Deuxième quantification

La seconde quantification , également appelée représentation du nombre d'occupation , est un formalisme utilisé pour décrire et analyser les systèmes quantiques à plusieurs corps . En théorie quantique des champs , elle est connue sous le nom de quantification canonique , dans laquelle les champs (généralement comme les fonctions d'onde de la matière) sont considérés comme des opérateurs de champ , d'une manière similaire à la façon dont les quantités physiques (position, impulsion, etc.) sont considérées comme des opérateurs en première quantification . Les idées clés de cette méthode ont été introduites en 1927 par Paul Dirac , et ont été développées plus tard, notamment, par Pascual Jordan et Vladimir Fock . Dans cette approche, les états quantiques à plusieurs corps sont représentés dans la base d'états de Fock , qui sont construits en remplissant chaque état à particule unique avec un certain nombre de particules identiques. Le formalisme de seconde quantification introduit les opérateurs de création et d'annihilation pour construire et gérer les états de Fock, fournissant des outils utiles à l'étude de la théorie quantique à plusieurs corps.

Le point de départ du deuxième formalisme de quantification est la notion d' indiscernabilité des particules en mécanique quantique. Contrairement à la mécanique classique, où chaque particule est étiquetée par un vecteur de position distinct et où différentes configurations de l'ensemble des s correspondent à différents états à plusieurs corps, en mécanique quantique, les particules sont identiques, de sorte que l'échange de deux particules, c'est-à-dire , ne conduit pas à un état quantique à plusieurs corps différent . Cela implique que la fonction d'onde quantique à plusieurs corps doit être invariante (à un facteur de phase près) sous l'échange de deux particules. Selon les statistiques des particules, la fonction d'onde à plusieurs corps peut être soit symétrique soit antisymétrique sous l'échange de particules :

Cette propriété de symétrie d'échange impose une contrainte sur la fonction d'onde à plusieurs corps. Chaque fois qu'une particule est ajoutée ou retirée du système à plusieurs corps, la fonction d'onde doit être correctement symétrisée ou antisymétrisée pour satisfaire la contrainte de symétrie. Dans le premier formalisme de quantification, cette contrainte est garantie en représentant la fonction d'onde comme une combinaison linéaire de permanents (pour les bosons) ou de déterminants (pour les fermions) d'états de particules uniques. Dans le deuxième formalisme de quantification, la question de la symétrisation est automatiquement prise en charge par les opérateurs de création et d'annihilation, de sorte que sa notation peut être beaucoup plus simple.

Considérons un ensemble complet de fonctions d'onde à particule unique étiquetées par (qui peuvent être un indice combiné d'un certain nombre de nombres quantiques). La fonction d'onde suivante

représente un état de N -particules avec la i- ème particule occupant l'état de particule unique . Dans la notation abrégée, l'argument de position de la fonction d'onde peut être omis, et on suppose que la i- ème fonction d'onde de particule unique décrit l'état de la i -ème particule. La fonction d'onde n'a pas été symétrisée ou antisymétrisée, elle n'est donc généralement pas qualifiée de fonction d'onde à plusieurs corps pour des particules identiques. Cependant, elle peut être amenée à la forme symétrisée (antisymétrisée) par les opérateurs pour symétriseur et pour antisymétriseur .

Pour les bosons, la fonction d'onde à plusieurs corps doit être symétrisée,

tandis que pour les fermions, la fonction d'onde à plusieurs corps doit être antisymétrisée,

Voici un élément du groupe de permutation à N corps (ou groupe symétrique ) , qui effectue une permutation parmi les étiquettes d'état , et désigne le signe de permutation correspondant . est l'opérateur de normalisation qui normalise la fonction d'onde. (C'est l'opérateur qui applique un facteur de normalisation numérique approprié aux tenseurs symétrisés de degré n ; voir la section suivante pour sa valeur.)

Si l'on organise les fonctions d'onde à une seule particule dans une matrice , telle que l'élément de matrice ligne -i colonne -j soit , alors la fonction d'onde à plusieurs corps du boson peut être simplement écrite comme un permanent , et la fonction d'onde à plusieurs corps du fermion comme un déterminant (également connu sous le nom de déterminant de Slater ).

Les premières fonctions d'onde quantifiées impliquent des procédures de symétrisation compliquées pour décrire des états à plusieurs corps physiquement réalisables, car le langage de la première quantification est redondant pour les particules indiscernables. Dans le langage de la première quantification, l'état à plusieurs corps est décrit en répondant à une série de questions telles que « Quelle particule est dans quel état ? » . Cependant, il ne s'agit pas de questions physiques, car les particules sont identiques et il est impossible de dire quelle particule est laquelle en premier lieu. Les états apparemment différents et sont en fait des noms redondants du même état à plusieurs corps quantique. La symétrisation (ou l'antisymétrisation) doit donc être introduite pour éliminer cette redondance dans la description de la première quantification.

