Morphisme fini

En géométrie algébrique , un morphisme fini entre deux variétés affines est une application régulière dense qui induit une inclusion isomorphe entre leurs anneaux de coordonnées , telle que soit intégrale sur . Cette définition peut être étendue aux variétés quasi-projectives , telles qu'une application régulière entre variétés quasi-projectives est finie si tout point possède un voisinage affine V tel que soit affine et soit une application finie (au vu de la définition précédente, car elle est entre variétés affines). ${\displaystyle X,Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X,Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle k\left[Y ight]\hookrightarrow k\left[X ight] <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mi>Y</mi> <mo>]</mo> </mrow> <mo>↪</mo> <mi>k</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mi>X</mi> <mo>]</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k\gauche[Y\droite]\hookrightarrow k\gauche[X\droite]}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle k\left[X ight] <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mi>X</mi> <mo>]</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k\gauche[X\droite]}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle k\left[Y ight] <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mi>Y</mi> <mo>]</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k\gauche[Y\droite]}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f\colon X o Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo>→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f\colon X\à Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle y\in Y <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>et</mi> <mo>∈</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle y\dans Y}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle U=f^{-1}(V) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Tu</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>f</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>V</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle U=f^{-1}(V)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f\colon U o V <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>Tu</mi> <mo>→</mo> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f\colon U\à V}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Définition par schémas

Un morphisme f : X → Y de schémas est un morphisme fini si Y possède une couverture ouverte par des schémas affines

{\displaystyle V_{i}={\mbox{Spec}}\;B_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mstyle> <mtext>Spécifications</mtext> </mstyle> </mrow> <mspace></mspace> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V_{i}={\mbox{Spec}}\;B_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

tel que pour chaque i ,

{\displaystyle f^{-1}(V_{i})=U_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>f</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>Tu</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f^{-1}(V_{i})=U_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

est un sous-schéma affine ouvert Spec A _i , et la restriction de f à U _i , qui induit un homomorphisme d'anneau

{\displaystyle B_{i} ightarrow A_{i}, <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>→</mo> <msub> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B_{i} ightarrow A_{i},}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

fait de A _i un module finiment généré sur B _i . On dit aussi que X est fini sur Y .

En fait, f est finie si et seulement si pour tout sous-schéma affine ouvert V = Spec B dans Y , l'image inverse de V dans X est affine, de la forme Spec A , avec A un B -module de type fini .

Par exemple, pour tout corps k , est un morphisme fini car en tant que -modules. Géométriquement, celui-ci est évidemment fini car il s'agit d'un revêtement ramifié en n-feuilles de la droite affine qui dégénère à l'origine. Par contre, l'inclusion de A ¹ − 0 dans A ¹ n'est pas finie. (En effet, l' anneau de polynômes de Laurent k [ y , y ⁻¹ ] n'est pas finiment engendré comme module sur k [ y ].) Ceci restreint notre intuition géométrique aux familles surjectives à fibres finies. ${\displaystyle { ext{Spec}}(k[t,x]/(x^{n}-t)) o { ext{Spec}}(k[t]) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtext>Spécifications</mtext> </mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>[</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>]</mo> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> <mo>→</mo> <mrow> <mtext>Spécifications</mtext> </mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>[</mo> <mi>t</mi> <mo>]</mo> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle { ext{Spec}}(k[t,x]/(x^{n}-t)) o { ext{Spec}}(k[t])}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle k[t,x]/(x^{n}-t)\cong k[t]\oplus k[t]\cdot x\oplus \cdots \oplus k[t]\cdot x^{n-1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> <mo>[</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>]</mo> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>≅</mo> <mi>k</mi> <mo>[</mo> <mi>t</mi> <mo>]</mo> <mo>⊕</mo> <mi>k</mi> <mo>[</mo> <mi>t</mi> <mo>]</mo> <mo>⋅</mo> <mi>x</mi> <mo>⊕</mo> <mo>⋯</mo> <mo>⊕</mo> <mi>k</mi> <mo>[</mo> <mi>t</mi> <mo>]</mo> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k[t,x]/(x^{n}-t)\cong k[t]\oplus k[t]\cdot x\oplus \cdots \oplus k[t]\cdot x^{n-1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle k[t] <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> <mo>[</mo> <mi>t</mi> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k[t]}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Propriétés des morphismes finis

La composition de deux morphismes finis est finie.
Tout changement de base d'un morphisme fini f : X → Y est fini. Autrement dit, si g : Z → Y est un morphisme quelconque de schémas, alors le morphisme résultant X × _Y Z → Z est fini. Cela correspond à l'énoncé algébrique suivant : si A et C sont des B -algèbres (commutatives) et que A est de type fini comme un B -module, alors le produit tensoriel A ⊗ _B C est de type fini comme un C -module. En effet, les générateurs peuvent être considérés comme les éléments a _i ⊗ 1, où a _i sont les générateurs donnés de A comme un B -module.
Les immersions fermées sont finies, car elles sont données localement par A → A / I , où I est l' idéal correspondant au sous-schéma fermé.
Les morphismes finis sont fermés, donc (en raison de leur stabilité sous changement de base) propres . Cela découle du théorème ascendant de Cohen-Seidenberg en algèbre commutative.
Les morphismes finis ont des fibres finies (c'est-à-dire qu'ils sont quasi-finis ). Cela résulte du fait que pour un corps k , toute k -algèbre finie est un anneau artinien . Une affirmation connexe est que pour un morphisme surjectif fini f : X → Y , X et Y ont la même dimension .
D'après Deligne , un morphisme de schémas est fini si et seulement s'il est propre et quasi-fini. Ceci avait été montré par Grothendieck si le morphisme f : X → Y est localement de présentation finie , ce qui résulte des autres hypothèses si Y est noethérien .
Les morphismes finis sont à la fois projectifs et affines .