Schéma de groupe

En mathématiques , un schéma de groupe est un type d'objet de la géométrie algébrique doté d'une loi de composition. Les schémas de groupe apparaissent naturellement comme des symétries de schémas , et ils généralisent les groupes algébriques , dans le sens où tous les groupes algébriques ont une structure de schéma de groupe, mais les schémas de groupe ne sont pas nécessairement connexes, lisses ou définis sur un corps. Cette généralité supplémentaire permet d'étudier des structures infinitésimales plus riches, et cela peut aider à comprendre et à répondre à des questions d'importance arithmétique. La catégorie des schémas de groupe se comporte un peu mieux que celle des variétés de groupe , car tous les homomorphismes ont des noyaux , et il existe une théorie de la déformation qui se comporte bien . Les schémas de groupe qui ne sont pas des groupes algébriques jouent un rôle important en géométrie arithmétique et en topologie algébrique , car ils apparaissent dans des contextes de représentations de Galois et de problèmes de modules . Le développement initial de la théorie des schémas de groupe est dû à Alexandre Grothendieck , Michel Raynaud et Michel Demazure au début des années 1960.

Un schéma de groupe est un objet de groupe dans une catégorie de schémas qui possède des produits de fibres et un objet final S. C'est-à-dire qu'il s'agit d'un S -schéma G équipé d'un des ensembles de données équivalents

• un triple de morphismes μ : G × _S G → G , e : S → G et ι : G → G , satisfaisant les compatibilités habituelles des groupes (à savoir l'associativité de μ, l'identité et les axiomes inverses)
• un foncteur des schémas sur S vers la catégorie des groupes , tel que la composition avec le foncteur oublieux vers les ensembles soit équivalente au préfaisceau correspondant à G sous le plongement de Yoneda . (Voir aussi : foncteur de groupe .)

Un homomorphisme de schémas de groupes est une application de schémas qui respecte la multiplication. Cela peut être formulé de manière précise soit en disant qu'une application f satisfait l'équation f μ = μ( f × f ), soit en disant que f est une transformation naturelle des foncteurs des schémas en groupes (plutôt que simplement en ensembles).

Une action à gauche d'un schéma de groupe G sur un schéma X est un morphisme G × _S X → X qui induit une action à gauche du groupe G ( T ) sur l'ensemble X ( T ) pour tout S -schéma T . Les actions à droite sont définies de manière similaire. Tout schéma de groupe admet des actions naturelles à gauche et à droite sur son schéma sous-jacent par multiplication et conjugaison . La conjugaison est une action par automorphismes, c'est-à-dire qu'elle commute avec la structure du groupe, et cela induit des actions linéaires sur des objets naturellement dérivés, tels que son algèbre de Lie et l'algèbre des opérateurs différentiels invariants à gauche.

Un S -schéma de groupe G est commutatif si le groupe G ( T ) est un groupe abélien pour tous les S -schémas T. Il existe plusieurs autres conditions équivalentes, comme une conjugaison induisant une action triviale, ou une application d'inversion ι étant un automorphisme de schéma de groupe.

