Fonction de Möbius

{\displaystyle \mu (n) </span referrerpolicy=

La fonction de Möbius est une fonction multiplicative de la théorie des nombres, introduite par le mathématicien allemand August Ferdinand Möbius (également transcrit Moebius ) en 1832. Elle est omniprésente en théorie élémentaire et analytique des nombres et apparaît le plus souvent dans la formule d'inversion de Möbius qui porte son nom . Suite aux travaux de Gian-Carlo Rota dans les années 1960, des généralisations de la fonction de Möbius ont été introduites en combinatoire et sont notées de manière similaire.

{\displaystyle \mu (x) <semantics><mrow><mstyle><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu (x)}</annotation></semantics></math></span><img src=

Définition

La fonction de Möbius est définie par

1.\end{cases μ (n) = {\begin{matrix} 1 & si n = 1 \\ (- 1)^{k} & si n est le produit de k nombres premiers distincts \\ 0 & si n est divisible par un carré > 1. \end{matrix}

1.\end{cases

La fonction de Möbius peut également être représentée comme

{\displaystyle \mu (n)=\delta _{\omega (n)\Omega (n)}\lambda (n), <semantics><mrow><mstyle><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>ω</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mi>Ω</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow></msub><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle mu (n) = delta _ {omega (n) Omega (n)} lambda (n),}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ${\displaystyle \delta _{ij <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \delta _{ij}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \lambda (n) <semantics><mrow><mstyle><mi>λ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \lambda (n)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \omega (n) <semantics><mrow><mstyle><mi>ω</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega (n)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \Omega (n) <semantics><mrow><mstyle><mi>Ω</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega (n)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \omega (n) <semantics><mrow><mstyle><mi>ω</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \omega (n)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \Omega (n) <semantics><mrow><mstyle><mi>Ω</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega (n)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$

Une autre caractérisation par Carl Friedrich Gauss est la somme de toutes les racines primitives .

Valeurs

Les valeurs de ${\displaystyle \mu (n) <semantics><mrow><mstyle><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu (n)}</annotation></semantics></math><img src=$

Les 50 premières valeurs de la fonction sont représentées ci-dessous :

Les valeurs plus élevées peuvent être enregistrées dans :

Wolframalpha
le fichier b de l'OEIS

Applications

Séries mathématiques

La série de Dirichlet qui engendre la fonction de Möbius est l'inverse (multiplicative) de la fonction zêta de Riemann ; si ${\displaystyle s <semantics><mrow><mstyle><mi>s</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle s}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}. <semantics><mrow><mstyle><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow><msup><mi>n</mi><mrow><mi>s</mi></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>ζ</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

Cela peut être constaté à partir de son produit d'Euler

{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p{ ext{ prime}}}{\left(1-{\frac {1}{p^{s}}} ight)}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}} ight)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}} ight)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}} ight)\cdots <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>ζ</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><munder><mo>∏</mo><mrow><mi>p</mi><mrow><mtext> prime</mtext></mrow></mrow></munder><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>p</mi><mrow><mi>s</mi></mrow></msup></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>2</mn><mrow><mi>s</mi></mrow></msup></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>3</mn><mrow><mi>s</mi></mrow></msup></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>5</mn><mrow><mi>s</mi></mrow></msup></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>⋯</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p{ ext{ prime}}}{\left(1-{\frac {1}{p^{s}}} ight)}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}} ight)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}} ight)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}} ight)\cdots }</annotation></semantics></math></span><img src=

Aussi:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}; <semantics><mrow><mstyle><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mrow><mo>|</mo></mrow></mrow><msup><mi>n</mi><mrow><mi>s</mi></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>ζ</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>ζ</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>s</mi><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow><mo>;</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}};}</annotation></semantics></math><img src=$
${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0; <semantics><mrow><mstyle><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow><mi>n</mi></mfrac></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>;</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0;}</annotation></semantics></math><img src=$
${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln n}{n}}=-1; <semantics><mrow><mstyle><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mi>n</mi></mrow><mi>n</mi></mfrac></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>;</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln n}{n}}=-1;}</annotation></semantics></math><img src=$
${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma , <semantics><mrow><mstyle><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><msup><mi>ln</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>⁡</mo><mi>n</mi></mrow><mi>n</mi></mfrac></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>γ</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma ,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \gamma <semantics><mrow><mstyle><mi>γ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \gamma }</annotation></semantics></math><img src=$

