Fonction oméga principale

En théorie des nombres , les fonctions oméga premières et comptent le nombre de facteurs premiers d'un nombre naturel. Ainsi (petit oméga) compte chaque facteur premier distinct , tandis que la fonction associée (grand oméga) compte le nombre total de facteurs premiers de en respectant leur multiplicité (voir fonction arithmétique ). C'est-à-dire que si nous avons une factorisation première de de la forme pour des nombres premiers distincts ( ), alors les fonctions oméga premières respectives sont données par et . Ces fonctions de comptage de facteurs premiers ont de nombreuses relations importantes en théorie des nombres. ${\displaystyle \omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \oméga (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \oméga (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>p</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>p</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>⋯</mo> <msubsup> <mi>p</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle p_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 1\leq i\leq k <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>1</mn> <mo>≤</mo> <mi>je</mi> <mo>≤</mo> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 1\leq i\leq k}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega (n)=k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \oméga (n)=k}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Omega (n)=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Omega (n)=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{k}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Propriétés et relations

La fonction est additive et est complètement additive . ${\displaystyle \omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \oméga (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle \omega (n)=\sum _{p\mid n}1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>p</mi> <mo>∣</mo> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega (n)=\sum _{p\mid n}1}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Si divise au moins une fois, nous le comptons une seule fois, par exemple . ${\displaystyle p <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega (12)=\omega (2^{2}3)=2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>3</mn> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega (12)=\omega (2^{2}3)=2}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle \Omega (n)=\sum _{p^{\alpha }\mid n}1=\sum _{p^{\alpha }\parallel n}\alpha <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo>∣</mo> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo>∥</mo> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Omega (n)=\sum _{p^{\alpha }\mid n}1=\sum _{p^{\alpha }\parallel n}\alpha }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Si divise par, on compte les exposants, par exemple . Comme d'habitude, la moyenne est la puissance exacte de la division . ${\displaystyle p <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \alpha \geq 1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha \geq 1}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Omega (12)=\Omega (2^{2}3^{1})=3 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Ω</mi> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>Ω</mi> <mo>(</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mn>3</mn> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Omega (12)=\Omega (2^{2}3^{1})=3}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle p^{\alpha }\parallel n <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo>∥</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p^{\alpha }\parallel n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \alpha <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle p <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle \Omega (n)\geq \omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>≥</mo> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Omega (n)\geq \omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Si alors est sans carré et lié à la fonction de Möbius par ${\displaystyle \Omega (n)=\omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Omega (n)=\omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \mu (n)=(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>μ</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>Ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mu (n)=(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Si alors est une puissance première, et si alors est un nombre premier. ${\displaystyle \omega (n)=1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega (n)=1}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Omega (n)=1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Omega (n)=1}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$

On sait que la fonction diviseur satisfait . ${\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>≤</mo> <mi>d</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>≤</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>Ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Comme de nombreuses fonctions arithmétiques, il n'existe pas de formule explicite pour ou mais il existe des approximations. ${\displaystyle \Omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Une série asymptotique pour l'ordre moyen de est donnée par ${\displaystyle \omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}\omega (k)\sim \log \log n+B_{1}+\sum _{k\geq 1}\left(\sum _{j=0}^{k-1}{\frac {\gamma _{j}}{j!}}-1 ight){\frac {(k-1)!}{(\log n)^{k}}}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>∼</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>γ</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mi>j</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}\omega (k)\sim \log \log n+B_{1}+\sum _{k\geq 1}\left(\sum _{j=0}^{k-1}{\frac {\gamma _{j}}{j!}}-1 ight){\frac {(k-1)!}{(\log n)^{k}}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où est la constante de Mertens et sont les constantes de Stieltjes . ${\displaystyle B_{1}\approx 0.26149721 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>≈</mo> <mn>0.26149721</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B_{1}\approx 0.26149721}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \gamma _{j <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>γ</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \gamma _{j}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La fonction est liée aux sommes de diviseurs sur la fonction de Möbius et la fonction de diviseur incluant les sommes suivantes. ${\displaystyle \omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|=2^{\omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>d</mi> <mo>∣</mo> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>μ</mi> <mo>(</mo> <mi>d</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|=2^{\omega (n)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

