Georges Boolos

George Stephen Boolos ( / ˈ b uː l oʊ s / ; 4 septembre 1940 - 27 mai 1996) était un philosophe américain et un logicien mathématicien qui enseignait au Massachusetts Institute of Technology .

Boolos était d' origine grecque et juive ( Boolos est une forme arabe du nom Paulus/Paûlos, courant dans la communauté grecque orthodoxe arabophone). Il a obtenu un AB en mathématiques de l'Université de Princeton après avoir terminé une thèse de fin d'études, intitulée « Une simple preuve du premier théorème d'incomplétude de Gödel », sous la direction de Raymond Smullyan . L'Université d'Oxford lui a décerné le B.Phil. en 1963. En 1966, il a obtenu le premier doctorat en philosophie jamais décerné par le Massachusetts Institute of Technology , sous la direction d' Hilary Putnam . Après avoir enseigné trois ans à l'Université Columbia , il est retourné au MIT en 1969, où il a passé le reste de sa carrière.

Connu pour sa clarté et son esprit , il a donné une conférence (1994b) dans laquelle il expliquait le deuxième théorème d'incomplétude de Gödel en n'employant que des mots d'une seule syllabe. À la fin de sa soutenance, Hilary Putnam lui a demandé : « Et dites-nous, M. Boolos, quel est le rapport entre la hiérarchie analytique et le monde réel ? » Sans hésiter, Boolos a répondu : « Cela en fait partie. » Expert en énigmes de toutes sortes, Boolos a atteint en 1993 la finale régionale de Londres du concours de mots croisés du Times . Son score était l'un des plus élevés jamais enregistrés par un Américain. Il a écrit un article sur « Le puzzle logique le plus difficile de tous les temps » — l'un des nombreux puzzles créés par Raymond Smullyan .

Boolos est décédé d' un cancer du pancréas le 27 mai 1996.

Boolos a coécrit avec Richard Jeffrey les trois premières éditions du manuel universitaire classique sur la logique mathématique , Computability and Logic . Le livre en est maintenant à sa cinquième édition, les deux dernières éditions ayant été mises à jour par John P. Burgess .

Kurt Gödel a écrit le premier article sur la logique de prouvabilité , qui applique la logique modale (la logique de nécessité et de possibilité) à la théorie de la preuve mathématique , mais Gödel n'a jamais développé le sujet de manière significative. Boolos a été l'un de ses premiers partisans et pionniers, et il a produit le premier traitement de la logique de la preuve sous forme de livre, The Unprovability of Consistency , publié en 1979. La solution d'un problème majeur non résolu quelques années plus tard a conduit à un nouveau traitement, The Logic of Provability , publié en 1993. Le traitement modal-logique de la preuve a permis de démontrer l'« intentionnalité » du deuxième théorème d'incomplétude de Gödel, ce qui signifie que la correction du théorème dépend de la formulation précise du prédicat de preuve. Ces conditions ont été identifiées pour la première fois par David Hilbert et Paul Bernays dans leurs Grundlagen der Arithmetik . Le statut flou du deuxième théorème a été noté pendant plusieurs décennies par des logiciens tels que Georg Kreisel et Leon Henkin, qui se demandaient si la phrase formelle exprimant « Cette phrase est prouvable » (par opposition à la phrase de Gödel, « Cette phrase n'est pas prouvable ») était prouvable et donc vraie. Martin Löb a démontré que la conjecture de Henkin était vraie, tout en identifiant un important principe de « réflexion » également soigneusement codifié en utilisant l'approche logique modale. Certains des résultats clés de prouvabilité impliquant la représentation des prédicats de prouvabilité avaient été obtenus auparavant en utilisant des méthodes très différentes par Solomon Feferman .

Boolos était une autorité sur le mathématicien et philosophe allemand du XIXe siècle Gottlob Frege . Boolos a prouvé une conjecture due à Crispin Wright (et également prouvée, indépendamment, par d'autres), selon laquelle le système des Grundgesetze de Frege , longtemps considéré comme vicié par le paradoxe de Russell , pouvait être libéré de toute incohérence en remplaçant l'un de ses axiomes, la célèbre loi fondamentale V, par le principe de Hume . Le système résultant a depuis fait l'objet d'un travail intense.