La série de Lambert pour la fonction de Möbius est

{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q, <semantics><mrow><mstyle><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><msup><mi>q</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><msup><mi>q</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mi>q</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q,}</annotation></semantics></math></span><img src=

qui converge pour ${\displaystyle |q|<1 <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>q</mi><mrow><mo>|</mo></mrow><mo><</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle |q|<1}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \alpha \geq 2 <semantics><mrow><mstyle><mi>α</mi><mo>≥</mo><mn>2</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \alpha \geq 2}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{q^{n}-1}}=\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}},|q|<1. <semantics><mrow><mstyle><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>∞</mi></mrow></munderover><mrow><mfrac><mrow><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mi>n</mi><mo>)</mo><msup><mi>q</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mrow><mrow><msup><mi>q</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>n</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn></mrow></munder><msup><mi>q</mi><mrow><msup><mi>α</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mrow></msup><mo>,</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>q</mi><mrow><mo>|</mo></mrow><mo><</mo><mn>1.</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{q^{n}-1}}=\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}},|q|<1.}</annotation></semantics></math></span><img src=

théorie algébrique des nombres

Gauss a démontré que pour un nombre premier ${\displaystyle p <semantics><mrow><mstyle><mi>p</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle p}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mu (p-1)\mod p <semantics><mrow><mstyle><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mspace></mspace><mi>mod</mi><mspace></mspace><mspace></mspace><mi>p</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu (p-1)\mod p}</annotation></semantics></math><img src=$

Si ${\displaystyle \mathbb {F} _{q <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>q</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle q <semantics><mrow><mstyle><mi>q</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle q}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle q <semantics><mrow><mstyle><mi>q</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle q}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle N <semantics><mrow><mstyle><mi>N</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle N}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>q</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}. <semantics><mrow><mstyle><mi>N</mi><mo>(</mo><mi>q</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>n</mi></mfrac></mrow><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>d</mi><mo>∣</mo><mi>n</mi></mrow></munder><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>d</mi><mo>)</mo><msup><mi>q</mi><mrow><mfrac><mi>n</mi><mi>d</mi></mfrac></mrow></msup><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

La fonction Möbius est utilisée dans la formule d'inversion de Möbius .

Physique

La fonction de Möbius apparaît également dans le modèle de gaz primon ou de gaz de Riemann libre de la supersymétrie . Dans cette théorie, les particules fondamentales, ou « primons », possèdent des énergies. ${\displaystyle \log(p) <semantics><mrow><mstyle><mi>enregistrer</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \log(p)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \log(n) <semantics><mrow><mstyle><mi>enregistrer</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \log(n)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$

Dans le gaz de Riemann libre, tout nombre naturel peut apparaître si les primons sont considérés comme des bosons . S'ils sont considérés comme des fermions , le principe d'exclusion de Pauli exclut les carrés. L'opérateur ${\displaystyle (-1)^{F <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mi>F</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (-1)^{F}}</annotation></semantics></math><img src=$ ce qui distingue les fermions et les bosons n'est autre que la fonction de Möbius ${\displaystyle \mu (n) <semantics><mrow><mstyle><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu (n)}</annotation></semantics></math><img src=$

Le gaz de Riemann libre présente plusieurs autres liens intéressants avec la théorie des nombres, notamment le fait que sa fonction de partition est la fonction zêta de Riemann . Cette idée sous-tend la tentative de démonstration de l' hypothèse de Riemann par Alain Connes .

Propriétés

La fonction de Möbius est multiplicative (c'est-à-dire, ${\displaystyle \mu (ab)=\mu (a)\mu (b) <semantics><mrow><mstyle><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>un</mi><mi>b</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>un</mi><mo>)</mo><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu (ab)=\mu (a)\mu (b)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle a <semantics><mrow><mstyle><mi>un</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle b <semantics><mrow><mstyle><mi>b</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle b}</annotation></semantics></math><img src=$

