Catégorie d'homotopie des complexes en chaîne

En algèbre homologique en mathématiques , la catégorie d'homotopie K(A) des complexes en chaîne dans une catégorie additive A est un cadre pour travailler avec les homotopies de chaîne et les équivalences d'homotopie. Elle se situe entre la catégorie des complexes en chaîne Kom(A) de A et la catégorie dérivée D(A) de A lorsque A est abélien ; contrairement à la première, c'est une catégorie triangulée , et contrairement à la seconde, sa formation ne nécessite pas que A soit abélien. Philosophiquement, alors que D(A) transforme en isomorphismes toutes les applications de complexes qui sont des quasi-isomorphismes dans Kom(A) , K(A) ne le fait que pour ceux qui sont des quasi-isomorphismes pour une « bonne raison », à savoir avoir en fait un inverse à équivalence d'homotopie près. Ainsi, K(A) est plus compréhensible que D(A) .

Définitions

Soit A une catégorie additive . La catégorie d'homotopie K(A) est basée sur la définition suivante : si nous avons des complexes A , B et des applications f , g de A vers B , une homotopie en chaîne de f vers g est une collection d'applications ( et non une application de complexes) telle que ${\displaystyle h^{n}\colon A^{n} o B^{n-1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>h</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>:</mo> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>→</mo> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle h^{n}\colon A^{n}\à B^{n-1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle f^{n}-g^{n}=d_{B}^{n-1}h^{n}+h^{n+1}d_{A}^{n}, <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>f</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>g</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>d</mi> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>h</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>h</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msubsup> <mi>d</mi> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f^{n}-g^{n}=d_{B}^{n-1}h^{n}+h^{n+1}d_{A}^{n},}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle f-g=d_{B}h+hd_{A}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>−</mo> <mi>g</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mi>h</mi> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle fg=d_{B}h+hd_{A}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Cela peut être représenté comme suit :

On dit aussi que f et g sont homotopes en chaîne , ou qu'ils sont homotopes nuls ou homotopes à 0. Il ressort clairement de la définition que les applications de complexes homotopes nuls forment un groupe par addition. ${\displaystyle f-g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>−</mo> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle fg}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La catégorie d'homotopie des complexes en chaîne K(A) est alors définie comme suit : ses objets sont les mêmes que les objets de Kom(A) , à savoir les complexes en chaîne . Ses morphismes sont des « applications de complexes modulo l'homotopie » : c'est-à-dire que l'on définit une relation d'équivalence

{\displaystyle f\sim g\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>∼</mo> <mi>g</mi> <mtext> </mtext> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f\sim g\ }</annotation> </semantics> </math></span><img src=

f est homotope à g

et définir

{\displaystyle \operatorname {Hom} _{K(A)}(A,B)=\operatorname {Hom} _{Kom(A)}(A,B)/\sim <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Hom</mi> <mrow> <mi>K</mi> <mo>(</mo> <mi>UN</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>UN</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>Hom</mi> <mrow> <mi>K</mi> <mi>ou</mi> <mi>m</mi> <mo>(</mo> <mi>UN</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>UN</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mo>∼</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {Hom} _{K(A)}(A,B)=\operatorname {Hom} _{Kom(A)}(A,B)/\sim }</annotation> </semantics> </math></span><img src=

être le quotient par cette relation. Il est clair que cela conduit à une catégorie additive si l'on remarque que cela revient à prendre le quotient par le sous-groupe des applications nulles-homotopiques.

Français Les variantes suivantes de la définition sont également largement utilisées : si l'on prend uniquement des complexes bornés en dessous ( A ⁿ =0 pour n<<0 ), bornés au-dessus ( A ⁿ =0 pour n>>0 ) ou bornés ( A ⁿ =0 pour |n|>>0 ) au lieu de complexes non bornés, on parle de la catégorie d'homotopie bornée en dessous , etc. Ils sont désignés respectivement par K ⁺ (A) , K ⁻ (A) et K ^b (A) .

Un morphisme qui est un isomorphisme dans K(A) est appelé une équivalence d'homotopie . En détail, cela signifie qu'il existe une autre application , telle que les deux compositions soient homotopes aux identités : et . ${\displaystyle f:A ightarrow B <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>UN</mi> <mo>→</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f:A\flèche droite B}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle g:B ightarrow A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mi>B</mi> <mo>→</mo> <mi>UN</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g:B ightarrow A}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f\circ g\sim Id_{B <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <mi>g</mi> <mo>∼</mo> <mi>je</mi> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f\circ g\sim Id_{B}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle g\circ f\sim Id_{A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> <mo>∼</mo> <mi>je</mi> <msub> <mi>d</mi> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g\circ f\sim Id_{A}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le nom « homotopie » vient du fait que les applications homotopiques d' espaces topologiques induisent des applications homotopiques (au sens ci-dessus) de chaînes singulières .