• Étant donné un groupe G , on peut former le schéma en groupes constants G _S . Comme schéma, c'est une union disjointe de copies de S , et en choisissant une identification de ces copies avec des éléments de G , on peut définir les applications multiplication, unité et inverse par transport de structure . Comme foncteur, il prend tout S -schéma T à un produit de copies du groupe G , où le nombre de copies est égal au nombre de composantes connexes de T . G _S est affine sur S si et seulement si G est un groupe fini. Cependant, on peut prendre une limite projective de schémas en groupes constants finis pour obtenir des schémas en groupes profinis, qui apparaissent dans l'étude des groupes fondamentaux et des représentations de Galois ou dans la théorie du schéma en groupes fondamentaux , et ceux-ci sont affines de type infini. Plus généralement, en prenant un faisceau localement constant de groupes sur S , on obtient un schéma en groupes localement constant, pour lequel la monodromie sur la base peut induire des automorphismes non triviaux sur les fibres.
• L'existence de produits fibrés de schémas permet de réaliser plusieurs constructions. Les produits directs finis de schémas de groupe ont une structure de schéma de groupe canonique. Étant donnée une action d'un schéma de groupe sur un autre par des automorphismes, on peut former des produits semi-directs en suivant la construction ensembliste habituelle. Les noyaux d'homomorphismes de schémas de groupe sont des schémas de groupe, en prenant un produit fibré sur l'application unité de la base. Le changement de base renvoie des schémas de groupe vers des schémas de groupe.
• Les schémas de groupe peuvent être formés à partir de schémas de groupe plus petits en prenant des restrictions sur les scalaires par rapport à un morphisme de schémas de base, bien que des conditions de finitude soient nécessaires pour assurer la représentabilité du foncteur résultant. Lorsque ce morphisme est le long d'une extension finie de corps, on parle de restriction de Weil .
• Pour tout groupe abélien A , on peut former le groupe diagonalisable correspondant D ( A ), défini comme un foncteur en posant D ( A )( T ) comme l'ensemble des homomorphismes de groupes abéliens de A en sections globales inversibles de O _T pour tout S -schéma T . Si S est affine, D ( A ) peut être formé comme le spectre d'un anneau de groupes. Plus généralement, on peut former des groupes de type multiplicatif en posant A un faisceau non constant de groupes abéliens sur S .
• Pour un schéma de sous-groupe H d'un schéma de groupe G , le foncteur qui prend un S -schéma T dans G ( T )/ H ( T ) n'est en général pas un faisceau, et même sa gerbification n'est en général pas représentable comme un schéma. Cependant, si H est fini, plat et fermé dans G , alors le quotient est représentable et admet une G -action canonique gauche par translation. Si la restriction de cette action à H est triviale, alors H est dit normal et le schéma quotient admet une loi de groupe naturelle. La représentabilité est vraie dans de nombreux autres cas, comme lorsque H est fermé dans G et que les deux sont affines.

• Le groupe multiplicatif G _m a pour schéma sous-jacent la droite affine perforée, et comme foncteur, il envoie un S -schéma T au groupe multiplicatif des sections globales inversibles du faisceau de structures. Il peut être décrit comme le groupe diagonalisable D ( Z ) associé aux entiers. Sur une base affine telle que Spec A , c'est le spectre de l'anneau A [ x , y ]/( xy − 1), qui s'écrit aussi A [ x , x ⁻¹ ]. L'application unité est donnée en envoyant x à un, la multiplication est donnée en envoyant x à x ⊗ x , et l'inverse est donné en envoyant x à x ⁻¹ . Les tores algébriques forment une classe importante de schémas de groupes commutatifs, définis soit par la propriété d'être localement sur S un produit de copies de G _m , soit comme des groupes de type multiplicatif associés à des groupes abéliens libres de type fini.
• Le groupe linéaire général GL _n est une variété algébrique affine qui peut être vue comme le groupe multiplicatif de la variété des anneaux de matrices n x n . En tant que foncteur, il envoie un S -schéma T au groupe des matrices n x n inversibles dont les entrées sont des sections globales de T . Sur une base affine, on peut le construire comme un quotient d'un anneau de polynômes à n ² + 1 variables par un idéal codant l'inversibilité du déterminant. Alternativement, il peut être construit en utilisant 2 n ² variables, avec des relations décrivant une paire ordonnée de matrices mutuellement inverses.
• Pour tout entier positif n , le groupe μ _n est le noyau de la n ième application de puissance de G _m vers lui-même. En tant que foncteur, il envoie tout S -schéma T au groupe des sections globales f de T telles que f ⁿ = 1. Sur une base affine telle que Spec A , c'est le spectre de A [x]/( x ⁿ −1). Si n n'est pas inversible dans la base, alors ce schéma n'est pas lisse. En particulier, sur un corps de caractéristique p , μ _p n'est pas lisse.
• Le groupe additif G _a a pour schéma sous-jacent la droite affine A ¹ . En tant que foncteur, il envoie tout S -schéma T au groupe additif sous-jacent des sections globales du faisceau de structures. Sur une base affine telle que Spec A , c'est le spectre de l'anneau de polynômes A [ x ]. L'application unitaire est donnée en envoyant x à zéro, la multiplication est donnée en envoyant x à 1 ⊗ x + x ⊗ 1, et l'inverse est donné en envoyant x à − x .
• Si p = 0 dans S pour un nombre premier p , alors la prise de puissances p induit un endomorphisme de G _a , et le noyau est le schéma de groupe α _p . Sur une base affine telle que Spec A , c'est le spectre de A [x]/( x ^p ).
• Le groupe des automorphismes de la droite affine est isomorphe au produit semi-direct de G _a par G _m , où le groupe additif agit par translation et le groupe multiplicatif agit par dilatation. Le sous-groupe fixant un point de base choisi est isomorphe au groupe multiplicatif et en prenant le point de base comme identité d'une structure de groupe additif, on identifie G _m au groupe des automorphismes de G _a .
• Une courbe lisse de genre 1 avec un point marqué (c'est-à-dire une courbe elliptique ) possède une structure de schéma de groupe unique avec ce point comme identité. Contrairement aux exemples précédents de dimension positive, les courbes elliptiques sont projectives (en particulier propres).