Démonstration : Étant donné deux nombres premiers entre eux ${\displaystyle m\geq n <semantics><mrow><mstyle><mi>m</mi><mo>≥</mo><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle m\geq n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle mn <semantics><mrow><mstyle><mi>m</mi><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle mn}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle mn=1 <semantics><mrow><mstyle><mi>m</mi><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle mn=1}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mu (mn)=1=\mu (m)\mu (n) <semantics><mrow><mstyle><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>m</mi><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>m</mi><mo>)</mo><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu (mn)=1=\mu (m)\mu (n)}</annotation></semantics></math><img src=$ $n\geq 1 m > n \geq 1$ n\geq 1 , donc
${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\sum _{d|mn}\mu (d)\\&=\mu (mn)+\sum _{d|mn;d<mn}\mu (d)\\&{\stackrel { ext{induction}}{=}}\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+\sum _{d|m;d'|n}\mu (d)\mu (d')\\&=\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+\sum _{d|m}\mu (d)\sum _{d'|n}\mu (d')\\&=\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+0\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>d</mi><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>m</mi><mi>n</mi></mrow></munder><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>d</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>m</mi><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>d</mi><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>m</mi><mi>n</mi><mo>;</mo><mi>d</mi><mo><</mo><mi>m</mi><mi>n</mi></mrow></munder><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>d</mi><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mrow><mrow><mover><mrow><mo>=</mo></mrow><mrow><mtext>induction</mtext></mrow></mover></mrow></mrow><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>m</mi><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>m</mi><mo>)</mo><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>d</mi><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>m</mi><mo>;</mo><msup><mi>d</mi><mo>′</mo></msup><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>n</mi></mrow></munder><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>d</mi><mo>)</mo><mi>μ</mi><mo>(</mo><msup><mi>d</mi><mo>′</mo></msup><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>m</mi><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>m</mi><mo>)</mo><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>d</mi><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>m</mi></mrow></munder><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>d</mi><mo>)</mo><munder><mo>∑</mo><mrow><msup><mi>d</mi><mo>′</mo></msup><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>n</mi></mrow></munder><mi>μ</mi><mo>(</mo><msup><mi>d</mi><mo>′</mo></msup><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>m</mi><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>m</mi><mo>)</mo><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\sum _{d|mn}\mu (d)\\&=\mu (mn)+\sum _{d|mn;d<mn}\mu (d)\\&{\stackrel { ext{induction}}{=}}\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+\sum _{d|m;d'|n}\mu (d)\mu (d')\\&=\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+\sum _{d|m}\mu (d)\sum _{d'|n}\mu (d')\\&=\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+0\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

La somme de la fonction de Möbius sur tous les diviseurs positifs de ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n=1 <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n=1}</annotation></semantics></math><img src=$

1.\end{cases \sum_{d ∣ n} μ (d) = {\begin{matrix} 1 & si n = 1, \\ 0 & si n > 1. \end{matrix}

1.\end{cases

L'égalité ci-dessus conduit à l'importante formule d'inversion de Möbius et constitue la principale raison pour laquelle ${\displaystyle \mu <semantics><mrow><mstyle><mi>μ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu }</annotation></semantics></math><img src=$

Autres applications de ${\displaystyle \mu (n) <semantics><mrow><mstyle><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu (n)}</annotation></semantics></math><img src=$

Il existe une formule pour calculer la fonction de Möbius sans connaître directement la factorisation de son argument :

{\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}, <semantics><mrow><mstyle><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munder><mo>∑</mo><mrow><mrow><mover><mrow><mo>pgcd</mo><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>,</mo><mspace></mspace><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>k</mi><mo>≤</mo><mi>n</mi></mrow></mover></mrow></mrow></munder><msup><mi>e</mi><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>je</mi><mrow><mfrac><mi>k</mi><mi>n</mi></mfrac></mrow></mrow></msup><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}</annotation></semantics></math></span><img src=

c'est-à-dire ${\displaystyle \mu (n) <semantics><mrow><mstyle><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu (n)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$

Parmi les autres identités satisfaites par la fonction de Möbius, on peut citer :

{\displaystyle \sum _{k\leq n}\left\lfloor {\frac {n}{k}} ight floor \mu (k)=1 <semantics><mrow><mstyle><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>≤</mo><mi>n</mi></mrow></munder><mrow><mo>⌊</mo><mrow><mfrac><mi>n</mi><mi>k</mi></mfrac></mrow><mo>⌋</mo></mrow><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum _{k\leq n}\left\lfloor {\frac {n}{k}} ight floor \mu (k)=1}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle \sum _{jk\leq n}\sin \left({\frac {\pi jk}{2}} ight)\mu (k)=1 <semantics><mrow><mstyle><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi><mo>≤</mo><mi>n</mi></mrow></munder><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>π</mi><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \sum _{jk\leq n}\sin \left({\frac {\pi jk}{2}} ight)\mu (k)=1}</annotation></semantics></math></span><img src=

Le premier de ces résultats est un résultat classique tandis que le second a été publié en 2020. Des identités similaires s'appliquent à la fonction de Mertens .