Dans le deuxième langage de quantification, au lieu de demander « chaque particule dans quel état », on demande « combien de particules y a-t-il dans chaque état ? » . Comme cette description ne fait pas référence à l'étiquetage des particules, elle ne contient aucune information redondante et conduit donc à une description précise et plus simple de l'état quantique à plusieurs corps. Dans cette approche, l'état à plusieurs corps est représenté dans la base des nombres d'occupation, et l'état de base est étiqueté par l'ensemble des nombres d'occupation, notés

ce qui signifie qu'il y a des particules dans l'état de particule unique (ou comme ). La somme des nombres d'occupation donne le nombre total de particules, c'est-à-dire . Pour les fermions , le nombre d'occupation ne peut être que 0 ou 1, en raison du principe d'exclusion de Pauli ; tandis que pour les bosons, il peut être n'importe quel entier non négatif

Les états d'occupation sont également appelés états de Fock. Tous les états de Fock forment une base complète de l'espace de Hilbert à plusieurs corps, ou espace de Fock . Tout état quantique générique à plusieurs corps peut être exprimé comme une combinaison linéaire d'états de Fock.

Notons qu'en plus de fournir un langage plus efficace, l'espace de Fock autorise un nombre variable de particules. En tant qu'espace de Hilbert , il est isomorphe à la somme des espaces tensoriels bosoniques ou fermioniques à n particules décrits dans la section précédente, y compris un espace unidimensionnel à particules nulles C .

L'état de Fock avec tous les nombres d'occupation égaux à zéro est appelé l' état de vide , noté . L'état de Fock avec un seul nombre d'occupation non nul est un état de Fock monomode, noté . En termes de première fonction d'onde quantifiée, l'état de vide est le produit tensoriel unitaire et peut être noté . L'état à une seule particule est réduit à sa fonction d'onde . D'autres états à plusieurs corps (bosons) monomodes ne sont que le produit tensoriel de la fonction d'onde de ce mode, tels que et . Pour les états de Fock multimodes (ce qui signifie que plus d'un état à une seule particule est impliqué), la première fonction d'onde quantifiée correspondante nécessitera une symétrisation appropriée selon les statistiques des particules, par exemple pour un état de boson et pour un état de fermion (le symbole entre et est omis pour plus de simplicité). En général, la normalisation est trouvée comme étant , où N est le nombre total de particules. Pour le fermion, cette expression se réduit à car ne peut être que zéro ou un. Ainsi, la première fonction d'onde quantifiée correspondant à l'état de Fock s'écrit

pour les bosons et

pour les fermions. Notez que pour les fermions uniquement, donc le produit tensoriel ci-dessus n'est en fait qu'un produit sur tous les états monoparticules occupés.

Les opérateurs de création et d'annihilation sont introduits pour ajouter ou supprimer une particule du système à plusieurs corps. Ces opérateurs sont au cœur du formalisme de seconde quantification, comblant le fossé entre les états quantifiés de première et de seconde quantification. L'application de l'opérateur de création (annihilation) à une fonction d'onde à plusieurs corps quantifiée de première quantification insérera (supprimera) un état à particule unique de la fonction d'onde de manière symétrisée en fonction des statistiques des particules. D'autre part, tous les états de Fock quantifiés de seconde quantification peuvent être construits en appliquant les opérateurs de création à l'état du vide de manière répétée.

Les opérateurs de création et d'annihilation (pour les bosons) sont construits à l'origine dans le contexte de l' oscillateur harmonique quantique comme les opérateurs de montée et de descente, qui sont ensuite généralisés aux opérateurs de champ dans la théorie quantique des champs. Ils sont fondamentaux pour la théorie quantique à plusieurs corps, dans le sens où chaque opérateur à plusieurs corps (y compris l'hamiltonien du système à plusieurs corps et toutes les observables physiques) peut être exprimé en termes d'eux.

La création et l'annihilation d'une particule sont mises en œuvre par l'insertion et la suppression de l'état monoparticule de la première fonction d'onde quantifiée de manière symétrique ou antisymétrique. Soit un état monoparticule, soit 1 l'identité tensorielle (elle est le générateur de l'espace à particules nulles C et satisfait dans l' algèbre tensorielle sur l'espace de Hilbert fondamental), et soit un état produit tensoriel générique. Les opérateurs d'insertion et de suppression sont des opérateurs linéaires définis par les équations récursives suivantes

Voici le symbole delta de Kronecker , qui donne 1 si , et 0 sinon. L'indice des opérateurs d'insertion ou de suppression indique si la symétrisation (pour les bosons) ou l'antisymétrisation (pour les fermions) est mise en oeuvre.