Remarques

Deux applications homotopiques de chaîne f et g induisent les mêmes applications en homologie car (f − g) envoie des cycles vers des bords , qui sont nuls en homologie. En particulier une équivalence d'homotopie est un quasi-isomorphisme . (La réciproque est fausse en général.) Ceci montre qu'il existe un foncteur canonique vers la catégorie dérivée (si A est abélien ). ${\displaystyle K(A) ightarrow D(A) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>K</mi> <mo>(</mo> <mi>UN</mi> <mo>)</mo> <mo>→</mo> <mi>D</mi> <mo>(</mo> <mi>UN</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle K(A) ightarrow D(A)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La structure triangulaire

Le décalage A[1] d'un complexe A est le complexe suivant

{\displaystyle A[1]:... o A^{n+1}{\xrightarrow {d_{A[1]}^{n}}}A^{n+2} o ... <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>[</mo> <mn>1</mn> <mo>]</mo> <mo>:</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>→</mo> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mover> <mo>→</mo> <mpadded> <msubsup> <mi>d</mi> <mrow> <mi>UN</mi> <mo>[</mo> <mn>1</mn> <mo>]</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> </mpadded> </mover> </mrow> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>→</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A[1]:...\à A^{n+1}{\xrightarrow {d_{A[1]}^{n}}}A^{n+2}\à ...}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle (A[1])^{n}=A^{n+1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>UN</mi> <mo>[</mo> <mn>1</mn> <mo>]</mo> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (A[1])^{n}=A^{n+1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où le différentiel est . ${\displaystyle d_{A[1]}^{n}:=-d_{A}^{n+1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>d</mi> <mrow> <mi>UN</mi> <mo>[</mo> <mn>1</mn> <mo>]</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> <mo>:=</mo> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>d</mi> <mrow> <mi>UN</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d_{A[1]}^{n}:=-d_{A}^{n+1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Pour le cône d'un morphisme f on prend le cône d'application . Il existe des applications naturelles

{\displaystyle A{\xrightarrow {f}}B o C(f) o A[1] <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mrow> <mover> <mo>→</mo> <mpadded> <mi>f</mi> </mpadded> </mover> </mrow> <mi>B</mi> <mo>→</mo> <mi>C</mi> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>)</mo> <mo>→</mo> <mi>UN</mi> <mo>[</mo> <mn>1</mn> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A{\xrightarrow {f}}B\à C(f)\à A[1]}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Ce diagramme est appelé un triangle . La catégorie d'homotopie K(A) est une catégorie triangulée , si l'on définit les triangles distingués comme isomorphes (dans K(A) , c'est-à-dire équivalents à l'homotopie) aux triangles ci-dessus, pour des valeurs arbitraires de A , B et f . Il en va de même pour les variantes bornées K ⁺ (A) , K ⁻ (A) et K ^b (A) . Bien que les triangles aient également un sens dans Kom(A) , cette catégorie n'est pas triangulée par rapport à ces triangles distingués ; par exemple,

{\displaystyle X{\xrightarrow {id}}X o 0 o <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mrow> <mover> <mo>→</mo> <mpadded> <mi>je</mi> <mi>d</mi> </mpadded> </mover> </mrow> <mi>X</mi> <mo>→</mo> <mn>0</mn> <mo>→</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X{\xrightarrow {id}}X\à 0\à }</annotation> </semantics> </math></span><img src=

n'est pas distinguée puisque le cône de l'application identité n'est pas isomorphe au complexe 0 (cependant, l'application zéro est une équivalence d'homotopie, de sorte que ce triangle est distingué dans K(A) ). De plus, la rotation d'un triangle distingué n'est évidemment pas distinguée dans Kom(A) , mais (moins évidemment) est distinguée dans K(A) . Voir les références pour plus de détails. ${\displaystyle C(id) o 0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>C</mi> <mo>(</mo> <mi>je</mi> <mi>d</mi> <mo>)</mo> <mo>→</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle C(id)\à 0}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Généralisation

Plus généralement, la catégorie d'homotopie Ho(C) d'une catégorie différentielle graduée C est définie comme ayant les mêmes objets que C , mais les morphismes sont définis par . (Cela revient à l'homotopie des complexes en chaîne si C est la catégorie des complexes dont les morphismes n'ont pas à respecter les différentielles). Si C a des cônes et des décalages dans un sens approprié, alors Ho(C) est aussi une catégorie triangulée. ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{Ho(C)}(X,Y)=H^{0}\operatorname {Hom} _{C}(X,Y) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Hom</mi> <mrow> <mi>H</mi> <mi>ou</mi> <mo>(</mo> <mi>C</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>H</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>Hom</mi> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {Hom} _{Ho(C)}(X,Y)=H^{0}\operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Manin, Youri Ivanovitch ; Gelfand, Sergei I. (2003), Méthodes d'algèbre homologique , Berlin, New York : Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9
Weibel, Charles A. (1994). Une introduction à l'algèbre homologique . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. M. 1269324. OCLC 36131259.