Démonstration de la formule de la somme de ${\displaystyle \mu <semantics><mrow><mstyle><mi>μ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu }</annotation></semantics></math><img src=$

La formule

1\end{cases \sum_{d ∣ n} μ (d) = {\begin{matrix} 1 & si n = 1, \\ 0 & si n > 1 \end{matrix}

1\end{cases

peut s'écrire en utilisant la convolution de Dirichlet comme suit : ${\displaystyle 1*\mu =\varepsilon <semantics><mrow><mstyle><mn>1</mn><mo>∗</mo><mi>μ</mi><mo>=</mo><mi>ε</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 1*\mu =\varepsilon }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \varepsilon <semantics><mrow><mstyle><mi>ε</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \varepsilon }</annotation></semantics></math><img src=$

Une façon de démontrer cette formule consiste à remarquer que la convolution de Dirichlet de deux fonctions multiplicatives est elle-même multiplicative. Il suffit donc de démontrer la formule pour les puissances de nombres premiers. En effet, pour tout nombre premier, ${\displaystyle p <semantics><mrow><mstyle><mi>p</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle p}</annotation></semantics></math><img src=$ $0 k > 0$ 0

{\displaystyle 1*\mu (p^{k})=\sum _{d\mid p^{k}}\mu (d)=\mu (1)+\mu (p)+\sum _{1<m<=k}\mu (p^{m})=1-1+\sum 0=0=\varepsilon (p^{k}) <semantics><mrow><mstyle><mn>1</mn><mo>∗</mo><mi>μ</mi><mo>(</mo><msup><mi>p</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mo>)</mo><mo>=</mo><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>d</mi><mo>∣</mo><msup><mi>p</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msup></mrow></munder><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>d</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>μ</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><munder><mo>∑</mo><mrow><mn>1</mn><mo><</mo><mi>m</mi><mo><=</mo><mi>k</mi></mrow></munder><mi>μ</mi><mo>(</mo><msup><mi>p</mi><mrow><mi>m</mi></mrow></msup><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mo>∑</mo><mn>0</mn><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>=</mo><mi>ε</mi><mo>(</mo><msup><mi>p</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msup><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 1*\mu (p^{k})=\sum _{d\mid p^{k}}\mu (d)=\mu (1)+\mu (p)+\sum _{1<m<=k}\mu (p^{m})=1-1+\sum 0=0=\varepsilon (p^{k})}</annotation></semantics></math></span><img src=

tandis que pour ${\displaystyle n=1 <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n=1}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle 1*\mu (1)=\sum _{d\mid 1}\mu (d)=\mu (1)=1=\varepsilon (1) <semantics><mrow><mstyle><mn>1</mn><mo>∗</mo><mi>μ</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>d</mi><mo>∣</mo><mn>1</mn></mrow></munder><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>d</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>μ</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mi>ε</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 1*\mu (1)=\sum _{d\mid 1}\mu (d)=\mu (1)=1=\varepsilon (1)}</annotation></semantics></math></span><img src=

Autres preuves

Une autre façon de démontrer cette formule consiste à utiliser l'identité

{\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}, <semantics><mrow><mstyle><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munder><mo>∑</mo><mrow><mrow><mover><mrow><mo>pgcd</mo><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>,</mo><mspace></mspace><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>k</mi><mo>≤</mo><mi>n</mi></mrow></mover></mrow></mrow></munder><msup><mi>e</mi><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>je</mi><mrow><mfrac><mi>k</mi><mi>n</mi></mfrac></mrow></mrow></msup><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}</annotation></semantics></math></span><img src=

La formule ci-dessus découle alors du fait que ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$

Il est toutefois possible de démontrer cette identité à partir des principes fondamentaux. Notons d'abord qu'elle est trivialement vraie lorsque ${\displaystyle n=1 <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n=1}</annotation></semantics></math><img src=$ $1 n > 1$ 1 Il existe alors une bijection entre les facteurs ${\displaystyle d <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mu (d) eq 0 <semantics><mrow><mstyle><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>d</mi><mo>)</mo><mo>≠</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu (d) eq 0}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$

Ce dernier fait peut être facilement démontré par récurrence sur la cardinalité ${\displaystyle |S| <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>S</mi><mrow><mo>|</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle |S|}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle S <semantics><mrow><mstyle><mi>S</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle |S|=1 <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>|</mo></mrow><mi>S</mi><mrow><mo>|</mo></mrow><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle |S|=1}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle S <semantics><mrow><mstyle><mi>S</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle S <semantics><mrow><mstyle><mi>S</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \emptyset <semantics><mrow><mstyle><mi>∅</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \emptyset }</annotation></semantics></math><img src=$ $1 | S | > 1$ 1 , puis divisez les sous-ensembles de ${\displaystyle S <semantics><mrow><mstyle><mi>S</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle S <semantics><mrow><mstyle><mi>S</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \{x\ <semantics><mrow><mstyle><mo>{</mo><mi>x</mi><mo>}</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \{x\}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle S\setminus \{x\ <semantics><mrow><mstyle><mi>S</mi><mo>∖</mo><mo>{</mo><mi>x</mi><mo>}</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S\setminus \{x\}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \{x\ <semantics><mrow><mstyle><mo>{</mo><mi>x</mi><mo>}</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \{x\}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle S <semantics><mrow><mstyle><mi>S</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S}</annotation></semantics></math><img src=$

Un résultat connexe est que les coefficients binomiaux présentent des entrées alternées de puissance impaire et paire qui s'additionnent symétriquement.

