En mathématiques , la fonction d'Airy (ou fonction d'Airy de première espèce ) est une fonction particulière qui porte le nom de l'astronome britannique George Biddell Airy . Ce...
Puisque la solution de l'équation différentielle linéaire est oscillatoire pour et exponentielle pour , les fonctions d'Airy sont oscillatoires pour et exponentielles pour . En fait, l'équation d'Airy est l' équation différentielle linéaire du second ordre la plus simple possédant un point d'inflexion (un point où le comportement des solutions passe d'oscillatoire à exponentiel).0" 0 0" 0
Représentation graphique de la fonction d'Airy Représentation graphique de la dérivée de la fonction d'Airy Représentation graphique de intégrale de Riemann impropre
admet deux solutions linéairement indépendantes . À un facteur scalaire près , la solution vérifie la condition lorsque . Le choix classique pour l'autre solution est la fonction d'Airy de seconde espèce, notée . Elle est définie comme la solution ayant la même amplitude d'oscillation que et dont la phase diffère de :
Représentation graphique de la fonction d'Airy
Représentation graphique de la dérivée de la fonction d'Airy fonction gamma . Il s'ensuit que le wronskien de et est .
Lorsque est positif, est positive, convexe et décroît exponentiellement vers zéro, tandis que est positive, convexe et croissante exponentiellement. Lorsque est négatif, et oscillent autour de zéro avec une fréquence toujours croissante et une amplitude toujours décroissante lorsque . Ceci est confirmé par les formules asymptotiques ci-dessous pour les fonctions d'Airy.
Les fonctions d'Airy sont orthogonales au sens où
en utilisant à nouveau une intégrale de Riemann impropre.
Zéros réels de dérivée n'ont de zéros réels positifs. Les « premiers » zéros réels (c'est-à-dire les plus proches de ) sont :
Les « premiers » zéros de Ai (bleu) et forme asymptotique sinusoïdale/exponentielle de Ai (magenta)Bi(bleu) et forme asymptotique sinusoïdale/exponentielle de Bi(magenta)
Comme expliqué ci-dessous, les fonctions d'Airy peuvent être étendues au plan complexe , donnant des fonctions entières . Le comportement asymptotique des fonctions d'Airy lorsque arg ( z ) dépend de phénomène de Stokes . Pour formule asymptotique suivante pour ou où En particulier, les premiers termes sont Il en existe un similaire pour Une formule plus précise pour
Lorsque Des développements asymptotiques pour ces limites sont également disponibles. Ils sont répertoriés dans Abramowitz et Stegun (1983) et Olver (1974)
On peut également obtenir des expressions asymptotiques pour les dérivées
Lorsque
De même, une expression pour
Arguments complexes
point à l'infini d'argument des fonctions entières sur le plan complexe.
La formule asymptotique pour
Il découle du comportement asymptotique des fonctions d'Airy que
est constant. Comme indiqué précédemment, son résultat est égal à . Le fait que la règle du quotient soit équivalente à
confère à diverses intégrales une forme fermée qui serait autrement inaccessible.
Transformée de Fourier
En utilisant la définition de la fonction d'Airy Ai( x ), il est aisé de montrer que sa transformée de Fourier est donnée par : [formule mathématique] . Ceci peut être obtenu en calculant la transformée de Fourier de l'équation d'Airy. Soit [formule mathématique] . Alors, [ formule mathématique], qui admet alors [formule mathématique]. Il n'y a qu'une seule dimension de solutions car la transformée de Fourier exige que équation de Schrödinger indépendante du temps pour une particule confinée dans un puits de potentiel triangulaire et pour une particule soumise à un champ de force constant unidimensionnel. Pour la même raison, elle permet également d'obtenir des approximations semi-classiques uniformes au voisinage d'un point d'inflexion de l' approximation WKB , lorsque le potentiel peut être localement approché par une fonction linéaire de la position. La solution du puits de potentiel triangulaire est directement pertinente pour la compréhension des électrons piégés dans les hétérojonctions semi-conductrices .
Optique
Un faisceau optique transversalement asymétrique, dont le profil de champ électrique est décrit par la fonction d'Airy, présente la propriété intéressante que son intensité maximale s'accélère d'un côté au lieu de se propager en ligne droite comme c'est le cas pour les faisceaux symétriques. Ceci a pour conséquence l'étalement de la queue de faible intensité dans la direction opposée, de sorte que la quantité de mouvement totale du faisceau est bien entendu conservée.
Caustiques
La fonction d'Airy décrit la forme de l'intensité au voisinage d'une caustique directionnelle optique , comme celle de l' arc-en-ciel (appelé arc-en-ciel surnuméraire). Historiquement, c'est ce problème mathématique qui a conduit Airy à développer cette fonction particulière. En 1841, William Hallowes Miller a mesuré expérimentalement l'analogue de l'arc-en-ciel surnuméraire en faisant passer de la lumière à travers un fin cylindre d'eau, puis en observant au télescope. Il a observé jusqu'à 30 bandes.
La fonction d'Airy est le modèle local universel au voisinage d'une caustique de pli (en optique semi-classique). Le déphasage Δ dans le développement asymptotique de Δ est la forme locale de la correction de phase de Maslov , qui est globalement codée par l'indice de Maslov.
Probabilité
Au milieu des années 1980, on a découvert que la fonction d'Airy était intimement liée à la distribution de Chernoff .
La fonction d'Airy doit son nom à l'astronome et physicien britannique George Biddell Airy (1801-1892), qui l'a découverte lors de ses premières études d' optique en physique. La notation Ai( x ) a été introduite par Harold Jeffreys . Airy fut nommé astronome royal britannique en 1835 et occupa ce poste jusqu'à sa retraite en 1881.
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