Propriété générique

En mathématiques , les propriétés qui sont vraies pour des exemples « typiques » sont appelées propriétés génériques . Par exemple, une propriété générique d'une classe de fonctions est une propriété qui est vraie pour « presque toutes » ces fonctions, comme dans les affirmations « Un polynôme générique n'a pas de racine à zéro » ou « Une matrice carrée générique est inversible ». Autre exemple, une propriété générique d'un espace est une propriété qui est vraie pour « presque tous » les points de l'espace, comme dans l'affirmation « Si f : M → N est une fonction lisse entre des variétés lisses , alors un point générique de N n'est pas une valeur critique de f ». (Ceci est dû au théorème de Sard .)

Il existe de nombreuses notions différentes de « générique » (ce que l'on entend par « presque tout ») en mathématiques, avec des notions duales correspondantes de « presque rien » ( ensemble négligeable ) ; les deux classes principales sont :

• En théorie de la mesure , une propriété générique est une propriété qui est vraie presque partout , le concept dual étant l'ensemble nul , signifiant « avec probabilité 0 ».
• En topologie et en géométrie algébrique , une propriété générique est une propriété qui s'applique à un ensemble ouvert dense , ou plus généralement à un ensemble résiduel , le concept dual étant un ensemble nulle part dense , ou plus généralement un ensemble maigre .

Il existe plusieurs exemples naturels où ces notions ne sont pas égales. Par exemple, l'ensemble des nombres de Liouville est générique au sens topologique, mais sa mesure de Lebesgue est nulle.

En théorie de la mesure , une propriété générique est une propriété qui est vérifiée presque partout . Le concept dual est un ensemble nul , c'est-à-dire un ensemble de mesure nulle.

En probabilités, une propriété générique est un événement qui se produit presque sûrement , c'est-à-dire qu'il se produit avec une probabilité de 1. Par exemple, la loi des grands nombres stipule que la moyenne de l'échantillon converge presque sûrement vers la moyenne de la population. C'est la définition dans le cas de la théorie de la mesure spécialisée dans un espace de probabilités.

En mathématiques discrètes , on utilise le terme presque tous pour signifier cofinis (tous sauf un nombre fini), co-comptables (tous sauf un nombre dénombrable), pour des nombres suffisamment grands , ou, parfois, asymptotiquement presque sûrement . Ce concept est particulièrement important dans l'étude des graphes aléatoires .

En topologie et en géométrie algébrique , une propriété générique est une propriété qui s'applique à un ensemble ouvert dense , ou plus généralement à un ensemble résiduel (une intersection dénombrable d'ensembles ouverts denses), le concept dual étant un ensemble fermé nulle part dense , ou plus généralement un ensemble maigre (une union dénombrable d'ensembles fermés nulle part denses).

Cependant, la densité seule ne suffit pas à caractériser une propriété générique. Cela peut être observé même dans les nombres réels , où les nombres rationnels et leur complément, les nombres irrationnels, sont tous deux denses. Comme il n'est pas logique de dire qu'un ensemble et son complément présentent tous deux un comportement typique, les rationnels et les irrationnels ne peuvent pas être des exemples d'ensembles suffisamment grands pour être typiques. Par conséquent, nous nous appuyons sur la définition plus forte ci-dessus qui implique que les irrationnels sont typiques et les rationnels ne le sont pas.

Pour les applications, si une propriété est vraie sur un ensemble résiduel , elle peut ne pas l'être pour chaque point, mais la perturber légèrement amènera généralement à l'intérieur de l'ensemble résiduel (par la densité nulle part des composantes de l'ensemble maigre), et ce sont donc les cas les plus importants à traiter dans les théorèmes et les algorithmes.

Une propriété est générique dans C ^r si l'ensemble contenant cette propriété contient un sous-ensemble résiduel dans la topologie C ^r . Ici, C ^r est l' espace de fonctions dont les membres sont des fonctions continues à r dérivées continues d'une variété M vers une variété N .

L'espace C ^r ( M , N ), des applications C ^r entre M et N , est un espace de Baire , donc tout ensemble résiduel est dense . Cette propriété de l'espace des fonctions est ce qui rend les propriétés génériques typiques .

Une propriété d'une variété algébrique irréductible X est dite vraie génériquement si elle est vraie sauf sur un sous-ensemble Zariski-fermé propre de X , autrement dit si elle est vraie sur un sous-ensemble Zariski-ouvert non vide. Cette définition est en accord avec la définition topologique ci-dessus, car pour les variétés algébriques irréductibles tout ouvert non vide est dense.

