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En optique , l' équation de diffraction de Fresnel pour la diffraction en champ proche est une approximation de la diffraction de Kirchhoff-Fresnel applicable à la propagation des ondes en champ proche . Elle permet de calculer la figure de diffraction créée par les ondes traversant une ouverture ou contournant un objet, lorsqu'on l'observe de près. En revanche, la figure de diffraction en champ lointain est donnée par l' équation de diffraction de Fraunhofer .
Le champ proche peut être spécifié par le nombre de Fresnel ,
où est l'angle maximal décrit par nombre de Fresnel . Par conséquent, cette condition peut être approximée par .
La diffraction multiple de Fresnel sur des crêtes périodiques rapprochées ( miroir à crêtes ) provoque la réflexion spéculaire ; cet effet peut être utilisé pour les miroirs atomiques .
Francesco Maria Grimaldi en Italie au XVIIe siècle. Dans sa monographie intitulée « Light » , Richard C. MacLaurin explique la diffraction de Fresnel en s'interrogeant sur le phénomène de propagation de la lumière et sur l'influence d'une barrière percée d'une fente ou d'un trou sur le faisceau émis par une source lumineuse distante. Il utilise le principe de Huygens pour étudier, en termes classiques, les phénomènes qui se produisent. Le front d'onde qui se propage de la fente jusqu'à un écran de détection situé à une certaine distance est très proche d'un front d'onde prenant naissance au niveau de l'ouverture, sans tenir compte d'éventuelles interactions minimes avec le bord physique de la barrière.Il en résulte que si l'intervalle est très étroit, seules des figures de diffraction à centre brillant peuvent apparaître. Si cet intervalle s'élargit progressivement, des figures de diffraction à centre sombre alternent avec des figures à centre brillant. À mesure que l'intervalle devient plus grand, les différences entre les bandes sombres et claires diminuent jusqu'à ce qu'aucun effet de diffraction ne soit plus détectable.
MacLaurin n'évoque pas la possibilité que le centre de la série d'anneaux de diffraction produits lorsqu'on fait passer de la lumière à travers un petit trou soit noir, mais il souligne la situation inverse où l'ombre produite par un petit objet circulaire peut paradoxalement avoir un centre lumineux . (p. 219)
Dans son ouvrage *Optics , Francis Weston Sears propose une approximation mathématique, suggérée par Fresnel, qui prédit les principales caractéristiques des figures de diffraction et utilise des calculs mathématiques simples. En considérant la distance perpendiculaire entre l'orifice d'un écran barrière et un écran de détection voisin, ainsi que la longueur d'onde de la lumière incidente, il est possible de calculer plusieurs régions appelées éléments de demi-période ou zones de Fresnel . La zone centrale est un cercle et chaque zone suivante est un anneau concentrique. Si le diamètre de l'orifice circulaire de l'écran est suffisant pour exposer la première zone de Fresnel, l'amplitude de la lumière au centre de l'écran de détection est le double de ce qu'elle serait si l'écran n'était pas obstrué. Si le diamètre de l'orifice circulaire est suffisant pour exposer deux zones de Fresnel, l'amplitude au centre est alors quasi nulle. Cela signifie qu'une figure de diffraction de Fresnel peut présenter un centre sombre. Ces figures peuvent être observées et mesurées, et correspondent bien aux valeurs calculées.
L'intégrale de diffraction de Fresnel
Selon la théorie de la diffraction de Rayleigh-Sommerfeld, le diagramme de diffraction du champ électrique en un point ( x , y , z ) est donné par la solution suivante de l' équation de Helmholtz :
où
La résolution analytique de cette intégrale devient rapidement d'une complexité impraticable, sauf pour les géométries de diffraction les plus simples. C'est pourquoi elle est généralement calculée numériquement.
L'approximation de Fresnel
Le principal problème pour résoudre l'intégrale est l'expression de r . Premièrement, nous pouvons simplifier l'algèbre en introduisant la substitution
En substituant dans l'expression de r , on trouve
Ensuite, par le développement binomial,
Nous pouvons exprimer comme
Si l'on considère tous les termes de la série binomiale , il n'existe aucune approximation. Substituons cette expression dans l'argument de l'exponentielle au sein de l'intégrale ; la clé de l'approximation de Fresnel réside dans l'hypothèse que le troisième terme est très petit et peut être négligé, de même que les termes d'ordre supérieur. Pour ce faire, il doit contribuer à la variation de l'exponentielle de manière quasi nulle. Autrement dit, il doit être beaucoup plus petit que la période de l'exponentielle complexe, c'est-à-dire :
En exprimant k en fonction de la longueur d'onde,
nous obtenons la relation suivante :
En multipliant les deux côtés par , on obtient
ou, en remplaçant l'expression précédente par
Si cette condition est vérifiée pour toutes les valeurs de
et
Ainsi, en pratique, l'inégalité requise sera toujours vérifiée tant que
On peut alors approximer l'expression avec seulement les deux premiers termes :
Cette équation est l' approximation de Fresnel , et l'inégalité énoncée ci-dessus est une condition de validité de l'approximation.
Diffraction de Fresnel
La condition de validité est relativement faible et permet à tous les paramètres de longueur de prendre des valeurs comparables, pourvu que l'ouverture soit petite par rapport à la longueur du trajet optique. Pour le terme nombre de Fresnel est proche de 1.
Pour la diffraction de Fresnel, le champ électrique au point est alors donné par
Il s'agit de l'intégrale de diffraction de Fresnel ; elle signifie que, si l'approximation de Fresnel est valide, le champ se propageant est une onde sphérique, prenant naissance à l'ouverture et se propageant selon l'axe la diffraction de Fraunhofer . Contrairement à la diffraction de Fraunhofer, la diffraction de Fresnel tient compte de la courbure du front d'onde afin de calculer correctement la phase relative des ondes interférant.
Formes alternatives
Convolution
L'intégrale peut être exprimée autrement afin de la calculer à l'aide de certaines propriétés mathématiques. Si l'on définit la fonction
l'intégrale peut alors être exprimée en termes de convolution :
Autrement dit, nous représentons la propagation à l'aide d'un modèle de filtre linéaire. C'est pourquoi nous pouvons appeler cette fonction la réponse impulsionnelle de la propagation en espace libre.
Transformée de Fourier
Une autre méthode possible consiste à utiliser la transformée de Fourier . Si, dans l'intégrale, on exprime
et développer chaque composante du déplacement transversal :
On peut alors exprimer l'intégrale à l'aide de la transformée de Fourier bidimensionnelle. Utilisons la définition suivante :
où les fréquences spatiales ( nombres d'onde ). L'intégrale de Fresnel peut être exprimée comme
Autrement dit, on multiplie d'abord le champ à propager par une exponentielle complexe, on calcule sa transformée de Fourier bidimensionnelle, on remplace par et on multiplie le résultat par un autre facteur. Cette expression est préférable aux autres lorsque le processus aboutit à une transformée de Fourier connue, et le lien avec la transformée de Fourier est renforcé par la transformation canonique linéaire , abordée ci-dessous.