Hyperrectangle

En géométrie , un hyperrectangle (également appelé boîte , hyperboîte , -cellule ou orthotope ), est la généralisation d'un rectangle (une figure plane ) et du cuboïde rectangulaire (une figure solide ) à des dimensions supérieures . Une condition nécessaire et suffisante est qu'il soit congruent au produit cartésien d' intervalles finis . Cela signifie qu'un solide rectangulaire de dimension 3 a chacune de ses arêtes égales à l'un des intervalles fermés utilisés dans la définition. Chaque -cellule est compacte . ${\displaystyle k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Si toutes les arêtes sont de même longueur, on parle d' hypercube . Un hyperrectangle est un cas particulier de parallélotope .

Définition formelle

Pour tout entier de à , soient et des nombres réels tels que . L'ensemble de tous les points dont les coordonnées satisfont les inégalités est une -cellule . ${\displaystyle i <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle b_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a_{i}<b_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo><</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a_{i}<b_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{k}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{k})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>≤</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>≤</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Intuition

Une cellule de dimension Δ est particulièrement simple. Par exemple, une cellule de dimension 1 est simplement l'intervalle avec . Une cellule de dimension 2 est le rectangle formé par le produit cartésien de deux intervalles fermés, et une cellule de dimension 3 est un solide rectangulaire. ${\displaystyle k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle k\leq 3 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> <mo>≤</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k\leq 3}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle [a,b] <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>[</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle [a,b]}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> <mo><</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a<b}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les côtés et les arêtes d'une α -cellule n'ont pas besoin d'être égaux en longueur (euclidienne) ; bien que le cube unité (qui a des limites de longueur euclidienne égale) soit une α-cellule, l'ensemble de toutes les α-cellules avec des arêtes de longueur égale est un sous-ensemble strict de l'ensemble de toutes les α-cellules. ${\displaystyle k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Types

Un orthotope à quatre dimensions est probablement un hypercuboïde.

Le cas particulier d'un orthotope n -dimensionnel où toutes les arêtes ont la même longueur est le n - cube ou hypercube.

Par analogie, le terme « hyperrectangle » peut faire référence à des produits cartésiens d’ intervalles orthogonaux d’autres types, tels que des plages de clés dans la théorie des bases de données ou des plages d’ entiers , plutôt qu’à des nombres réels .

Polytope double

Le polytope dual d'un n -orthotope a été appelé n - orthoplexe rectangulaire , n - fusil rhombique ou n - losange . Il est construit à partir de 2 n points situés au centre des faces rectangulaires de l'orthotope.

Un symbole Schläfli d' un n- fusil peut être représenté par une somme de n segments de ligne orthogonaux : { } + { } + ... + { } ou n { }.

Un 1-fusil est un segment de droite . Un 2-fusil est un losange . Ses sélections transversales planes dans toutes les paires d'axes sont des losanges .