Première quantification

La première quantification est une procédure permettant de convertir les équations de particules classiques en équations d'ondes quantiques. Le concept complémentaire de seconde quantification convertit les équations de champ classiques en équations de champ quantiques.

Cependant, cela n'est pas forcément le cas. En particulier, une version entièrement quantique de la théorie peut être créée en interprétant les champs en interaction et leurs potentiels associés comme des opérateurs de multiplication, à condition que le potentiel soit écrit dans les coordonnées canoniques qui sont compatibles avec les coordonnées euclidiennes de la mécanique classique standard . La première quantification est appropriée pour étudier un système quantique unique (à ne pas confondre avec un système à une seule particule, puisqu'une seule fonction d'onde quantique décrit l'état d'un système quantique unique, qui peut avoir arbitrairement de nombreuses parties constituantes compliquées, et dont l'évolution est donnée par une seule équation de Schrödinger découplée ) contrôlé par des appareils de laboratoire régis par la mécanique classique , par exemple un voltmètre à l'ancienne (dépourvu de dispositifs semi-conducteurs modernes, qui s'appuient sur la théorie quantique - bien que cela soit suffisant, ce n'est pas nécessaire), un simple thermomètre, un générateur de champ magnétique, etc.

Publié en 1901, Max Planck a déduit l'existence et la valeur de la constante qui porte aujourd'hui son nom en considérant uniquement la loi de déplacement de Wien , la mécanique statistique et la théorie électromagnétique . Quatre ans plus tard, en 1905, Albert Einstein est allé plus loin pour élucider cette constante et son lien profond avec le potentiel d'arrêt des électrons émis dans l'effet photoélectrique. L'énergie de l'effet photoélectrique dépendait non seulement du nombre de photons incidents (l'intensité de la lumière) mais aussi de la fréquence de la lumière, un phénomène nouveau à l'époque, qui valut à Einstein le prix Nobel de physique en 1921. On peut alors conclure qu'il s'agissait d'un début clé de la quantification, c'est-à-dire de la discrétisation de la matière en constituants fondamentaux.

Environ huit ans plus tard , Niels Bohr publia en 1913 sa célèbre série en trois parties où, essentiellement par décret, il pose la quantification du moment angulaire dans l'hydrogène et les métaux de type hydrogène. En effet, le moment angulaire orbital de l'électron (de valence) prend la forme , où l'on suppose un nombre entier . Dans la présentation originale, le moment angulaire orbital de l'électron était nommé , la constante de Planck divisée par deux pi comme , et le nombre quantique ou « comptage du nombre de passages entre des points stationnaires », comme indiqué par Bohr à l'origine comme . Voir les références ci-dessus pour plus de détails.

Bien qu'il soit démontré plus tard que cette hypothèse n'est pas entièrement correcte, elle finit en fait par être assez proche de l'expression correcte du nombre quantique (valeur propre) de l'opérateur de moment angulaire orbital pour les grandes valeurs du nombre quantique , et cela faisait en effet partie de l'hypothèse de Bohr lui-même. Considérez la conséquence de l'hypothèse de Bohr et comparez-la avec la version correcte connue aujourd'hui sous le nom de . Il est clair que pour les grandes valeurs , il y a peu de différence, tout comme pour , l'équivalence est exacte. Sans entrer dans plus de détails historiques, il suffit de s'arrêter ici et de considérer cette ère de l'histoire de la quantification comme la « vieille théorie quantique », c'est-à-dire une période de l'histoire de la physique où la nature corpusculaire des particules subatomiques a commencé à jouer un rôle de plus en plus important dans la compréhension des résultats des expériences physiques, dont la conclusion obligatoire était la discrétisation des quantités physiques observables clés. Cependant, contrairement à l'époque décrite ci-dessous comme l'ère de la première quantification , cette époque était uniquement basée sur des arguments purement classiques tels que la loi de déplacement de Wien , la thermodynamique , la mécanique statistique et la théorie électromagnétique . En fait, l'observation de la série de Balmer de l'hydrogène dans l'histoire de la spectroscopie remonte à 1885.

Néanmoins, les événements décisifs, qui marqueront l'ère de la première quantification , se produisirent dans les années cruciales s'étendant de 1925 à 1928. Simultanément, les auteurs Born et Jordan en décembre 1925, ainsi que Dirac également en décembre 1925, puis Schrödinger en janvier 1926, suivis de Born, Heisenberg et Jordan en août 1926, et enfin Dirac en 1928. Les résultats de ces publications furent trois formalismes théoriques dont deux se révélèrent équivalents, celui de Born, Heisenberg et Jordan étant équivalent à celui de Schrödinger, tandis que la théorie de Dirac de 1928 en vint à être considérée comme la version relativiste des deux précédents. Enfin, il convient de mentionner la publication de Heisenberg et Pauli en 1929, qui peut être considérée comme la première tentative de « seconde quantification », terme utilisé textuellement par Pauli dans une publication de 1943 de l' American Physical Society .

