apparaître entre ⁠1/3et2/5⁠ est ⁠3/8⁠ , qui apparaît dans F ₈ .

Le nombre total de paires de voisins de Farey dans F _n est 2| F _n | − 3 .

L' arbre de Stern-Brocot est une structure de données montrant comment la séquence est construite à partir de 0 ( = ⁠0/1⁠ ) et 1 ( = ⁠1/1⁠ ) , en prenant des médianes successives.

Interprétation de l'aire équivalente

Chaque paire consécutive de rationnels de Farey a une aire équivalente de 1. Voyez ceci en interprétant les rationnels consécutifs comme des vecteurs ( p , q ) dans le plan xy. L'aire est donnée par Comme toute fraction ajoutée entre deux fractions consécutives précédentes de la séquence de Farey est calculée comme la médiane (⊕), alors (puisque r ₁ = ⁠ ${\displaystyle r_{1}={\frac {p}{q}}\qquad r_{2}={\frac {p'}{q' <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> <mspace></mspace> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>p</mi> <mo>′</mo> </msup> <msup> <mi>q</mi> <mo>′</mo> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle r_{1}={\frac {p}{q}}\qquad r_{2}={\frac {p'}{q'}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A\left({\frac {p}{q}},{\frac {p'}{q'}} ight)=qp'-q'p. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>p</mi> <mo>′</mo> </msup> <msup> <mi>q</mi> <mo>′</mo> </msup> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>q</mi> <msup> <mi>p</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>q</mi> <mo>′</mo> </msup> <mi>p</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A\left({\frac {p}{q}},{\frac {p'}{q'}} ight)=qp'-q'p.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}A(r_{1},r_{1}\oplus r_{2})&=A(r_{1},r_{1})+A(r_{1},r_{2})\\&=A(r_{1},r_{2})\\&=1\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>A</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⊕</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>A</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}A(r_{1},r_{1}\oplus r_{2})&=A(r_{1},r_{1})+A(r_{1},r_{2})\\&=A(r_{1},r_{2})\\&=1\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ 1/0et r 2 =0/1⁠ , son aire doit être 1).

Voisins de Farey et fractions continues

Les fractions qui apparaissent comme voisines dans une suite de Farey ont des développements de fractions continues étroitement liés . Chaque fraction a deux développements de fractions continues : dans l'un, le terme final est 1 ; dans l'autre, le terme final est supérieur de 1. Si ⁠p/q⁠ , qui apparaît pour la première fois dans la suite de Farey F _q , a les développements en fractions continues ${\displaystyle {\begin{aligned}&[0;\ a_{1},\ a_{2},\ \ldots ,\ a_{n-1},\ a_{n},\ 1]\\{}&[0;\ a_{1},\ a_{2},\ \ldots ,\ a_{n-1},\ a_{n}+1]\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>[</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mn>1</mn> <mo>]</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>[</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>]</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}&[0;\ a_{1},\ a_{2},\ \ldots ,\ a_{n-1},\ a_{n},\ 1]\\{}&[0;\ a_{1},\ a_{2},\ \ldots ,\ a_{n-1},\ a_{n}+1]\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

alors le voisin le plus proche de ⁠p/q⁠ dans F _q (qui sera son voisin avec le plus grand dénominateur) a un développement en fraction continue ${\displaystyle [0;\ a_{1},\ a_{2},\ \ldots ,\ a_{n}] <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>[</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle [0;\ a_{1},\ a_{2},\ \ldots ,\ a_{n}]}</annotation> </semantics> </math><img src=$

et son autre voisin a un développement en fraction continue ${\displaystyle [0;\ a_{1},\ a_{2},\ \ldots ,\ a_{n-1}] <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>[</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle [0;\ a_{1},\ a_{2},\ \ldots ,\ a_{n-1}]}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Par exemple, ⁠3/8⁠ a les deux développements en fractions continues [0; 2, 1, 1, 1] et [0; 2, 1, 2] , et ses voisins dans F ₈ sont ⁠2/5⁠ , qui peut être développé comme [0; 2, 1, 1] ; et ⁠1/3⁠ , qui peut être développé comme [0; 2, 1] .