OEIS : A034444

{\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|k^{\omega (d)}=(k+1)^{\omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>d</mi> <mo>∣</mo> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>μ</mi> <mo>(</mo> <mi>d</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msup> <mi>k</mi> <mrow> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>d</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|k^{\omega (d)}=(k+1)^{\omega (n)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}=d(n^{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>∣</mo> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}=d(n^{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}d\left({\frac {n}{r}} ight)=d^{2}(n) <semantics> <mrow> <mstyle> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>∣</mo> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>r</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}d\left({\frac {n}{r}} ight)=d^{2}(n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle \sum _{d\mid n}(-1)^{\omega (d)}=\prod \limits _{p^{\alpha }||n}(1-\alpha ) <semantics> <mrow> <mstyle> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>d</mi> <mo>∣</mo> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>d</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munder> <mo>∏</mo> <mrow> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>α</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sum _{d\mid n}(-1)^{\omega (d)}=\prod \limits _{p^{\alpha }||n}(1-\alpha )}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},\ m_{1},m_{2}{ ext{ odd}},m=\operatorname {lcm} (m_{1},m_{2}) <semantics> <mrow> <mstyle> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>≤</mo> <mi>k</mi> <mo>≤</mo> <mi>m</mi> </mrow> </mover> </mrow> </mrow> </munder> <mo>gcd</mo> <mo>(</mo> <msup> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>gcd</mo> <mo>(</mo> <msup> <mi>k</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∣</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>∣</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mover> </mrow> </mrow> </munder> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mo>gcd</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>lcm</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mtext> odd</mtext> </mrow> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mi>lcm</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},\ m_{1},m_{2}{ ext{ odd}},m=\operatorname {lcm} (m_{1},m_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {gcd} (k,m)=1}}\!\!\!\!1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+O\left(2^{\omega (m)} ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>gcd</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>≤</mo> <mi>k</mi> <mo>≤</mo> <mi>n</mi> </mrow> </mover> </mrow> </mrow> </munder> <mspace></mspace> <mspace></mspace> <mspace></mspace> <mspace></mspace> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>φ</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>m</mi> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {gcd} (k,m)=1}}\!\!\!\!1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+O\left(2^{\omega (m)} ight)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

La fonction caractéristique des nombres premiers peut être exprimée par une convolution avec la fonction de Möbius :

{\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }(n)=(\mu \ast \omega )(n)=\sum _{d|n}\omega (d)\mu (n/d). <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>χ</mi> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>μ</mi> <mo>∗</mo> <mi>ω</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>d</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>d</mi> <mo>)</mo> <mi>μ</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }(n)=(\mu \ast \omega )(n)=\sum _{d|n}\omega (d)\mu (n/d).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Une identité exacte liée à la partition est donnée par ${\displaystyle \omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \omega (n)=\log _{2}\left[\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{d\mid k}\sum _{i=1}^{d}p(d-ji) ight)s_{n,k}\cdot |\mu (j)| ight], <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>d</mi> <mo>∣</mo> <mi>k</mi> </mrow> </munder> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </munderover> <mi>p</mi> <mo>(</mo> <mi>d</mi> <mo>−</mo> <mi>j</mi> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>μ</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega (n)=\log _{2}\left[\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{d\mid k}\sum _{i=1}^{d}p(d-ji) ight)s_{n,k}\cdot |\mu (j)| ight],}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où est la fonction de partition , est la fonction de Möbius et la séquence triangulaire est développée par ${\displaystyle p(n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p(n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mu (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>μ</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mu (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle s_{n,k <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s_{n,k}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle s_{n,k}=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}=s_{o}(n,k)-s_{e}(n,k), <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>[</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>]</mo> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>;</mo> <mi>q</mi> <msub> <mo>)</mo> <mrow> <mi>∞</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s_{n,k}=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}=s_{o}(n,k)-s_{e}(n,k),}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

en termes du symbole q-Pochhammer infini et des fonctions de partition restreintes qui désignent respectivement le nombre de dans toutes les partitions de en un nombre impair ( pair ) de parties distinctes. ${\displaystyle s_{o/e}(n,k) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>o</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s_{o/e}(n,k)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Continuation vers le plan complexe