Pour clarifier et comprendre la terminologie telle qu'elle a évolué au cours de l'histoire, il suffit de terminer avec la publication majeure qui a aidé à reconnaître l'équivalence de la mécanique matricielle de Born, Heisenberg et Jordan 1925-1926 avec l'équation d'onde de Schrödinger en 1926. Les travaux rassemblés et développés de John von Neumann ont montré que les deux théories étaient mathématiquement équivalentes, et c'est cette réalisation qui est aujourd'hui comprise comme la première quantification .

Pour comprendre le terme de première quantification, il faut d'abord comprendre ce que signifie être quantique. La théorie classique de Newton est une équation différentielle non linéaire du second ordre qui donne la trajectoire déterministe d'un système de masse , . L' accélération , , dans la deuxième loi du mouvement de Newton , , est la dérivée seconde de la position du système en fonction du temps. Par conséquent, il est naturel de rechercher des solutions de l'équation de Newton qui soient au moins différentiables du second ordre .

La théorie quantique diffère radicalement en ce qu'elle remplace les observables physiques tels que la position du système, le moment auquel cette observation est faite, la masse et la vitesse du système à l'instant de l'observation par la notion d'observables opérateurs. Les opérateurs en tant qu'observables modifient la notion de ce qui est mesurable et amènent à la table la conclusion inévitable de la théorie des probabilités de Max Born. Dans ce cadre de non-déterminisme, la probabilité de trouver le système dans un état observable particulier est donnée par une densité de probabilité dynamique qui est définie comme la valeur absolue au carré de la solution de l' équation de Schrödinger . Le fait que les densités de probabilité soient intégrables et normalisables à l'unité implique que les solutions de l'équation de Schrödinger doivent être intégrables au carré. L'espace vectoriel des suites infinies, dont le carré additionné est une série convergente, est connu sous le nom de (prononcé "petit ell deux"). Il est en correspondance bijective avec l'espace vectoriel de dimension infinie des fonctions de carré intégrable, , de l' espace euclidien au plan complexe , . Pour cette raison, et sont souvent appelés indistinctement « l'espace de Hilbert ». Cela est plutôt trompeur car c'est aussi un espace de Hilbert lorsqu'il est équipé et complété sous le produit scalaire euclidien , bien qu'il s'agisse d'un espace de dimension finie.

La théorie de Newton et la théorie de Schrödinger ont toutes deux un paramètre de masse et peuvent donc décrire l'évolution d'un ensemble de masses ou d'un système constitutif unique avec une masse totale unique, ainsi que d'une particule unique idéalisée avec un système de masse unique idéalisé. Vous trouverez ci-dessous des exemples de différents types de systèmes.

En général, l'état à une particule pourrait être décrit par un ensemble complet de nombres quantiques notés par . Par exemple, les trois nombres quantiques associés à un électron dans un potentiel de Coulomb , comme l' atome d'hydrogène , forment un ensemble complet (ignorant le spin). Par conséquent, l'état est appelé et est un vecteur propre de l'opérateur hamiltonien. On peut obtenir une représentation de la fonction d'état de l'état en utilisant . Tous les vecteurs propres d'un opérateur hermitien forment une base complète, de sorte qu'on peut construire n'importe quel état en obtenant la relation de complétude :

Beaucoup ont pensé que toutes les propriétés de la particule pouvaient être connues en utilisant cette base vectorielle, qui est exprimée ici en utilisant la notation Bra–ket de Dirac . Cependant, cela n'est pas forcément vrai.

Lorsqu'on se tourne vers des systèmes à N particules, c'est-à-dire des systèmes contenant N particules identiques, c'est-à-dire des particules caractérisées par les mêmes paramètres physiques tels que la masse , la charge et le spin , une extension de la fonction d'état d'une seule particule à la fonction d'état à N particules est nécessaire. Une différence fondamentale entre la mécanique classique et la mécanique quantique concerne le concept d' indiscernabilité de particules identiques. Seules deux espèces de particules sont ainsi possibles en physique quantique, les bosons et les fermions qui obéissent aux règles :

Là où nous avons interchangé deux coordonnées de la fonction d'état. La fonction d'onde habituelle est obtenue en utilisant le déterminant de Slater et la théorie des particules identiques. En utilisant cette base, il est possible de résoudre tout problème à plusieurs particules qui peut être décrit clairement et précisément par une fonction d'onde unique, un état diagonalisable à l'échelle du système unique. De ce point de vue, la première quantification n'est pas une véritable théorie multiparticules, mais la notion de « système » n'a pas besoin non plus d'être constituée d'une seule particule.