Fractions de Farey et le plus petit multiple commun

Le PPCM peut être exprimé comme le produit des fractions de Farey comme ${\displaystyle { ext{lcm}}[1,2,...,N]=e^{\psi (N)}={\frac {1}{2}}\left(\prod _{r\in F_{N},0<r\leq 1/2}2\sin(\pi r) ight)^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtext>lcm</mtext> </mrow> <mo>[</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>,</mo> <mi>N</mi> <mo>]</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>ψ</mi> <mo>(</mo> <mi>N</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munder> <mo>∏</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mi>r</mi> <mo>≤</mo> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </munder> <mn>2</mn> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>π</mi> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle { ext{lcm}}[1,2,...,N]=e^{\psi (N)}={\frac {1}{2}}\left(\prod _{r\in F_{N},0<r\leq 1/2}2\sin(\pi r) ight)^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

où ψ ( N ) est la deuxième fonction de Tchebychev .

Fractions de Farey et le plus grand diviseur commun

Étant donné que la fonction indicatrice d'Euler est directement liée au pgcd, le nombre d'éléments dans F _n l'est également , ${\displaystyle |F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)=1+\sum \limits _{m=1}^{n}\sum \limits _{k=1}^{m}\gcd(k,m)\cos {2\pi {\frac {k}{m}}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <mo>gcd</mo> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mrow> <mfrac> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle |F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)=1+\sum \limits _{m=1}^{n}\sum \limits _{k=1}^{m}\gcd(k,m)\cos {2\pi {\frac {k}{m}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Pour 3 fractions de Farey ⁠un/b⁠ , ⁠c/d⁠ , ⁠et/f⁠ l'identité suivante entre les pgcd des déterminants de la matrice 2x2en valeur absolue est vérifiée : ${\displaystyle \gcd \left({\begin{Vmatrix}a&c\\b&d\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}a&e\\b&f\end{Vmatrix}} ight)=\gcd \left({\begin{Vmatrix}a&c\\b&d\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}c&e\\d&f\end{Vmatrix}} ight)=\gcd \left({\begin{Vmatrix}a&e\\b&f\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}c&e\\d&f\end{Vmatrix}} ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>gcd</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mrow> <mo>‖</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> <mtd> <mi>d</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>‖</mo> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mrow> <mo>‖</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> <mtd> <mi>e</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> <mtd> <mi>f</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>‖</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>gcd</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mrow> <mo>‖</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> <mtd> <mi>d</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>‖</mo> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mrow> <mo>‖</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> <mtd> <mi>e</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>d</mi> </mtd> <mtd> <mi>f</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>‖</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>gcd</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mrow> <mo>‖</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> <mtd> <mi>e</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> <mtd> <mi>f</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>‖</mo> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mrow> <mo>‖</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> <mtd> <mi>e</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>d</mi> </mtd> <mtd> <mi>f</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>‖</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \gcd \left({\begin{Vmatrix}a&c\\b&d\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}a&e\\b&f\end{Vmatrix}} ight)=\gcd \left({\begin{Vmatrix}a&c\\b&d\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}c&e\\d&f\end{Vmatrix}} ight)=\gcd \left({\begin{Vmatrix}a&e\\b&f\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}c&e\\d&f\end{Vmatrix}} ight)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Applications

Les suites de Farey sont très utiles pour trouver des approximations rationnelles de nombres irrationnels. Par exemple, la construction par Eliahou d'une borne inférieure sur la longueur des cycles non triviaux dans le processus 3 x +1 utilise les suites de Farey pour calculer un développement en fraction continue du nombre log ₂ (3) .

Dans les systèmes physiques avec des phénomènes de résonance, les séquences de Farey fournissent une méthode très élégante et efficace pour calculer les emplacements de résonance en 1D et 2D.

Les suites de Farey sont importantes dans les études de planification de chemin à angle quelconque sur des grilles à cellules carrées, par exemple pour caractériser leur complexité de calcul ou leur optimalité. La connexion peut être considérée en termes de chemins r -contraints, à savoir des chemins constitués de segments de droite qui traversent chacun au plus r lignes et au plus r colonnes de cellules. Soit Q l'ensemble des vecteurs ( q , p ) tels que , , et p , q sont premiers entre eux. Soit Q* le résultat de la réflexion de Q sur la droite y = x . Soit . Alors tout chemin r -contraint peut être décrit comme une séquence de vecteurs de S . Il existe une bijection entre Q et la suite de Farey d'ordre r donnée par ( q , p ) mappant sur . ${\displaystyle 1\leq q\leq r <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>1</mn> <mo>≤</mo> <mi>q</mi> <mo>≤</mo> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 1\leq q\leq r}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 0\leq p\leq q <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> <mo>≤</mo> <mi>p</mi> <mo>≤</mo> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 0\leq p\leq q}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle S=\{(\pm x,\pm y):(x,y)\in Q\cup Q*\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mo>(</mo> <mo>±</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mo>±</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mo>:</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mo>∈</mo> <mi>Q</mi> <mo>∪</mo> <mi>Q</mi> <mo>∗</mo> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle S=\{(\pm x,\pm y):(x,y)\in Q\cup Q*\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle { frac {p}{q <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle { frac {p}{q}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les cercles de Ford