Commande moyenne

La valeur moyenne (au sens des ordres moyens) de la fonction de Möbius est nulle. Cette affirmation est, en fait, équivalente au théorème des nombres premiers .

${\displaystyle \mu (n) <semantics><mrow><mstyle><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu (n)}</annotation></semantics></math><img src=$

${\displaystyle \mu (n)=0 <semantics><mrow><mstyle><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu (n)=0}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, ... dans l' OEIS ) .

Si ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mu (n)=-1 <semantics><mrow><mstyle><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu (n)=-1}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mu (n)=-1 <semantics><mrow><mstyle><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu (n)=-1}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle 30=2 imes 3 imes 5 <semantics><mrow><mstyle><mn>30</mn><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>5</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle 30=2 imes 3 imes 5}</annotation></semantics></math><img src=$

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, ... dans l' OEIS ) .

et les premiers nombres de ce type ayant 5 facteurs premiers distincts sont

2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, ... dans l' OEIS ) .

Fonction de Mertens

En théorie des nombres, une autre fonction arithmétique étroitement liée à la fonction de Möbius est la fonction de Mertens , définie par

{\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k) <semantics><mrow><mstyle><mi>M</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)}</annotation></semantics></math></span><img src=

pour tout entier naturel ${\displaystyle M(n) </span referrerpolicy=$ et l' hypothèse de Riemann .

À partir de la formule

{\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}, <semantics><mrow><mstyle><mi>μ</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><munder><mo>∑</mo><mrow><mrow><mover><mrow><mo>pgcd</mo><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>k</mi><mo>≤</mo><mi>n</mi></mrow></mover></mrow></mrow></munder><msup><mi>e</mi><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>je</mi><mrow><mfrac><mi>k</mi><mi>n</mi></mfrac></mrow></mrow></msup><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}</annotation></semantics></math></span><img src=

il s'ensuit que la fonction de Mertens est donnée par

{\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia}, <semantics><mrow><mstyle><mi>M</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><munder><mo>∑</mo><mrow><mi>un</mi><mo>∈</mo><msub><mrow><mrow><mi>F</mi></mrow></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></munder><msup><mi>e</mi><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi><mi>je</mi><mi>un</mi></mrow></msup><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia},}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mrow><mi>F</mi></mrow></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n}</annotation></semantics></math><img src=$

Cette formule est utilisée dans la preuve du théorème de Franel-Landau .

Généralisations

algèbres d'incidence

En combinatoire , tout ensemble partiellement ordonné localement fini (poset) est muni d'une algèbre d'incidence . Un élément remarquable de cette algèbre est la fonction de Möbius du poset. La fonction de Möbius classique étudiée dans cet article est essentiellement égale à la fonction de Möbius de l'ensemble des entiers positifs partiellement ordonnés par divisibilité . Pour une définition précise et plusieurs exemples de ces fonctions de Möbius générales, voir l'article sur les algèbres d'incidence .

Puisque la fonction de Möbius est multiplicative, sa convolution de Dirichlet (itérée) l'est également. ${\displaystyle \mu _{k}=\mu *\cdots *\mu <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>μ</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>μ</mi><mo>∗</mo><mo>⋯</mo><mo>∗</mo><mi>μ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu _{k}=\mu *\cdots *\mu }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle k <semantics><mrow><mstyle><mi>k</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle k}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mu _{k}\left(p^{a} ight)=(-1)^{a}{\binom {k}{a <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>μ</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><msup><mi>p</mi><mrow><mi>un</mi></mrow></msup><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><msup><mo>)</mo><mrow><mi>un</mi></mrow></msup><mrow><mrow><mrow><mo>(</mo></mrow><mfrac><mi>k</mi><mi>un</mi></mfrac><mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mu _{k}\left(p^{a} ight)=(-1)^{a}{\binom {k}{a}}}</annotation></semantics></math><img src=$ $k un > k$ k [ La définition peut être étendue aux ${\displaystyle k <semantics><mrow><mstyle><mi>k</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle k}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle k <semantics><mrow><mstyle><mi>k</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle k}</annotation></semantics></math><img src=$

Mises en œuvre

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