Une continuation de a été trouvée, bien qu'elle ne soit pas analytique partout. Notez que la fonction normalisée est utilisée. ${\displaystyle \omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>sinc</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {sinc} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>sinc</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>π</mi> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>π</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \omega (z)=\log _{2}\left(\sum _{n=1}^{\lceil Re(z) ceil }\operatorname {sinc} \left(\prod _{m=1}^{\lceil Re(z) ceil +1}\left(n^{2}+n-mz ight) ight) ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>log</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>⌈</mo> <mi>R</mi> <mi>e</mi> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>⌉</mo> </mrow> </munderover> <mi>sinc</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>⌈</mo> <mi>R</mi> <mi>e</mi> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>⌉</mo> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>n</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>m</mi> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega (z)=\log _{2}\left(\sum _{n=1}^{\lceil Re(z) ceil }\operatorname {sinc} \left(\prod _{m=1}^{\lceil Re(z) ceil +1}\left(n^{2}+n-mz ight) ight) ight)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Ceci est étroitement lié à l'identité de partition suivante. Considérez les partitions de la forme

{\displaystyle a={\frac {2}{c}}+{\frac {4}{c}}+\ldots +{\frac {2(b-1)}{c}}+{\frac {2b}{c <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>2</mn> <mi>c</mi> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mn>4</mn> <mi>c</mi> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>c</mi> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>b</mi> </mrow> <mi>c</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a={\frac {2}{c}}+{\frac {4}{c}}+\ldots +{\frac {2(b-1)}{c}}+{\frac {2b}{c}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où , , et sont des entiers positifs, et . Le nombre de partitions est alors donné par . ${\displaystyle a <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle b <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle c <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math><img src=$ $b>c a > b > c$ b>c}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3756bee44d7cb7e6221499eedb579fb848d2e5ac"> ${\displaystyle 2^{\omega (a)}-2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 2^{\omega (a)}-2}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Fonctions d'ordre moyen et sommatoires

Un ordre moyen de et est . Lorsque est premier, une borne inférieure sur la valeur de la fonction est . De même, si est primorial alors la fonction est aussi grande que sur un ordre moyen. Lorsque est une puissance de 2 , alors . ${\displaystyle \omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \log \log n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \log \log n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega (n)=1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega (n)=1}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega (n)\sim {\frac {\log n}{\log \log n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>∼</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega (n)\sim {\frac {\log n}{\log \log n}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Omega (n)={\frac {\log n}{\log 2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Omega (n)={\frac {\log n}{\log 2}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les asymptotiques pour les fonctions sommatoires sur , , et sont respectivement calculées dans Hardy et Wright comme ${\displaystyle \omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega (n)^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega (n)^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq x}\omega (n)&=x\log \log x+B_{1}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\Omega (n)&=x\log \log x+B_{2}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{2}&=x(\log \log x)^{2}+O(x\log \log x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{k}&=x(\log \log x)^{k}+O(x(\log \log x)^{k-1}),k\in \mathbb {Z} ^{+},\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≤</mo> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>o</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≤</mo> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mi>Ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>o</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≤</mo> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≤</mo> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> <mrow> <mo>+</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq x}\omega (n)&=x\log \log x+B_{1}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\Omega (n)&=x\log \log x+B_{2}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{2}&=x(\log \log x)^{2}+O(x\log \log x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{k}&=x(\log \log x)^{k}+O(x(\log \log x)^{k-1}),k\in \mathbb {Z} ^{+},\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où est la constante de Mertens et la constante est définie par ${\displaystyle B_{1}\approx 0.2614972128 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>≈</mo> <mn>0.2614972128</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B_{1}\approx 0.2614972128}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle B_{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle B_{2}=B_{1}+\sum _{p{ ext{ prime}}}{\frac {1}{p(p-1)}}\approx 1.0345061758. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>p</mi> <mrow> <mtext> prime</mtext> </mrow> </mrow> </munder> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>p</mi> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>≈</mo> <mn>1.0345061758.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B_{2}=B_{1}+\sum _{p{ ext{ prime}}}{\frac {1}{p(p-1)}}\approx 1.0345061758.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

La somme du nombre de diviseurs unitaires :

