Distribution normale repliée

La distribution normale repliée est une distribution de probabilité apparentée à la distribution normale . Étant donnée une variable aléatoire X de distribution normale de moyenne μ et de variance σ ² , la variable aléatoire Y = | X | a une distribution normale repliée. Un tel cas peut se produire si seule la grandeur d'une variable est enregistrée, mais pas son signe. La distribution est dite « repliée » car la masse de probabilité à gauche de x = 0 est repliée en prenant la valeur absolue . En physique de la conduction thermique , la distribution normale repliée est une solution fondamentale de l' équation de la chaleur sur le demi-espace ; elle correspond à avoir un isolant parfait sur un hyperplan passant par l'origine.

La fonction de densité de probabilité (PDF) est donnée par

pour x ≥ 0, et 0 partout ailleurs. Une formulation alternative est donnée par

où cosh est la fonction cosinus hyperbolique . Il s'ensuit que la fonction de distribution cumulative (CDF) est donnée par :

pour x ≥ 0, où erf() est la fonction d'erreur . Cette expression se réduit à la CDF de la distribution semi-normale lorsque μ = 0.

La moyenne de la distribution pliée est alors

ou

où est la fonction de distribution cumulative normale :

La variance s'exprime alors facilement en termes de moyenne :

La moyenne ( μ ) et la variance ( σ ² ) de X dans la distribution normale d'origine peuvent être interprétées comme les paramètres de localisation et d'échelle de Y dans la distribution pliée.

Le mode de la distribution est la valeur de pour laquelle la densité est maximisée. Pour trouver cette valeur, on prend la première dérivée de la densité par rapport à et on la pose égale à zéro. Malheureusement, il n'existe pas de forme fermée. On peut cependant écrire la dérivée d'une meilleure façon et se retrouver avec une équation non linéaire

Tsagris et al. (2014) ont constaté à partir d'une étude numérique que lorsque , le maximum est atteint lorsque , et lorsque devient supérieur à , le maximum se rapproche de . Il s'agit bien sûr d'une chose à laquelle il fallait s'attendre, puisque, dans ce cas, la normale pliée converge vers la distribution normale. Afin d'éviter tout problème avec des variances négatives, l'exponentiation du paramètre est suggérée. Alternativement, vous pouvez ajouter une contrainte, par exemple si l'optimiseur opte pour une variance négative, la valeur de la vraisemblance logarithmique est NA ou quelque chose de très petit.

• La fonction caractéristique est donnée par

• La fonction génératrice de moments est donnée par

• La fonction génératrice du cumul est donnée par

• La transformation de Laplace est donnée par

• La transformée de Fourier est donnée par

• Lorsque μ = 0 , la distribution de Y est une distribution demi-normale .
• La variable aléatoire ( Y / σ ) ² a une distribution chi-carré non centrale avec 1 degré de liberté et une non-centralité égale à ( μ / σ ) ² .
• La distribution normale pliée peut également être considérée comme la limite de la distribution t pliée non standardisée lorsque les degrés de liberté tendent vers l'infini.
• Il existe une version bivariée développée par Psarakis et Panaretos (2001) ainsi qu'une version multivariée développée par Chakraborty et Chatterjee (2013).
• La distribution de Rice est une généralisation multivariée de la distribution normale pliée.
• La distribution demi-normale modifiée avec la pdf sur est donnée par , où désigne la fonction Psi de Fox–Wright .

Il existe plusieurs façons d'estimer les paramètres de la normale repliée. Toutes ces méthodes sont essentiellement des procédures d'estimation de vraisemblance maximale, mais dans certains cas, une maximisation numérique est effectuée, tandis que dans d'autres cas, la racine d'une équation est recherchée. La log-vraisemblance de la normale repliée lorsqu'un échantillon de taille est disponible peut être écrite de la manière suivante

En R (langage de programmation) , en utilisant le package Rfast, on peut obtenir le MLE très rapidement (commande foldnorm.mle). Alternativement, la commande optim ou nlm s'adaptera à cette distribution. La maximisation est facile, puisque deux paramètres ( et ) sont impliqués. Notez que les valeurs positives et négatives pour sont toutes deux acceptables, car appartient à la ligne réelle des nombres, par conséquent, le signe n'est pas important car la distribution est symétrique par rapport à lui. Le code suivant est écrit en R

plié <- fonction ( y ) {
## y est un vecteur avec des données positives 
n <- longueur ( y ) ## taille de l'échantillon sy2 <- somme ( y ^ 2 )
sam <- function ( para , n , sy2 ) { me <- para [ 1 ] ; se <- exp ( para [ 2 ] ) f <- - n / 2 * log ( 2 / pi / se ) + n * moi ^ 2 / 2 / se + sy2 / 2 / se - sum ( log ( cosh ( moi * y / se ) ) ) f }
mod <- optim ( c ( mean ( y ), sd ( y ) ), n = n , sy2 = sy2 , sam , control = list ( maxit = 2000 ) ) mod <- optim ( mod $ par , sam , n = n , sy2 = sy2 , control = list ( maxit = 20000 ) ) résultat <- c ( - mod $ valeur , mod $ par [ 1 ], exp ( mod $ par [ 2 ]) ) noms ( résultat ) <- c ( "log-vraisemblance" , "mu" , "sigma carré" ) résultat
}

Les dérivées partielles de la log-vraisemblance s'écrivent comme

En égalisant la première dérivée partielle de la log-vraisemblance à zéro, nous obtenons une belle relation

Notez que l'équation ci-dessus a trois solutions, une à zéro et deux autres avec le signe opposé. En remplaçant l'équation ci-dessus par la dérivée partielle de la log-vraisemblance par rapport à zéro, nous obtenons l'expression suivante pour la variance

qui est la même formule que dans la distribution normale . Une différence principale ici est que et ne sont pas statistiquement indépendants. Les relations ci-dessus peuvent être utilisées pour obtenir des estimations de vraisemblance maximale de manière récursive efficace. Nous commençons avec une valeur initiale pour et trouvons la racine positive ( ) de la dernière équation. Ensuite, nous obtenons une valeur mise à jour de . La procédure est répétée jusqu'à ce que le changement de la valeur de vraisemblance logarithmique soit négligeable. Une autre manière plus simple et plus efficace consiste à effectuer un algorithme de recherche. Écrivons la dernière équation d'une manière plus élégante

Il devient clair que l'optimisation de la log-vraisemblance par rapport aux deux paramètres s'est transformée en une recherche de racine d'une fonction. Ceci est bien sûr identique à la recherche de racine précédente. Tsagris et al. (2014) ont remarqué qu'il y a trois racines à cette équation pour , c'est-à-dire qu'il y a trois valeurs possibles de qui satisfont cette équation. Le et , qui sont les estimations de vraisemblance maximale et 0, qui correspond à la log-vraisemblance minimale.