Comparaison des cercles de Ford et d'un diagramme de Farey avec des arcs de cercle pour n de 1 à 9. Chaque arc coupe ses cercles correspondants à angle droit. Dans l'image SVG, passez la souris sur un cercle ou une courbe pour le mettre en surbrillance ainsi que ses termes.

Il existe un lien entre la séquence de Farey et les cercles de Ford .

Pour chaque fraction ⁠p/q⁠ (dans ses termes les plus simples) il existe un cercle de Ford C [ p / q ] , qui est le cercle de rayonet de centre àDeux cercles de Ford pour différentes fractions sont soit disjoints , soit tangents l' un à l'autre - deux cercles de Ford ne se coupent jamais. Si 0 < ⁠ ${\displaystyle { frac {1}{2q^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle { frac {1}{2q^{2}}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\bigl (}{ frac {p}{q}},{ frac {1}{2q^{2}}}{\bigr )}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\bigl (}{ frac {p}{q}},{ frac {1}{2q^{2}}}{\bigr )}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ p/q⁠ < 1 alors les cercles de Ford qui sont tangents à C [ p / q ] sont précisément les cercles de Ford pour les fractions qui sont voisines de ⁠p/q⁠ dans une séquence de Farey.

Ainsi C [2/5] est tangent à C [1/2] , C [1/3] , C [3/7] , C [3/8] , etc.

Les cercles de Ford apparaissent également dans le joint apollinien (0,0,1,1) . L'image ci-dessous illustre cela avec les lignes de résonance de Farey.

Hypothèse de Riemann

Les suites de Farey sont utilisées dans deux formulations équivalentes de l' hypothèse de Riemann . Supposons que les termes de F _n soient Définis autrement dit est la différence entre le k ième terme de la n ième suite de Farey, et le k ième membre d'un ensemble de même nombre de points, répartis uniformément sur l'intervalle unité. En 1924 Jérôme Franel a prouvé que l'énoncé ${\displaystyle \{a_{k,n}:k=0,1,\ldots ,m_{n}\}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>}</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{a_{k,n}:k=0,1,\ldots ,m_{n}\}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle d_{k,n}=a_{k,n}-{ frac {k}{m_{n}}}, <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mi>k</mi> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d_{k,n}=a_{k,n}-{ frac {k}{m_{n}}},}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle d_{k,n <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d_{k,n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

$-1 \sum_{k = 1}^{m_{n}} d_{k, n}^{2} = O (n^{r}) \forall r > - 1$ -1}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f93d59918e8954d287a831459228e241dc746c7">

est équivalent à l'hypothèse de Riemann, et puis Edmund Landau a remarqué (juste après l'article de Franel) que l'énoncé ${\frac {1}{2 \sum_{k = 1}^{m_{n}} | d_{k, n} | = O (n^{r}) \forall r > \frac{1}{2}$ {\frac {1}{2}}}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad7dcac1460978276d659014b2c6ed7ceb3b10e8">

est également équivalent à l'hypothèse de Riemann.

Autres sommes impliquant des fractions de Farey

La somme de toutes les fractions de Farey d'ordre n est la moitié du nombre d'éléments : ${\displaystyle \sum _{r\in F_{n}}r={\frac {1}{2}}|F_{n}|. <semantics> <mrow> <mstyle> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </munder> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sum _{r\in F_{n}}r={\frac {1}{2}}|F_{n}|.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La somme des dénominateurs de la suite de Farey est deux fois supérieure à la somme des numérateurs et se rapporte à la fonction indicatrice d'Euler :