${\displaystyle \sum _{n\leq x}2^{\omega (n)}=(x\log x)/\zeta (2)+O(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≤</mo> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>ζ</mi> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sum _{n\leq x}2^{\omega (n)}=(x\log x)/\zeta (2)+O(x)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ A064608 dans l' OEIS )

D'autres sommes reliant les deux variantes des fonctions oméga premières incluent

{\displaystyle \sum _{n\leq x}\left\{\Omega (n)-\omega (n) ight\}=O(x), <semantics> <mrow> <mstyle> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≤</mo> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>Ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>O</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sum _{n\leq x}\left\{\Omega (n)-\omega (n) ight\}=O(x),}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\sqrt {\log \log x}} ight\}=O\left({\frac {x}{(\log \log x)^{1/2}}} ight). # {n \leq x : Ω (n) - ω (n) > \sqrt{\log \log x}} = O (\frac{x}{(\log \log x)^{1 / 2}}) .

{\sqrt {\log \log x}}\droite\}=O\gauche({\frac {x}{(\log \log x)^{1/2}}}\droite).}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2df78bad16af0e1dec196fc5bcfac5641625436">

Exemple I : Une fonction sommatoire modifiée

Dans cet exemple, nous proposons une variante des fonctions sommatoires estimées dans les résultats ci-dessus pour suffisamment grand . Nous prouvons ensuite une formule asymptotique pour la croissance de cette fonction sommatoire modifiée dérivée de l'estimation asymptotique de fournie dans les formules de la sous-section principale de cet article ci-dessus. ${\displaystyle S_{\omega }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>ω</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>:=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≤</mo> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle S_{\omega }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle S_{\omega }(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>ω</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle S_{\omega }(x)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Pour être tout à fait précis, la fonction sommatoire à index impair doit être définie comme

{\displaystyle S_{\operatorname {odd} }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)[n{ ext{ odd}}], <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>odd</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>:=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≤</mo> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>[</mo> <mi>n</mi> <mrow> <mtext> odd</mtext> </mrow> <mo>]</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle S_{\operatorname {odd} }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)[n{ ext{ odd}}],}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où désigne le crochet d'Iverson . Alors nous avons que ${\displaystyle [\cdot ] <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>[</mo> <mo>⋅</mo> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle [\cdot ]}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle S_{\operatorname {odd} }(x)={\frac {x}{2}}\log \log x+{\frac {(2B_{1}-1)x}{4}}+\left\{{\frac {x}{4}} ight\}-\left[x\equiv 2,3{\bmod {4}} ight]+O\left({\frac {x}{\log x}} ight). <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>odd</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mi>x</mi> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mfrac> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>≡</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mrow> <mo>mod</mo> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mi>x</mi> <mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle S_{\operatorname {odd} }(x)={\frac {x}{2}}\log \log x+{\frac {(2B_{1}-1)x}{4}}+\left\{{\frac {x}{4}} ight\}-\left[x\equiv 2,3{\bmod {4}} ight]+O\left({\frac {x}{\log x}} ight).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

La preuve de ce résultat suit en observant d'abord que

{\displaystyle \omega (2n)={\begin{cases}\omega (n)+1,&{ ext{if }}n{ ext{ is odd; }}\\\omega (n),&{ ext{if }}n{ ext{ is even,}}\end{cases <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mo>{</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mrow> <mtext>if </mtext> </mrow> <mi>n</mi> <mrow> <mtext> is odd; </mtext> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mtd> <mtd> <mrow> <mtext>if </mtext> </mrow> <mi>n</mi> <mrow> <mtext> is even,</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega (2n)={\begin{cases}\omega (n)+1,&{ ext{if }}n{ ext{ is odd; }}\\\omega (n),&{ ext{if }}n{ ext{ is even,}}\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

