Fonction holonome

mathématiques , et plus précisément en analyse , une fonction holonome est une fonction lisse de plusieurs variables , solution d'un système d' équations différentielles linéaires homogènes à coefficients polynomiaux et satisfaisant une condition de dimension appropriée dans le cadre de la théorie des D -modules . Plus précisément, une fonction holonome est un élément d'un module holonome de fonctions lisses. Les fonctions holonomes peuvent également être décrites comme des fonctions différentiablement finies , aussi appelées fonctions D -finies . Lorsque le développement de Taylor d'une fonction holonome est une série entière en les variables, la suite de ses coefficients, à un ou plusieurs indices, est également dite holonome . Les suites holonomes sont aussi appelées suites P -récursives : elles sont définies récursivement par des récurrences multivariées satisfaites par la suite entière et par certaines de ses spécialisations. La situation se simplifie dans le cas univarié : toute suite univariée qui satisfait une relation de récurrence linéaire homogène à coefficients polynomiaux, ou de manière équivalente une équation aux différences linéaire homogène à coefficients polynomiaux, est holonome.

corps de caractéristique 0 (par exemple, ou ).

Une fonction est dite -finie (ou holonome) s'il existe des polynômes tels que Cela est valable pour tous . On peut également l'écrire comme suit : où et est l' opérateur différentiel qui applique sur . est appelé opérateur d'annulation de (les opérateurs d'annulation de forment un idéal dans l'anneau , appelé l' annulateur de ). La quantité est appelée l' ordre de l'opérateur d'annulation. Par extension, la fonction holonome est dite d'ordre lorsqu'il existe un opérateur d'annulation de cet ordre. Une suite est dite récursive (ou holonome) s'il existe des polynômes tels que Cela est valable pour tous . On peut également l'écrire comme suit : où L' opérateur de décalage qui envoie sur est appelé opérateur d'annihilation de (les opérateurs d'annihilation de forment un idéal dans l'anneau , appelé l' annihilateur de ). La quantité est appelée l' ordre de l'opérateur d'annihilation. Par extension, la suite holonome est dite d'ordre lorsqu'il existe un opérateur d'annihilation de cet ordre. Les fonctions holonomes sont précisément les fonctions génératrices des suites holonomes : si est holonome, alors les coefficients du développement en série entière sont égaux. forment une suite holonome. Réciproquement, pour une suite holonome donnée , la fonction définie par la somme ci-dessus est holonome (ceci est vrai au sens des séries formelles , même si la somme a un rayon de convergence nul ).

Propriétés de fermeture

Les fonctions (ou suites) holonomes possèdent plusieurs propriétés de clôture . En particulier, elles forment un anneau . Elles ne sont cependant pas stables par division et ne constituent donc pas un corps .

Si et sont des fonctions holonomes, alors les fonctions suivantes sont également holonomes :

$, où et sont des constantes$
$(le produit de Cauchy des séquences)$
$(le produit de Hadamard des séquences)$
$, où est une fonction algébrique quelconque . Cependant, n'est généralement pas holonome.$

Une propriété cruciale des fonctions holonomes est que les propriétés de fermeture sont effectives : étant donné des opérateurs d'annihilation pour et , un opérateur d'annihilation pour tel que défini à l'aide de l'une des opérations ci-dessus peut être calculé explicitement.

Exemples de fonctions et de séquences holonomes

Exemples de fonctions holonomes :

toutes les fonctions algébriques , y compris les polynômes et les fonctions rationnelles
les fonctions sinus et cosinus (mais pas tangente, cotangente, sécante ou cosécante)
les fonctions sinus et cosinus hyperboliques (mais pas la tangente, la cotangente, la sécante ou la cosécante hyperboliques)
fonctions exponentielles et logarithmes (dans n'importe quelle base)
la fonction hypergéométrique généralisée , considérée comme une fonction de avec tous les paramètres , maintenus fixes
la fonction d'erreur
les fonctions de Bessel , , ,
les fonctions Airy ,

La classe des fonctions holonomes est un sur-ensemble strict de la classe des fonctions hypergéométriques. Les fonctions de Heun sont des exemples de fonctions particulières holonomes mais non hypergéométriques .

Exemples de séquences holonomes :

la suite des nombres de Fibonacci , et plus généralement, toutes les suites récursives constantes
la suite des factorielles
la suite des coefficients binomiaux (en fonction de ou )
la suite des nombres harmoniques , et plus généralement pour tout entier
la suite des nombres catalans
la suite des nombres de Motzkin
l'énumération des dérangements .

Les fonctions hypergéométriques, les fonctions de Bessel et les polynômes orthogonaux classiques , en plus d'être des fonctions holonomes de leur variable, sont également des suites holonomes par rapport à leurs paramètres. Par exemple, les fonctions de Bessel et satisfont la récurrence linéaire du second ordre .

Exemples de fonctions et de séquences non holonomes

Exemples de fonctions non holonomes :

la fonction
la fonction
Le quotient de deux fonctions holonomes n'est généralement pas holonome.

Exemples de séquences non holonomes :

les nombres de Bernoulli
le nombre de permutations alternées
le nombre de partitions entières
les nombres
les nombres où
les nombres premiers
les énumérations des permutations irréductibles et connexes .

Algorithmes et logiciels

Les fonctions holonomes sont un outil puissant en calcul formel . Une fonction ou une suite holonome peut être représentée par un nombre fini de données, à savoir un opérateur d'annulation et un ensemble fini de valeurs initiales. Les propriétés de clôture permettent d'effectuer des opérations telles que les tests d'égalité, les sommes et les intégrations de manière algorithmique. Ces dernières années, ces techniques ont permis de fournir des preuves automatisées d'un grand nombre d'identités fonctionnelles et combinatoires particulières.

De plus, il existe des algorithmes rapides pour évaluer les fonctions holonomes avec une précision arbitraire en tout point du plan complexe, et pour calculer numériquement n'importe quelle entrée d'une séquence holonome.

Les logiciels permettant de travailler avec les fonctions holonomes comprennent :

Les fonctions holonomespackage pour Mathematica , développé par Christoph Koutschan, qui permet de calculer les propriétés de fermeture et de démontrer des identités pour les fonctions holonomes univariées et multivariées.
L' algolibbibliothèque pour Maple , qui comprend les paquets suivants :
- gfun , développé par Bruno Salvy, Paul Zimmermann et Eithne Murray, pour les propriétés de clôture univariées et la démonstration
- mgfun , développé par Frédéric Chyzak, pour les propriétés de fermeture multivariées et la démonstration
- numgfun , développé par Marc Mezzarobba, pour l'évaluation numérique