${\displaystyle \sum _{a/b\in F_{n}}b=2\sum _{a/b\in F_{n}}a=1+\sum _{i=1}^{n}i\varphi (i), <semantics> <mrow> <mstyle> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>a</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </munder> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>a</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>b</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </munder> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>i</mi> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sum _{a/b\in F_{n}}b=2\sum _{a/b\in F_{n}}a=1+\sum _{i=1}^{n}i\varphi (i),}</annotation> </semantics> </math><img src=$

qui a été conjecturée par Harold L. Aaron en 1962 et démontrée par Jean A. Blake en 1966. Une preuve en une ligne de la conjecture de Harold L. Aaron est la suivante. La somme des numérateurs est La somme des dénominateurs est Le quotient de la première somme par la seconde somme est ⁠ ${\displaystyle 1+\sum _{2\leq b\leq n}\ \sum _{(a,b)=1}a=1+\sum _{2\leq b\leq n}b{\frac {\varphi (b)}{2}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mo>≤</mo> <mi>b</mi> <mo>≤</mo> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <mtext> </mtext> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mo>≤</mo> <mi>b</mi> <mo>≤</mo> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <mi>b</mi> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 1+\sum _{2\leq b\leq n}\ \sum _{(a,b)=1}a=1+\sum _{2\leq b\leq n}b{\frac {\varphi (b)}{2}}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 2+\sum _{2\leq b\leq n}\ \sum _{(a,b)=1}b=2+\sum _{2\leq b\leq n}b\varphi (b). <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mo>≤</mo> <mi>b</mi> <mo>≤</mo> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <mtext> </mtext> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mo>≤</mo> <mi>b</mi> <mo>≤</mo> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <mi>b</mi> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 2+\sum _{2\leq b\leq n}\ \sum _{(a,b)=1}b=2+\sum _{2\leq b\leq n}b\varphi (b).}</annotation> </semantics> </math><img src=$ 1/2⁠ .

Soit b _j les dénominateurs ordonnés de F _n , alors :

${\displaystyle \sum _{j=0}^{|F_{n}|-1}{\frac {b_{j}}{b_{j+1}}}={\frac {3|F_{n}|-4}{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mn>4</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sum _{j=0}^{|F_{n}|-1}{\frac {b_{j}}{b_{j+1}}}={\frac {3|F_{n}|-4}{2}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \sum _{j=0}^{|F_{n}|-1}{\frac {1}{b_{j+1}b_{j}}}=1. <semantics> <mrow> <mstyle> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sum _{j=0}^{|F_{n}|-1}{\frac {1}{b_{j+1}b_{j}}}=1.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Soit la j -ième fraction de Farey dans F _n , alors ${\displaystyle { frac {a_{j}}{b_{j <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mstyle> <mfrac> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle { frac {a_{j}}{b_{j}}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \sum _{j=1}^{|F_{n}|-1}(a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1})=\sum _{j=1}^{|F_{n}|-1}{\begin{Vmatrix}a_{j-1}&a_{j+1}\\b_{j-1}&b_{j+1}\end{Vmatrix}}=3(|F_{n}|-1)-2n-1, <semantics> <mrow> <mstyle> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mo>(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mrow> <mrow> <mo>‖</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>‖</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sum _{j=1}^{|F_{n}|-1}(a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1})=\sum _{j=1}^{|F_{n}|-1}{\begin{Vmatrix}a_{j-1}&a_{j+1}\\b_{j-1}&b_{j+1}\end{Vmatrix}}=3(|F_{n}|-1)-2n-1,}</annotation> </semantics> </math><img src=$

ce qui est démontré dans. Toujours selon cette référence, le terme à l'intérieur de la somme peut être exprimé de différentes manières : ${\displaystyle a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1}={\frac {b_{j-1}+b_{j+1}}{b_{j}}}={\frac {a_{j-1}+a_{j+1}}{a_{j}}}=\left\lfloor {\frac {n+b_{j-1}}{b_{j}}} ight floor , <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>⌊</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>⌋</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1}={\frac {b_{j-1}+b_{j+1}}{b_{j}}}={\frac {a_{j-1}+a_{j+1}}{a_{j}}}=\left\lfloor {\frac {n+b_{j-1}}{b_{j}}} ight floor ,}</annotation> </semantics> </math><img src=$

obtenant ainsi plusieurs sommes différentes sur les éléments de Farey avec le même résultat. En utilisant la symétrie autour de 1/2, la somme précédente peut être limitée à la moitié de la séquence comme