et en appliquant ensuite le résultat asymptotique de Hardy et Wright pour la fonction sommatoire sur , notée , sous la forme suivante : ${\displaystyle \omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle S_{\omega }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>ω</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>:=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≤</mo> <mi>x</mi> </mrow> </munder> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle S_{\omega }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle {\begin{aligned}S_{\omega }(x)&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{2}} ight floor }\omega (2n)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{4}} ight floor }\left(\omega (4n)+\omega (4n+2) ight)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{4}} ight floor }\left(\omega (2n)+\omega (2n+1)+1 ight)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+S_{\omega }\left(\left\lfloor {\frac {x}{2}} ight floor ight)+\left\lfloor {\frac {x}{4}} ight floor .\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>ω</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>odd</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≤</mo> <mrow> <mo>⌊</mo> <mrow> <mfrac> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⌋</mo> </mrow> </mrow> </munder> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>odd</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≤</mo> <mrow> <mo>⌊</mo> <mrow> <mfrac> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⌋</mo> </mrow> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>odd</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≤</mo> <mrow> <mo>⌊</mo> <mrow> <mfrac> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⌋</mo> </mrow> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>odd</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <mi>ω</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>⌊</mo> <mrow> <mfrac> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⌋</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>⌊</mo> <mrow> <mfrac> <mi>x</mi> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⌋</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}S_{\omega }(x)&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{2}} ight floor }\omega (2n)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{4}} ight floor }\left(\omega (4n)+\omega (4n+2) ight)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{4}} ight floor }\left(\omega (2n)+\omega (2n+1)+1 ight)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+S_{\omega }\left(\left\lfloor {\frac {x}{2}} ight floor ight)+\left\lfloor {\frac {x}{4}} ight floor .\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Exemple II : Fonctions sommatoires pour les moments dits factoriels de ω(n)

Les calculs développés dans le chapitre 22.11 de Hardy et Wright fournissent des estimations asymptotiques pour la fonction sommatoire

{\displaystyle \omega (n)\left\{\omega (n)-1 ight\}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega (n)\left\{\omega (n)-1 ight\},}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

en estimant le produit de ces deux fonctions oméga composantes comme

{\displaystyle \omega (n)\left\{\omega (n)-1 ight\}=\sum _{\stackrel {pq\mid n}{\stackrel {p eq q}{p,q{ ext{ prime}}}}}1=\sum _{\stackrel {pq\mid n}{p,q{ ext{ prime}}}}1-\sum _{\stackrel {p^{2}\mid n}{p{ ext{ prime}}}}1. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mrow> <mtext> prime</mtext> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>p</mi> <mo>≠</mo> <mi>q</mi> </mrow> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>p</mi> <mi>q</mi> <mo>∣</mo> <mi>n</mi> </mrow> </mover> </mrow> </mrow> </munder> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mrow> <mtext> prime</mtext> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>p</mi> <mi>q</mi> <mo>∣</mo> <mi>n</mi> </mrow> </mover> </mrow> </mrow> </munder> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>p</mi> <mrow> <mtext> prime</mtext> </mrow> </mrow> <mrow> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>∣</mo> <mi>n</mi> </mrow> </mover> </mrow> </mrow> </munder> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega (n)\left\{\omega (n)-1 ight\}=\sum _{\stackrel {pq\mid n}{\stackrel {p eq q}{p,q{ ext{ prime}}}}}1=\sum _{\stackrel {pq\mid n}{p,q{ ext{ prime}}}}1-\sum _{\stackrel {p^{2}\mid n}{p{ ext{ prime}}}}1.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Nous pouvons également calculer des formules asymptotiques plus généralement pour les fonctions sommatoires liées sur les moments factoriels de la fonction . ${\displaystyle \omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Séries de Dirichlet

Une série de Dirichlet connue impliquant et la fonction zêta de Riemann est donnée par ${\displaystyle \omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

1. \sum_{n \geq 1} \frac{2^{ω (n)}}{n^{s}} = \frac{ζ^{2} (s)}{ζ (2 s)}, ℜ (s) > 1.