Supposons que G soit un schéma en groupes de type fini sur un corps k . Soit G ⁰ la composante connexe de l'identité, c'est-à-dire le schéma maximal en sous-groupes connexes. Alors G est une extension d'un schéma en groupes étales finis par G ⁰ . G possède un unique sous-schéma réduit maximal G _red , et si k est parfait, alors G _red est une variété en groupes lisses qui est un schéma en sous-groupes de G . Le schéma quotient est le spectre d'un anneau local de rang fini.

Tout schéma de groupe affine est le spectre d'une algèbre de Hopf commutative (sur une base S , celui-ci est donné par le spectre relatif d'une O _S -algèbre). Les applications de multiplication, d'unité et d'inverse du schéma de groupe sont données par les structures de comultiplication, de numération et d'antipode dans l'algèbre de Hopf. Les structures d'unité et de multiplication dans l'algèbre de Hopf sont intrinsèques au schéma sous-jacent. Pour un schéma de groupe arbitraire G , l'anneau des sections globales a également une structure d'algèbre de Hopf commutative, et en prenant son spectre, on obtient le groupe quotient affine maximal. Les variétés de groupes affines sont connues sous le nom de groupes algébriques linéaires, car elles peuvent être intégrées en tant que sous-groupes de groupes linéaires généraux.

Les schémas de groupes complets connexes sont en quelque sorte opposés aux schémas de groupes affines, puisque la complétude implique que toutes les sections globales sont exactement celles qui sont retirées de la base, et en particulier, ils n'ont pas de correspondances non triviales avec les schémas affines. Toute variété de groupe complète (variété signifiant ici schéma séparé réduit et géométriquement irréductible de type fini sur un corps) est automatiquement commutative, par un argument impliquant l'action de conjugaison sur les espaces de jets de l'identité. Les variétés de groupe complètes sont appelées variétés abéliennes . Ceci se généralise à la notion de schéma abélien ; un schéma de groupe G sur une base S est abélien si le morphisme structural de G vers S est propre et lisse avec des fibres géométriquement connexes. Ils sont automatiquement projectifs, et ils ont de nombreuses applications, par exemple, en théorie géométrique des corps de classes et dans toute la géométrie algébrique. Un schéma de groupe complet sur un corps n'a cependant pas besoin d'être commutatif ; par exemple, tout schéma de groupe fini est complet.

Un schéma de groupe G sur un schéma noethérien S est fini et plat si et seulement si O _G est un O _S -module localement libre de rang fini. Le rang est une fonction localement constante sur S , et est appelé l'ordre de G . L'ordre d'un schéma de groupe constant est égal à l'ordre du groupe correspondant, et en général, l'ordre se comporte bien par rapport au changement de base et à la restriction plate finie des scalaires .

