Worldlex Wiki En mathématiques , et plus particulièrement en théorie de l'ordre , le plus grand élément d'un sous-ensemble d'un ensemble partiellement ordonné (poset) est un élément de ce sous-ensemble supérieur à tous les autres éléments de ce sous-ensemble . Le terme « plus petit élément » est défini de manière duale : il s'agit d'un élément de ce sous-ensemble inférieur à tous les autres éléments de ce sous-ensemble.
En inversant le côté de la relation qui est activé dans la définition ci-dessus, on obtient la définition d'un plus petit élément de . Plus précisément, un élément est dit être
Si A est un ensemble partiellement ordonné, alors A possède au plus un plus grand élément et au plus un plus petit élément. Lorsqu'un plus grand élément de A existe et est unique, cet élément est appelé
Si possède un élément maximal (resp. un élément minimal), alors cet élément est également appelé
Relation avec les limites supérieures/inférieures
Les plus grands éléments sont étroitement liés aux limites supérieures .
Soit un ensemble préordonné et soit . Une borne supérieure
Alors , est un plus grand élément de si et seulement si est une borne supérieure de dans
Si est une borne supérieure de
Même si un ensemble possède des bornes supérieures, il ne possède pas nécessairement un plus grand élément, comme le montre l'exemple des nombres réels négatifs . Cet exemple démontre également que l'existence d'une borne supérieure (le nombre 0 dans ce cas) n'implique pas non plus l'existence d'un plus grand élément.
Par opposition aux éléments maximaux et aux maximums locaux/absolus
Il ne faut pas confondre le plus grand élément d'un sous-ensemble d'un ensemble préordonné avec un élément maximal de l'ensemble, qui sont des éléments qui ne sont pas strictement inférieurs à tout autre élément de l'ensemble.
Soit un ensemble préordonné et soit . Un élément est dit maximal
- chaque fois que satisfait, alors nécessairement
Si est un ensemble partiellement ordonné, alors est un élément maximal de si et seulement s'il
Un ensemble peut posséder plusieurs éléments maximaux sans pour autant avoir d'élément maximal. À l'instar des bornes supérieures et des éléments maximaux, l'absence d'élément maximal est possible.
Dans un ensemble totalement ordonné, l'élément maximal et le plus grand élément coïncident ; on l'appelle aussi maximum ; dans le cas des valeurs d'une fonction, on l'appelle aussi maximum absolu , pour éviter toute confusion avec un maximum local . Les termes duaux sont minimum et minimum absolu . Ensemble, ils sont appelés extrema absolus . Des conclusions similaires s'appliquent aux plus petits éléments.
- Rôle de la (non-)comparabilité dans la distinction entre les éléments les plus importants et les éléments maximaux
L'une des différences les plus importantes entre le plus grand élément et l'élément maximal d'un ensemble préordonné réside dans les éléments auxquels ils sont comparables. Deux éléments sont dits réflexifs (c'est-à-dire que leur plus grand élément est égal à leur plus petit élément ), chaque élément est toujours comparable à lui-même. Par conséquent, seules les paires d'éléments orientés ) peuvent contenir des éléments incomparables.
Par définition, un élément est un plus grand élément de si, pour tout ; donc, par définition même, un plus grand élément de doit, en particulier, être comparable à
- Pour tous
- Exemple où tous les éléments sont maximaux mais aucun n'est le plus grand
Supposons que soit un ensemble contenant
En revanche, si un ensemble préordonné possède un plus grand élément, alors ce plus grand élément sera nécessairement un élément maximal de l'ensemble. De plus, comme le plus grand élément est comparable à orienté est partiellement ordonné si et seulement si l'ensemble possède exactement un élément. Toutes les paires d'éléments de l'ensemble sont comparables et
- Un ensemble ne peut avoir qu'un borne supérieure de qui est également contenue dans
- Si est le plus grand élément de alors est également un élément maximal de et de plus, tout autre élément maximal de sera nécessairement égal à
- Si satisfait la condition de chaîne ascendante , un sous-ensemble de possède un plus grand élément si, et seulement si , il possède un élément maximal.
- Lorsque la restriction de à est un ordre total ( l'image du haut en est un exemple), alors les notions d'élément maximal et de plus grand élément coïncident.
- Si les notions d'élément maximal et de plus grand élément coïncident sur tout sous-ensemble à deux éléments de alors est un ordre total sur
Conditions suffisantes
- Une chaîne finie possède toujours un plus grand et un plus petit élément.
Haut et bas
L'élément minimal et l'élément maximal de l'ensemble partiellement ordonné jouent un rôle particulier et sont appelés respectivement « minimum » (⊥) et « maximum » (⊤), ou encore « zéro » (0) et « unité » (1). Si les deux existent, l'ensemble est dit borné . La notation 0 et 1 est privilégiée lorsque l'ensemble est un treillis complémentaire et lorsqu'il n'y a pas de risque de confusion, c'est-à-dire lorsqu'on ne parle pas d'ordres partiels de nombres contenant déjà des éléments 0 et 1 différents du minimum et du maximum. L'existence d'un élément minimal et d'un élément maximal est une propriété de complétude particulière d'un ordre partiel.
Des informations introductives supplémentaires sont disponibles dans l'article sur la théorie de l'ordre .
Exemples
- Le sous-ensemble des entiers n'a pas de borne supérieure dans l'ensemble des nombres réels .
- Soit la relation sur donnée par L'ensemble a des bornes supérieures et mais pas de borne supérieure minimale, et pas d'élément maximal (cf. image).
- Dans l'ensemble des nombres rationnels , l'ensemble des nombres dont le carré est inférieur à 2 possède des bornes supérieures mais pas de plus grand élément ni de borne inférieure supérieure.
- L' ensemble des nombres inférieurs à 1 possède une borne supérieure minimale, à savoir 1, mais pas d'élément maximal.
- L' ensemble des nombres inférieurs ou égaux à 1 possède un plus grand élément, à savoir 1, qui est également sa borne supérieure minimale.
- Dans l' ordre des produits , l'ensemble des paires avec n'a pas de limite supérieure.
- Dans l' ordre lexicographique , cet ensemble a des bornes supérieures, par exemple il n'a pas de borne supérieure minimale.