1.}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e93dff384f8d2c9bc4e6f5ae4ec9533105f9d1b">

Nous pouvons également voir que

{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{\omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {z}{p^{s}-1}} ight),|z|<2,\Re (s)>1, <semantics> <mrow> <mstyle> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>z</mi> <mrow> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mi>n</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∏</mo> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mi>z</mi> <mrow> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>ℜ</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>></mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{\omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {z}{p^{s}-1}} ight),|z|<2,\Re (s)>1,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{\Omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1-{\frac {z}{p^{s}}} ight)^{-1},|z|<2,\Re (s)>1, <semantics> <mrow> <mstyle> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>z</mi> <mrow> <mi>Ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mi>n</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∏</mo> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </munder> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mi>z</mi> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>ℜ</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>></mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{\Omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1-{\frac {z}{p^{s}}} ight)^{-1},|z|<2,\Re (s)>1,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

La fonction est complètement additive , où est fortement additive (additive) . Nous pouvons maintenant prouver un lemme court sous la forme suivante qui implique des formules exactes pour les développements de la série de Dirichlet sur et : ${\displaystyle \Omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Lemme. Supposons que soit une fonction arithmétique fortement additive définie de telle sorte que ses valeurs aux puissances premières soient données par , c'est-à-dire pour des nombres premiers et des exposants distincts . La série de Dirichlet de est développée par ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f(p^{\alpha }):=f_{0}(p,\alpha ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mo>:=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>α</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(p^{\alpha }):=f_{0}(p,\alpha )}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f(p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}})=f_{0}(p_{1},\alpha _{1})+\cdots +f_{0}(p_{k},\alpha _{k}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>p</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>⋯</mo> <msubsup> <mi>p</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}})=f_{0}(p_{1},\alpha _{1})+\cdots +f_{0}(p_{k},\alpha _{k})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle p_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \alpha _{i}\geq 1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha _{i}\geq 1}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$

\min(1,\sigma _{f}). \sum_{n \geq 1} \frac{f (n)}{n^{s}} = ζ (s) \times \sum_{p p r i m e} (1 - p^{- s}) \cdot \sum_{n \geq 1} f_{0} (p, n) p^{- n s}, ℜ (s) > min (1, σ_{f}) .

\min(1,\sigma _{f}).}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd38010b6214d1827c7ea84b8b894e1ba2a1abd">

Preuve. Nous pouvons voir que

{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {u^{f(n)}}{n^{s}}}=\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns} ight). <semantics> <mrow> <mstyle> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mi>n</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∏</mo> <mrow> <mi>p</mi> <mrow> <mtext> </mtext> <mi>p</mi> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mi>m</mi> <mi>e</mi> </mrow> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <msup> <mi>u</mi> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {u^{f(n)}}{n^{s}}}=\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns} ight).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Cela implique que

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}&={\frac {d}{du}}\left[\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns} ight) ight]{\Biggr |}_{u=1}=\prod _{p}\left(1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns} ight) imes \sum _{p}{\frac {\sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns}}{1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}}}\\&=\zeta (s) imes \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>n</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>u</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <munder> <mo>∏</mo> <mrow> <mi>p</mi> <mrow> <mtext> </mtext> <mi>p</mi> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mi>m</mi> <mi>e</mi> </mrow> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <msup> <mi>u</mi> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mo>∏</mo> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>×</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mfrac> <mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>ζ</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>×</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>p</mi> <mrow> <mtext> </mtext> <mi>p</mi> <mi>r</mi> <mi>i</mi> <mi>m</mi> <mi>e</mi> </mrow> </mrow> </munder> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mo>⋅</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}&={\frac {d}{du}}\left[\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns} ight) ight]{\Biggr |}_{u=1}=\prod _{p}\left(1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns} ight) imes \sum _{p}{\frac {\sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns}}{1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}}}\\&=\zeta (s) imes \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où les séries et produits correspondants sont convergents. Dans la dernière équation, nous avons utilisé la représentation du produit eulérien de la fonction zêta de Riemann .

Le lemme implique que pour , $1 ℜ (s) > 1$ 1}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ea5968732ea35f67b36093364400e0fd8ca23bf">