Parmi les schémas en groupes finis plats, les constantes (cf. exemple ci-dessus) forment une classe spéciale, et sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle, la catégorie des groupes finis est équivalente à la catégorie des schémas en groupes finis constants. Sur les bases de structure caractéristique positive ou plus arithmétique, il existe des types d'isomorphismes supplémentaires. Par exemple, si 2 est inversible sur la base, tous les schémas en groupes d'ordre 2 sont constants, mais sur les entiers 2-adiques, μ ₂ est non constant, car la fibre spéciale n'est pas lisse. Il existe des suites d'anneaux 2-adiques hautement ramifiés sur lesquelles le nombre de types d'isomorphismes des schémas en groupes d'ordre 2 croît arbitrairement. Une analyse plus détaillée des schémas en groupes finis plats commutatifs sur les anneaux p -adiques peut être trouvée dans le travail de Raynaud sur les prolongations.

Les schémas de groupes plats finis commutatifs se présentent souvent dans la nature comme des schémas de sous-groupes de variétés abéliennes et semi-abéliennes, et en caractéristique positive ou mixte, ils peuvent capturer beaucoup d'informations sur la variété ambiante. Par exemple, la p -torsion d'une courbe elliptique en caractéristique zéro est localement isomorphe au schéma de groupes abélien élémentaire constant d'ordre p ² , mais sur F _p , c'est un schéma de groupes plats finis d'ordre p ² qui a soit p composantes connexes (si la courbe est ordinaire) soit une composante connexe (si la courbe est supersingulière ). Si l'on considère une famille de courbes elliptiques, la p -torsion forme un schéma de groupes plats finis sur l'espace paramétrisant, et le lieu supersingulier est l'endroit où les fibres sont connectées. Cette fusion de composantes connexes peut être étudiée en détail en passant d'un schéma modulaire à un espace analytique rigide , où les points supersinguliers sont remplacés par des disques de rayon positif.

La dualité de Cartier est un analogue théorique des schémas de la dualité de Pontryagin qui transfère les schémas de groupes commutatifs finis aux schémas de groupes commutatifs finis.

Les schémas de groupes commutatifs finis plats sur un corps parfait k de caractéristique positive p peuvent être étudiés en transférant leur structure géométrique à un cadre algébrique (semi-)linéaire. L'objet de base est l' anneau de Dieudonné D = W ( k ){ F , V }/( FV − p ), qui est un quotient de l'anneau des polynômes non commutatifs, à coefficients dans les vecteurs de Witt de k . F et V sont les opérateurs de Frobenius et Verschiebung , et ils peuvent agir de manière non triviale sur les vecteurs de Witt. Dieudonné et Cartier ont construit une antiéquivalence de catégories entre des schémas de groupes commutatifs finis sur k d'ordre une puissance de "p" et des modules sur D de longueur W ( k ) finie . Le foncteur module de Dieudonné dans une direction est donné par des homomorphismes dans le faisceau abélien CW de covecteurs de Witt. Ce faisceau est plus ou moins dual du faisceau de vecteurs de Witt (qui est en fait représentable par un schéma en groupes), puisqu'il est construit en prenant une limite directe de vecteurs de Witt de longueur finie par des applications de Verschiebung successives V : W _n → W _n+1 , puis en complétant. De nombreuses propriétés des schémas en groupes commutatifs peuvent être observées en examinant les modules de Dieudonné correspondants, par exemple, les schémas en p -groupes connexes correspondent aux D -modules pour lesquels F est nilpotent, et les schémas en groupes étales correspondent aux modules pour lesquels F est un isomorphisme.

La théorie de Dieudonné existe dans un cadre un peu plus général que les groupes finis plats sur un corps. La thèse d'Oda en 1967 a établi un lien entre les modules de Dieudonné et la première cohomologie de Rham des variétés abéliennes, et à peu près au même moment, Grothendieck a suggéré qu'il devrait y avoir une version cristalline de la théorie qui pourrait être utilisée pour analyser les groupes p -divisibles. Les actions de Galois sur les schémas de groupes se transfèrent à travers les équivalences de catégories, et la théorie de déformation associée des représentations de Galois a été utilisée dans le travail de Wiles sur la conjecture de Shimura-Taniyama .