Boolos a soutenu que si l'on lit les variables du second ordre dans la logique monadique du second ordre de manière plurielle , alors la logique du second ordre peut être interprétée comme n'ayant aucun engagement ontologique envers des entités autres que celles sur lesquelles s'étendent les variables du premier ordre . Le résultat est la quantification plurielle . David Lewis a utilisé la quantification plurielle dans ses Parts of Classes pour dériver un système dans lequel la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel et les axiomes de Peano étaient tous des théorèmes. Alors que Boolos est généralement crédité de la quantification plurielle , Peter Simons (1982) a soutenu que l'idée essentielle se trouve dans le travail de Stanislaw Leśniewski .

Peu avant sa mort, Boolos a choisi de publier trente de ses articles dans un livre. Le résultat est peut-être son œuvre la plus appréciée, son ouvrage posthume Logic, Logic, and Logic . Ce livre réédite une grande partie du travail de Boolos sur la réhabilitation de Frege, ainsi qu'un certain nombre de ses articles sur la théorie des ensembles , la logique du second ordre et la non-premier-ordre , la quantification plurielle , la théorie de la preuve et trois courts articles perspicaces sur le théorème d'incomplétude de Gödel . On y trouve également des articles sur Dedekind , Cantor et Russell .

• 1979. L'impossibilité de prouver la cohérence : essai sur la logique modale . Presses universitaires de Cambridge.
• 1990 (éditeur). Sens et méthode : essais en l'honneur d' Hilary Putnam . Presses universitaires de Cambridge.
• 1993. La logique de la prouvabilité. Cambridge University Press.
• 1998 ( Richard Jeffrey et John P. Burgess , éd.). Logique, logique et logique, Harvard University Press. ISBN 978-0674537675
• 2007 (1974) (avec Richard Jeffrey et John P. Burgess ). Computability and Logic , 4e éd. Cambridge University Press.

LLL = réimprimé dans Logique, Logique et Logique .

FPM = réimprimé dans Demopoulos, W., éd., 1995. La philosophie des mathématiques de Frege . Harvard Univ. Press.