L'opérateur de création (resp. d'annihilation) de boson est généralement noté (resp. ). L'opérateur de création ajoute un boson à l'état de particule unique , et l'opérateur d'annihilation supprime un boson de l'état de particule unique . Les opérateurs de création et d'annihilation sont conjugués hermitiens l'un de l'autre, mais aucun d'eux n'est un opérateur hermitien ( ).

L'opérateur de création (annihilation) de boson est un opérateur linéaire, dont l'action sur une fonction d'onde quantifiée en premier à N particules est définie comme

où insère l'état de particule unique dans les positions d'insertion possibles de manière symétrique, et supprime l'état de particule unique des positions de suppression possibles de manière symétrique.

Ci-après, le symbole tenseur entre les états de particules simples est omis pour plus de simplicité. Prenez l'état , créez un boson supplémentaire sur l'état ,

Ensuite, annihilez un boson de l’état ,

En partant de l'état de vide monomode , en appliquant l'opérateur de création de manière répétée, on trouve

L'opérateur de création augmente le nombre d'occupation du boson de 1. Par conséquent, tous les états du nombre d'occupation peuvent être construits par l'opérateur de création de boson à partir de l'état du vide

D'autre part, l'opérateur d'annihilation diminue le nombre d'occupation du boson de 1

Cela éteindra également l'état de vide car il ne reste plus de boson dans l'état de vide à annihiler. En utilisant les formules ci-dessus, on peut montrer que

signification qui définit l'opérateur du nombre de bosons.

Le résultat ci-dessus peut être généralisé à n’importe quel état de Fock des bosons.

Ces deux équations peuvent être considérées comme les propriétés déterminantes des opérateurs de création et d'annihilation de bosons dans le formalisme de seconde quantification. La symétrisation compliquée de la fonction d'onde sous-jacente de première quantification est automatiquement prise en charge par les opérateurs de création et d'annihilation (lorsqu'ils agissent sur la fonction d'onde de première quantification), de sorte que la complexité n'est pas révélée au niveau de seconde quantification, et les formules de seconde quantification sont simples et claires.

Les identités d'opérateurs suivantes découlent de l'action des opérateurs de création et d'annihilation de bosons sur l'état de Fock,

Ces relations de commutation peuvent être considérées comme la définition algébrique des opérateurs de création et d'annihilation de bosons. Le fait que la fonction d'onde à plusieurs corps du boson soit symétrique sous l'effet de l'échange de particules se manifeste également par la commutation des opérateurs de bosons.

Les opérateurs de montée et de descente de l' oscillateur harmonique quantique satisfont également le même ensemble de relations de commutation, ce qui implique que les bosons peuvent être interprétés comme les quanta d'énergie (phonons) d'un oscillateur. Les opérateurs de position et d'impulsion d'un oscillateur harmonique (ou d'un ensemble de modes oscillants harmoniques) sont donnés par des combinaisons hermitiennes d'opérateurs de création et d'annihilation de phonons,

qui reproduisent la relation de commutation canonique entre les opérateurs de position et d'impulsion (avec )

Cette idée est généralisée dans la théorie quantique des champs , qui considère chaque mode du champ de matière comme un oscillateur soumis à des fluctuations quantiques, et les bosons sont traités comme les excitations (ou quanta d'énergie) du champ.

L'opérateur de création (annihilation) de fermion est généralement désigné par ( ). L'opérateur de création ajoute un fermion à l'état à particule unique et l'opérateur d'annihilation supprime un fermion de l'état à particule unique .

L'opérateur de création (annihilation) de fermion est un opérateur linéaire, dont l'action sur une fonction d'onde quantifiée en premier à N particules est définie comme

où insère l'état de particule unique dans des positions d'insertion possibles de manière antisymétrique et supprime l'état de particule unique des positions de suppression possibles de manière antisymétrique.

Il est particulièrement instructif d'observer les résultats des opérateurs de création et d'annihilation sur les états de deux (ou plusieurs) fermions, car ils démontrent les effets de l'échange. Quelques opérations illustratives sont données dans l'exemple ci-dessous. L'algèbre complète des opérateurs de création et d'annihilation sur un état à deux fermions peut être trouvée dans Quantum Photonics .

Ci-après, le symbole tenseur entre les états à une seule particule est omis pour des raisons de simplicité. Prenons l'état , la tentative de créer un fermion supplémentaire sur l' état occupé étouffera toute la fonction d'onde à plusieurs corps,

Annihiler un fermion sur l' état, prendre l'état ,

Le signe moins (appelé signe de fermion) apparaît en raison de la propriété antisymétrique de la fonction d'onde du fermion.