{\displaystyle {\begin{aligned}D_{\omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)P(s)\\&\ =\zeta (s) imes \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{\Omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\Omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s) imes \sum _{n\geq 1}P(ns)\\&\ =\zeta (s) imes \sum _{n\geq 1}{\frac {\phi (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{h}(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {h(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\log \zeta (s)\\&\ =\zeta (s) imes \sum _{n\geq 1}{\frac {\varepsilon (n)}{n}}\log \zeta (ns),\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>ω</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>:=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>n</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>ζ</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mi>P</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mi>ζ</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>×</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>μ</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ζ</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>Ω</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>:=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>Ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>n</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>ζ</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>×</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mi>P</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mi>ζ</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>×</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>ϕ</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ζ</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>:=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>h</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>n</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>ζ</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ζ</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mi>ζ</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>×</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>ε</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ζ</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}D_{\omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)P(s)\\&\ =\zeta (s) imes \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{\Omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\Omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s) imes \sum _{n\geq 1}P(ns)\\&\ =\zeta (s) imes \sum _{n\geq 1}{\frac {\phi (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{h}(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {h(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\log \zeta (s)\\&\ =\zeta (s) imes \sum _{n\geq 1}{\frac {\varepsilon (n)}{n}}\log \zeta (ns),\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où est la fonction zêta première , où est le nombre harmonique -ième et est l'identité pour la convolution de Dirichlet , . ${\displaystyle P(s) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>P</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P(s)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle h(n)=\sum _{p^{k}|n}{\frac {1}{k}}=\sum _{p^{k}||n}{H_{k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>h</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>k</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle h(n)=\sum _{p^{k}|n}{\frac {1}{k}}=\sum _{p^{k}||n}{H_{k}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle H_{k <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle H_{k}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \varepsilon <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ε</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \varepsilon }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \varepsilon (n)=\lfloor {\frac {1}{n}} floor <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ε</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>⌊</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mo>⌋</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \varepsilon (n)=\lfloor {\frac {1}{n}} floor }</annotation> </semantics> </math><img src=$

La distribution de la différence des fonctions oméga premières

La distribution des valeurs entières distinctes des différences est régulière en comparaison des propriétés semi-aléatoires des fonctions composantes. Pour , définir ${\displaystyle \Omega (n)-\omega (n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Omega (n)-\omega (n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle k\geq 0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k\geq 0}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle N_{k}(x):=\#(\{n\in \mathbb {Z} ^{+}:\Omega (n)-\omega (n)=k\}\cap [1,x]). <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>:=</mo> <mi>#</mi> <mo>(</mo> <mo>{</mo> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> <mrow> <mo>+</mo> </mrow> </msup> <mo>:</mo> <mi>Ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <mi>ω</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>k</mi> <mo>}</mo> <mo>∩</mo> <mo>[</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>]</mo> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle N_{k}(x):=\#(\{n\in \mathbb {Z} ^{+}:\Omega (n)-\omega (n)=k\}\cap [1,x]).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Ces cardinalités ont une séquence correspondante de densités limites telles que pour ${\displaystyle d_{k <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d_{k}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x\geq 2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>≥</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x\geq 2}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle N_{k}(x)=d_{k}\cdot x+O\left(\left({\frac {3}{4}} ight)^{k}{\sqrt {x}}(\log x)^{\frac {4}{3}} ight). <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mrow> <msqrt> <mi>x</mi> </msqrt> </mrow> <mo>(</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mfrac> <mn>4</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle N_{k}(x)=d_{k}\cdot x+O\left(\left({\frac {3}{4}} ight)^{k}{\sqrt {x}}(\log x)^{\frac {4}{3}} ight).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Ces densités sont générées par les produits principaux

{\displaystyle \sum _{k\geq 0}d_{k}\cdot z^{k}=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}} ight)\left(1+{\frac {1}{p-z}} ight). <semantics> <mrow> <mstyle> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munder> <mo>∏</mo> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>p</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sum _{k\geq 0}d_{k}\cdot z^{k}=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}} ight)\left(1+{\frac {1}{p-z}} ight).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Avec la constante absolue , les densités satisfont $2}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}} ight)^{-1 \hat{c} := \frac{1}{4} \times \prod_{p > 2} {(1 - \frac{1}{(p - 1)^{2}})}^{- 1}$ 2}\gauche(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\droite)^{-1}}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3676e25a3f2c72dd6abdc41d1e36162068384c1e"> ${\displaystyle d_{k <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d_{k}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle d_{k}={\hat {c}}\cdot 2^{-k}+O(5^{-k}). <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mo>(</mo> <msup> <mn>5</mn> <mrow> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d_{k}={\hat {c}}\cdot 2^{-k}+O(5^{-k}).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Comparer à la définition des produits premiers définie dans la dernière section de en relation avec le théorème d'Erdős–Kac .