${\displaystyle \sum _{j=1}^{\left\lfloor {\frac {|F_{n}|}{2}} ight floor }(a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1})={\frac {3(|F_{n}|-1)}{2}}-n-\left\lceil {\frac {n}{2}} ight ceil , <semantics> <mrow> <mstyle> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>⌊</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⌋</mo> </mrow> </mrow> </munderover> <mo>(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mrow> <mo>⌈</mo> <mrow> <mfrac> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⌉</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sum _{j=1}^{\left\lfloor {\frac {|F_{n}|}{2}} ight floor }(a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1})={\frac {3(|F_{n}|-1)}{2}}-n-\left\lceil {\frac {n}{2}} ight ceil ,}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La fonction de Mertens peut être exprimée comme une somme sur des fractions de Farey comme où est la suite de Farey d'ordre n . ${\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>F</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </munder> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mi>F</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Cette formule est utilisée dans la preuve du théorème de Franel-Landau.

Prochain terme

Il existe un algorithme étonnamment simple pour générer les termes de F _n dans l'ordre traditionnel (croissant) ou non traditionnel (décroissant). L'algorithme calcule chaque entrée successive en fonction des deux entrées précédentes en utilisant la propriété médiante donnée ci-dessus. Si ⁠un/betc/d⁠ sont les deux entrées données, et ⁠p/q⁠ est l'entrée suivante inconnue, alors ⁠c/d⁠ = ⁠a + p/b + q⁠ . Depuis ⁠c/d⁠ est en termes les plus simples, il doit exister un entier k tel que kc = a + p et kd = b + q , ce qui donne p = kc − a et q = kd − b . Si nous considérons p et q comme des fonctions de k , alors

{\displaystyle {\frac {p(k)}{q(k)}}-{\frac {c}{d}}={\frac {cb-da}{d(kd-b) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>p</mi> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mi>c</mi> <mi>d</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>c</mi> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>d</mi> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mi>d</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {p(k)}{q(k)}}-{\frac {c}{d}}={\frac {cb-da}{d(kd-b)}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

donc plus k est grand, plus ⁠ est prochep/q⁠ arrive à ⁠c/d⁠ .

Pour donner le terme suivant dans la séquence, k doit être aussi grand que possible, sous réserve que kd − b ≤ n (car nous ne considérons que les nombres dont les dénominateurs ne sont pas supérieurs à n ), donc k est le plus grand entier ≤ ⁠n + b/d⁠ . En remettant cette valeur de k dans les équations pour p et q, on obtient

{\displaystyle p=\left\lfloor {\frac {n+b}{d}} ight floor c-a <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>⌊</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mrow> <mi>d</mi> </mfrac> </mrow> <mo>⌋</mo> </mrow> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p=\left\lfloor {\frac {n+b}{d}} ight floor c-a}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle q=\left\lfloor {\frac {n+b}{d}} ight floor d-b <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>⌊</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mrow> <mi>d</mi> </mfrac> </mrow> <mo>⌋</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle q=\left\lfloor {\frac {n+b}{d}} ight floor d-b}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Ceci est implémenté en Python comme suit :

à partir de 
fractions 
importer 
Fraction 
à partir de 
collections.abc 
importer 
Générateur
def 
farey_sequence ( n : 
int , 
descendant : 
bool 
= 
False ) 
-> 
Générateur [ Fraction ]: 
 Imprime la n-ième séquence de Farey. Autorise l'ordre croissant ou décroissant.
 >>> print(*farey_sequence(5), sep=' ') 
 0 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 1 
a , 
b , 
c , 
d 
= 
0 , 
1 , 
1 , 
n 
si 
décroissant : 
a , 
c 
= 
1 , 
n 
- 
1 
donne 
Fraction ( a , 
b ) 
tant que 
0 
<= 
c 
<= 
n : 
k 
= 
( n 
+ 
b ) 
// 
d 
a , 
b , 
c , 
d 
= 
c , 
d , 
k 
* 
c 
- 
a , 
k 
* 
d 
- 
b 
donne 
Fraction ( a , 
b )
si 
__name__ 
== 
"__main__" : 
importer 
doctest
doctest . testmod ()

Les recherches par force brute de solutions aux équations diophantiennes dans les rationnels peuvent souvent tirer parti de la série de Farey (pour rechercher uniquement les formes réduites). Bien que ce code utilise les deux premiers termes de la séquence pour initialiser a , b , c et d , on pourrait substituer n'importe quelle paire de termes adjacents afin d'exclure ceux qui sont inférieurs (ou supérieurs) à un seuil particulier.