En partant de l'état de vide monomode , en appliquant l'opérateur de création de fermions ,

Si l'état à particule unique est vide, l'opérateur de création remplira l'état avec un fermion. Cependant, si l'état est déjà occupé par un fermion, une application ultérieure de l'opérateur de création éteindra l'état, démontrant le principe d'exclusion de Pauli selon lequel deux fermions identiques ne peuvent pas occuper le même état simultanément. Néanmoins, le fermion peut être retiré de l'état occupé par l'opérateur d'annihilation de fermion ,

L'état de vide est éteint par l'action de l'opérateur d'annihilation.

Similairement au cas du boson, l'état de Fock du fermion peut être construit à partir de l'état du vide en utilisant l'opérateur de création de fermion

Il est facile de vérifier (par énumération) que

signification qui définit l'opérateur du nombre de fermions.

Le résultat ci-dessus peut être généralisé à tout état de Fock de fermions.

Rappelons que le nombre d'occupation ne peut prendre que 0 ou 1 pour les fermions. Ces deux équations peuvent être considérées comme les propriétés définissant les opérateurs de création et d'annihilation de fermions dans le formalisme de quantification secondaire. Notons que la structure de signe des fermions , également connue sous le nom de chaîne de Jordan-Wigner , nécessite l'existence d'un ordre prédéfini des états de particules individuelles (la structure de spin ) et implique un comptage des nombres d'occupation des fermions de tous les états précédents ; par conséquent, les opérateurs de création et d'annihilation de fermions sont considérés comme non locaux dans un certain sens. Cette observation conduit à l'idée que les fermions sont des particules émergentes dans le système de qubits locaux intriqués à longue portée .

Les identités d'opérateurs suivantes découlent de l'action des opérateurs de création et d'annihilation de fermions sur l'état de Fock,

Ces relations d'anti-commutation peuvent être considérées comme la définition algébrique des opérateurs de création et d'annihilation de fermions. Le fait que la fonction d'onde à plusieurs corps du fermion soit antisymétrique sous l'effet de l'échange de particules se manifeste également par l'anti-commutation des opérateurs de fermions.

Les opérateurs de création et d'annihilation sont conjugués hermitiens l'un de l'autre, mais aucun d'eux n'est un opérateur hermitien ( ). La combinaison hermitienne des opérateurs de création et d'annihilation de fermions

sont appelés opérateurs fermioniques de Majorana . Ils peuvent être considérés comme l'analogue fermionique des opérateurs de position et d'impulsion d'un oscillateur harmonique « fermionique ». Ils satisfont la relation d'anticommutation

où étiquette tous les opérateurs de fermions de Majorana sur un pied d'égalité (quelle que soit leur origine à partir de Re ou Im combinaison d'opérateurs de fermions complexes ). La relation d'anticommutation indique que les opérateurs de fermions de Majorana génèrent une algèbre de Clifford , qui peut être systématiquement représentée comme des opérateurs de Pauli dans l'espace de Hilbert à plusieurs corps.

Définissant comme un opérateur général d'annihilation (création) pour un état à particule unique qui pourrait être soit fermionique soit bosonique , la représentation de l'espace réel des opérateurs définit les opérateurs de champ quantiques et par

Il s'agit d'opérateurs de seconde quantification, avec des coefficients et qui sont des fonctions d'onde ordinaires de première quantification . Ainsi, par exemple, toutes les valeurs attendues seront des fonctions d'onde ordinaires de première quantification. En gros, est la somme de toutes les manières possibles d'ajouter une particule au système à la position r via l'un des états de base , pas nécessairement des ondes planes, comme ci-dessous.

Etant donné que et sont des seconds opérateurs de quantification définis en tout point de l'espace, on les appelle opérateurs de champ quantiques . Ils obéissent aux relations fondamentales de commutateur et d'anti-commutateur suivantes,

Pour les systèmes homogènes, il est souvent souhaitable d'effectuer une transformation entre l'espace réel et les représentations d'impulsion, par conséquent, les opérateurs de champs quantiques dans la base de Fourier donnent :

Le terme « seconde quantification », introduit par Jordan, est une appellation erronée qui a persisté pour des raisons historiques. À l'origine de la théorie quantique des champs, on pensait à tort que l' équation de Dirac décrivait une fonction d'onde relativiste (d'où l'interprétation obsolète de la « mer de Dirac »), plutôt qu'un champ de spinor classique qui, une fois quantifié (comme le champ scalaire), produisait un champ quantique fermionique (par opposition à un champ quantique bosonique).

On ne quantifie pas « à nouveau », comme le terme « deuxième » pourrait le suggérer ; le champ qui est quantifié n'est pas une fonction d'onde de Schrödinger produite par la quantification d'une particule, mais un champ classique (tel que le champ électromagnétique ou le champ de spin de Dirac ), essentiellement un assemblage d'oscillateurs couplés, qui n'a pas été quantifié auparavant. On quantifie simplement chaque oscillateur de cet assemblage, passant d'un traitement semi-classique du système à un traitement entièrement quantique.