• 1968 (avec Hilary Putnam ), « Degrés d'insolvabilité des ensembles constructibles d'entiers », Journal of Symbolic Logic 33 : 497–513.
• 1969, « Efficacité et langues naturelles » dans Sidney Hook , éd., Language and Philosophy . New York University Press.
• 1970, « Sur la sémantique des niveaux constructibles », 16 : 139–148.
• 1970a, « Une preuve du théorème de Löwenheim–Skolem », Notre Dame Journal of Formal Logic 11 : 76–78.
• 1971, « La conception itérative de l'ensemble », Journal of Philosophy 68 : 215–231. Réimprimé dans Paul Benacerraf et Hilary Putnam , éd., 1984. Philosophy of Mathematics: Selected Readings , 2e éd. Cambridge Univ. Press : 486–502. LLL
• 1973, "Une note sur le théorème d' Evert Willem Beth ", Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences 2 : 1–2.
• 1974, « Fonctions arithmétiques et minimisation », Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik 20 : 353–354.
• 1974a, « Réponse à Charles Parsons « Ensembles et classes ». » Publié pour la première fois dans LLL.
• 1975, « Le 35e problème de Friedman a une solution affirmative », Notices of the American Mathematical Society 22 : A-646.
• 1975a, « Sur la preuve de cohérence de Kalmar et une généralisation de la notion d'oméga-cohérence », Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung 17 : 3–7.
• 1975b, « Sur la logique du second ordre », Journal of Philosophy 72 : 509–527. LLL.
• 1976, « Sur la détermination de la vérité de certaines affirmations impliquant la notion de cohérence », Journal of Symbolic Logic 41 : 779–781.
• 1977, « Sur la détermination de la prouvabilité de certains énoncés à point fixe », Journal of Symbolic Logic 42 : 191–193.
• 1979, « Principes de réflexion et assertions de cohérence itérées », Journal of Symbolic Logic 44 : 33–35.
• 1980, « La cohérence oméga et le diamant », Studia Logica 39 : 237–243.
• 1980a, « Sur les systèmes de logique modale avec des interprétations de prouvabilité », Theoria 46 : 7–18.
• 1980b, « Prouvabilité en arithmétique et un schéma de Grzegorczyk », Fundamenta Mathematicae 106 : 41–45.
• 1980c, « Prouvabilité, vérité et logique modale », Journal of Philosophical Logic 9 : 1–7.
• 1980d, Compte rendu de Raymond M. Smullyan , Quel est le nom de ce livre ? The Philosophical Review 89 : 467–470.
• 1981, « Pour chaque A il y a un B », Linguistic Inquiry 12 : 465–466.
• 1981a, Compte rendu de Robert M. Solovay , « Provability Interpretations of Modal Logic », Journal of Symbolic Logic 46 : 661–662.
• 1982, « Phrases extrêmement indécidables », Journal of Symbolic Logic 47 : 191–196.
• 1982a, « Sur la non-existence de certaines formes normales dans la logique de la prouvabilité », Journal of Symbolic Logic 47 : 638–640.
• 1984, « Ne pas éliminer la coupure », Journal of Philosophical Logic 13 : 373–378. LLL.
• 1984a, « La logique de la prouvabilité », American Mathematical Monthly 91 : 470–480.
• 1984b, « À nouveau la non-premier-ordre », Linguistic Inquiry 15 : 343.
• 1984c, « Sur l’inférence syllogistique », Cognition 17 : 181–182.
• 1984d, « Être, c'est être la valeur d'une variable (ou de certaines valeurs de certaines variables) », Journal of Philosophy 81 : 430–450. LLL.
• 1984e, « Arbres et satisfiabilité finie : preuve d'une conjecture de John Burgess », Notre Dame Journal of Formal Logic 25 : 193–197.
• 1984f, « La justification de l'induction mathématique », PSA 2 : 469–475. LLL.
• 1985, « 1-cohérence et le diamant », Notre Dame Journal of Formal Logic 26 : 341–347.
• 1985a, « Platonisme nominaliste », The Philosophical Review 94 : 327–344. LLL.
• 1985b, « Lire le Begriffsschrift », Mind 94 : 331–344. LLL; FPM : 163-81.
• 1985c (avec Giovanni Sambin), « Un système incomplet de logique modale », Journal of Philosophical Logic 14 : 351–358.
• 1986, Compte rendu de Yuri Manin, Un cours de logique mathématique , Journal of Symbolic Logic 51 : 829–830.
• 1986–87, « Sauver Frege de la contradiction », Proceedings of the Aristotelian Society 87 : 137–151. LLL ; FPM 438–52.
• 1987, « La cohérence des fondements de l'arithmétique de Frege » dans JJ Thomson, éd., 1987. On Being and Saying: Essays for Richard Cartwright . MIT Press: 3–20. LLL; FPM: 211–233.