Par exemple, selon le critère de régularité de Jacob, un point générique d'une variété sur un corps de caractéristique zéro est lisse. (Cette affirmation est connue sous le nom de régularité générique .) Cela est vrai car le critère de Jacob peut être utilisé pour trouver des équations pour les points qui ne sont pas lisses : ce sont exactement les points où la matrice jacobine d'un point de X n'a ​​pas de rang complet. En caractéristique zéro, ces équations ne sont pas triviales, elles ne peuvent donc pas être vraies pour chaque point de la variété. Par conséquent, l'ensemble de tous les points non réguliers de X est un sous-ensemble Zariski-fermé propre de X .

Voici un autre exemple. Soit f : X → Y une application régulière entre deux variétés algébriques. Pour tout point y de Y , considérons la dimension de la fibre de f sur y , c'est-à-dire dim f ⁻¹ ( y ). De manière générale, ce nombre est constant. Il n'est pas nécessairement constant partout. Si, par exemple, X est l'agrandissement de Y en un point et f est la projection naturelle, alors la dimension relative de f est nulle sauf au point qui est agrandi, où elle est dim Y - 1.

Certaines propriétés sont dites très génériques . Cela signifie souvent que le corps fondamental est indénombrable et que la propriété est vraie sauf sur une union dénombrable de sous-ensembles propres Zariski-fermés (c'est-à-dire que la propriété est vraie sur un ensemble G _δ dense ). Par exemple, cette notion de très générique apparaît lorsque l'on considère la connexité rationnelle . Cependant, d'autres définitions de très générique peuvent apparaître et apparaissent dans d'autres contextes.

En géométrie algébrique , un point générique d'une variété algébrique est un point dont les coordonnées ne satisfont à aucune autre relation algébrique que celles satisfaites par tout point de la variété. Par exemple, un point générique d'un espace affine sur un corps k est un point dont les coordonnées sont algébriquement indépendantes sur k .

Dans la théorie des schémas , où les points sont les sous-variétés, un point générique d'une variété est un point dont la fermeture pour la topologie de Zariski est la variété entière.

Une propriété générique est une propriété du point générique. Pour toute propriété raisonnable, il s'avère que la propriété est vraie génériquement sur la sous-variété (au sens d'être vraie sur un sous-ensemble dense ouvert) si et seulement si la propriété est vraie au point générique. De tels résultats sont fréquemment démontrés en utilisant les méthodes de limites de schémas affines développées dans EGA IV 8.

Un concept connexe en géométrie algébrique est la position générale , dont la signification précise dépend du contexte. Par exemple, dans le plan euclidien, trois points en position générale ne sont pas colinéaires . En effet, la propriété de ne pas être colinéaire est une propriété générique de l' espace de configuration de trois points dans R ² .

En calculabilité et en aléatoire algorithmique , une chaîne infinie de nombres naturels est dite 1-générique si, pour chaque ensemble ce , a soit un segment initial dans , soit un segment initial tel que chaque extension ne soit pas dans W. Les 1-génériques sont importants en calculabilité, car de nombreuses constructions peuvent être simplifiées en considérant un 1-générique approprié. Certaines propriétés clés sont :

• Un 1-générique contient chaque nombre naturel comme élément ;
• Aucun 1-générique n’est calculable (ni même limité par une fonction calculable) ;
• Tous les 1-génériques sont généralisés bas : .

La 1-généricité est liée à la notion topologique de « générique », comme suit. L'espace de Baire a une topologie avec des ensembles ouverts de base pour toute chaîne finie d'entiers naturels . Alors, un élément est 1-générique si et seulement s'il n'est pas sur la frontière d'un ensemble ouvert. En particulier, les 1-génériques sont nécessaires pour satisfaire à tout ensemble ouvert dense (bien qu'il s'agisse d'une propriété strictement plus faible, appelée faiblement 1-générique ).

• Théorème de Sard : Si est une fonction lisse entre des variétés lisses , alors un point générique de N n'est pas une valeur critique de f – les valeurs critiques de f sont un ensemble nul dans N.
• Critère jacobien / régularité générique : Un point générique d'une variété sur un corps de caractéristique zéro est lisse.
• La contrôlabilité et l'observabilité des systèmes linéaires invariants dans le temps sont génériques à la fois dans le sens topologique et dans celui de la théorie de la mesure.