foncteur de groupe

En mathématiques, un foncteur de groupe est un foncteur à valeurs dans un groupe défini sur la catégorie des anneaux commutatifs. Bien qu'il soit généralement considéré comme une généralisation d'un schéma de groupe , la notion elle-même n'implique aucune théorie des schémas . De ce fait, certains auteurs, notamment Waterhouse et Milne (qui a suivi les travaux de Waterhouse) , développent la théorie des schémas de groupe à partir de la notion de foncteur de groupe plutôt que de la théorie des schémas.

Un groupe formel est généralement défini comme un type particulier de foncteur de groupe.

foncteur de groupe comme généralisation d'un schéma de groupe

Un schéma peut être considéré comme un foncteur contravariant de la catégorie ${\displaystyle {\mathsf {Sch}}_{S <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mrow><mi>S</mi><mi>c</mi><mi>h</mi></mrow></mrow><mrow><mi>S</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathsf {Sch}}_{S}}</annotation></semantics></math></span><img src=$ S -schémas à la catégorie des ensembles satisfaisant l' axiome de recollement ; la perspective connue sous le nom de foncteur de points . Dans cette perspective, un schéma en groupes est un foncteur contravariant de ${\displaystyle {\mathsf {Sch}}_{S <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mrow><mi>S</mi><mi>c</mi><mi>h</mi></mrow></mrow><mrow><mi>S</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\mathsf {Sch}}_{S}}</annotation></semantics></math></span><img src=$

Par exemple, si Γ est un groupe fini, considérons le foncteur qui envoie Spec( R ) sur l'ensemble des fonctions localement constantes sur ce groupe.

{\displaystyle SL_{2}=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}} ight) <semantics><mrow><mstyle><mi>S</mi><msub><mi>L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>Spéc.</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mi>Z</mi></mrow><mo>[</mo><mi>un</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>,</mo><mi>d</mi><mo>]</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>un</mi><mi>d</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle SL_{2}=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}} ight)}</annotation></semantics></math></span><img src=

peut être décrit comme le foncteur

{\displaystyle \operatorname {Hom} _{ extbf {CRing}}\left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}},- ight) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>Hom</mi><mrow><mrow><mtext>CRing</mtext></mrow></mrow></msub><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mrow><mrow><mi>Z</mi></mrow><mo>[</mo><mi>un</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>,</mo><mi>d</mi><mo>]</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>un</mi><mi>d</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo><mo>−</mo></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \operatorname {Hom} _{ extbf {CRing}}\left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}},- ight)}</annotation></semantics></math></span><img src=

Prenons par exemple une bague, ${\displaystyle \mathbb {C} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>C</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation></semantics></math></span><img src=$

{\displaystyle {\begin{aligned}SL_{2}(\mathbb {C} )&=\operatorname {Hom} _{ extbf {CRing}}\left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}},\mathbb {C} ight)\\&\cong \left\{{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\in M_{2}(\mathbb {C} ):ad-bc=1 ight\}\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>S</mi><msub><mi>L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mrow><mi>C</mi></mrow><mo>)</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mi>Hom</mi><mrow><mrow><mtext>CRing</mtext></mrow></mrow></msub><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mrow><mrow><mi>Z</mi></mrow><mo>[</mo><mi>un</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>,</mo><mi>d</mi><mo>]</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mi>un</mi><mi>d</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo><mrow><mi>C</mi></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>≅</mo><mrow><mo>{</mo><mrow><mrow><mrow><mo>[</mo><mtable><mtr><mtd><mi>un</mi></mtd><mtd><mi>b</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>c</mi></mtd><mtd><mi>d</mi></mtd></mtr></mtable><mo>]</mo></mrow></mrow><mo>∈</mo><msub><mi>M</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mrow><mi>C</mi></mrow><mo>)</mo><mo>:</mo><mi>un</mi><mi>d</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mo>}</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}SL_{2}(\mathbb {C} )&=\operatorname {Hom} _{ extbf {CRing}}\left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}},\mathbb {C} ight)\\&\cong \left\{{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\in M_{2}(\mathbb {C} ):ad-bc=1 ight\}\end{aligned}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

gerbe de groupe

Il est utile de considérer un foncteur de groupe qui respecte une topologie (le cas échéant) de la catégorie sous-jacente ; autrement dit, un foncteur qui est un faisceau. Un foncteur de groupe qui est un faisceau est appelé un faisceau de groupe. Cette notion apparaît notamment dans la discussion sur les torseurs (où le choix de la topologie est important).

Par exemple, un groupe p- divisible est un exemple de faisceau de groupes fppf (un faisceau de groupes par rapport à la topologie fppf).