• 1987a, « Une curieuse inférence », Journal of Philosophical Logic 16 : 1–12. LLL.
• 1987b, « Sur les notions de prouvabilité dans la logique de prouvabilité », Résumés du 8e Congrès international de logique, méthodologie et philosophie des sciences 5 : 236–238.
• 1987c (avec Vann McGee), « Le degré de l'ensemble des phrases de la logique de prouvabilité des prédicats qui sont vraies sous toutes les interprétations », Journal of Symbolic Logic 52 : 165–171.
• 1988, « Ordre alphabétique », Notre Dame Journal of Formal Logic 29 : 214–215.
• 1988a, Compte rendu de Craig Smorynski, Auto-référence et logique modale , Journal of Symbolic Logic 53 : 306–309.
• 1989, « Itération à nouveau », Philosophical Topics 17 : 5–21. LLL.
• 1989a, « Une nouvelle preuve du théorème d'incomplétude de Gödel », Notices of the American Mathematical Society 36 : 388–390. LLL. Une postface est parue sous le titre « Une lettre de George Boolos », ibid., p. 676. LLL.
• 1990, « Sur la « vision » de la vérité de la phrase de Gödel », Behavioral and Brain Sciences 13 : 655–656. LLL.
• 1990a, Compte rendu de Jon Barwise et John Etchemendy , Le monde de Turing et Le monde de Tarski , Journal of Symbolic Logic 55 : 370–371.
• 1990b, Revue de VA Uspensky, Théorème d'incomplétude de Gödel , Journal of Symbolic Logic 55 : 889–891.
• 1990c, « La norme d'égalité des nombres » dans Boolos, G., éd., Meaning and Method: Essays in Honor of Hilary Putnam . Cambridge Univ. Press : 261–278. LLL ; FPM : 234–254.
• 1991, « Zoom sur la pente glissante », Nous 25 : 695–706. LLL.
• 1991a (avec Giovanni Sambin), « Provabilité : l'émergence d'une modalité mathématique », Studia Logica 50 : 1–23.
• 1993, « L'exhaustivité analytique des logiques polymodales de Dzhaparidze », Annals of Pure and Applied Logic 61 : 95–111.
• 1993a, « D'où vient la contradiction ? » Aristotelian Society Supplementary Volume 67 : 213–233. LLL.
• 1994, « 1879 ? » dans P. Clark et B. Hale, éd. Reading Putnam . Oxford : Blackwell : 31–48. LLL.
• 1994a, « Les avantages du travail honnête sur le vol », dans A. George, éd., Mathematics and Mind . Oxford University Press : 27–44. LLL.
• 1994b, « Le deuxième théorème d'incomplétude de Gödel expliqué en mots d'une syllabe », Mind 103 : 1–3. LLL.
• 1995, « Le théorème de Frege et les postulats de Peano », Bulletin of Symbolic Logic 1 : 317–326. LLL.
• 1995a, « Note introductive à *1951 » dans Solomon Feferman et al., éd., Kurt Gödel , Collected Works, vol. 3. Oxford University Press : 290–304. LLL. *1951 est la conférence Gibbs de Gödel de 1951, « Quelques théorèmes fondamentaux sur les fondements des mathématiques et leurs implications ».
• 1995b, « Ambiguïté des citations » dans Leonardi, P., et Santambrogio, M., éd. Sur Quine . Cambridge University Press : 283–296. LLL
• 1996, « Le casse-tête logique le plus difficile de tous les temps », Harvard Review of Philosophy 6 : 62-65. LLL. Traduction italienne de Massimo Piattelli-Palmarini, « L'indovinello piu difficile del mondo », La Repubblica (16 avril 1992) : 36-37.
• 1996a, « Sur la preuve du théorème de Frege » dans A. Morton et SP Stich, éd., Paul Benacerraf et ses critiques . Cambridge MA : Blackwell. LLL.
• 1997, « Construire des contre-exemples cantoriens », Journal of Philosophical Logic 26 : 237–239. LLL.
• 1997a, « Le principe de Hume est-il analytique ? » Dans Richard G. Heck, Jr., éd., Language, Thought, and Logic: Essays in Honour of Michael Dummett . Oxford Univ. Press : 245–61. LLL.
• 1997b (avec Richard Heck), "Die Grundlagen der Arithmetik, §§82-83" dans Matthias Schirn , éd., Philosophy of Mathematics Today . Université d'Oxford. Presse. LLL.
• 1998, « Gottlob Frege and the Foundations of Arithmetic ». Première publication dans LLL. Traduction française chez Mathieu Marion et Alain Voizard, éd., 1998. Frege. Logique et philosophie . Montréal et Paris : L'Harmattan : 17–32.
• 2000, « Faut-il croire à la théorie des ensembles ? » dans Gila Sher et Richard Tieszen (dir.), Entre logique et intuition : essais en l'honneur de Charles Parsons . Presses universitaires de Cambridge. LLL.