Intuitionnisme

En philosophie des mathématiques , l'intuitionnisme , ou néo-intuitionnisme (par opposition au préintuitionnisme ), est une approche où les mathématiques sont considérées comme le pur résultat de l'activité mentale constructive des humains plutôt que la découverte de principes fondamentaux censés exister dans une réalité objective. Autrement dit, la logique et les mathématiques ne sont pas considérées comme des activités analytiques dans lesquelles des propriétés profondes de la réalité objective sont révélées et appliquées, mais sont plutôt considérées comme l'application de méthodes cohérentes en interne utilisées pour réaliser des constructions mentales plus complexes, indépendamment de leur éventuelle existence indépendante dans une réalité objective.

La caractéristique fondamentale de l'intuitionnisme est son interprétation de ce que signifie qu'un énoncé mathématique est vrai. Dans l'intuitionnisme originel de Brouwer , la vérité d'un énoncé mathématique est une affirmation subjective : un énoncé mathématique correspond à une construction mentale, et un mathématicien ne peut affirmer la vérité d'un énoncé qu'en vérifiant la validité de cette construction par intuition . Le flou de la notion intuitionniste de vérité conduit souvent à des interprétations erronées de sa signification. Kleene a formellement défini la vérité intuitionniste à partir d'une position réaliste, mais Brouwer rejetterait probablement cette formalisation comme dénuée de sens, étant donné son rejet de la position réaliste/platonicienne. La vérité intuitionniste reste donc quelque peu mal définie. Cependant, comme la notion intuitionniste de vérité est plus restrictive que celle des mathématiques classiques, l'intuitionniste doit rejeter certaines hypothèses de la logique classique pour s'assurer que tout ce qu'ils prouvent est en fait intuitionnistement vrai. Cela donne naissance à la logique intuitionniste .

Pour un intuitionniste, l'affirmation selon laquelle un objet doté de certaines propriétés existe est une affirmation selon laquelle un objet doté de ces propriétés peut être construit. Tout objet mathématique est considéré comme le produit d'une construction de l' esprit et, par conséquent, l'existence d'un objet équivaut à la possibilité de sa construction. Cela contraste avec l'approche classique, qui affirme que l'existence d'une entité peut être prouvée en réfutant sa non-existence. Pour l'intuitionniste, cela n'est pas valable ; la réfutation de la non-existence ne signifie pas qu'il est possible de trouver une construction pour l'objet putatif, comme cela est nécessaire pour affirmer son existence. En tant que tel, l'intuitionnisme est une variété de constructivisme mathématique ; mais ce n'est pas le seul type.

L'interprétation de la négation est différente dans la logique intuitionniste et dans la logique classique. Dans la logique classique, la négation d'un énoncé affirme que l'énoncé est faux ; pour un intuitionniste, cela signifie que l'énoncé est réfutable . Il y a donc une asymétrie entre un énoncé positif et un énoncé négatif dans l'intuitionnisme. Si un énoncé P est prouvable, alors P ne peut certainement pas être réfutable. Mais même s'il peut être démontré que P ne peut pas être réfuté, cela ne constitue pas une preuve de P. Ainsi, P est un énoncé plus fort que non-non-P .

De même, affirmer que A ou B est vrai, pour un intuitionniste, revient à affirmer que A ou B peut être prouvé . En particulier, la loi du tiers exclu , « A ou pas A », n'est pas acceptée comme un principe valide. Par exemple, si A est une affirmation mathématique qu'un intuitionniste n'a pas encore prouvée ou réfutée, alors cet intuitionniste n'affirmera pas la vérité de « A ou pas A ». Cependant, l'intuitionniste admettra que « A et pas A » ne peut pas être vrai. Ainsi, les connecteurs « et » et « ou » de la logique intuitionniste ne satisfont pas aux lois de Morgan comme ils le font dans la logique classique.

La logique intuitionniste substitue la constructibilité à la vérité abstraite et est associée à une transition de la preuve de la théorie des modèles à la vérité abstraite dans les mathématiques modernes . Le calcul logique préserve la justification, plutôt que la vérité, à travers les transformations donnant lieu à des propositions dérivées. Il a été considéré comme apportant un soutien philosophique à plusieurs écoles de philosophie, notamment à l' antiréalisme de Michael Dummett . Ainsi, contrairement à la première impression que son nom pourrait donner, et comme cela se réalise dans des approches et des disciplines spécifiques (par exemple les ensembles et systèmes flous ), les mathématiques intuitionnistes sont plus rigoureuses que les mathématiques conventionnelles, où, ironiquement, les éléments fondamentaux que l'intuitionnisme tente de construire/réfuter/refonder sont considérés comme donnés intuitivement.

Parmi les différentes formulations de l’intuitionnisme, il existe plusieurs positions différentes sur le sens et la réalité de l’infini.

Le terme infini potentiel désigne une procédure mathématique dans laquelle il existe une série infinie d'étapes. Après chaque étape terminée, il reste toujours une autre étape à effectuer. Par exemple, considérons le processus de comptage :

Le terme infini actuel désigne un objet mathématique achevé qui contient un nombre infini d'éléments. Un exemple est l'ensemble des nombres naturels , .

Dans la formulation de la théorie des ensembles de Cantor, il existe de nombreux ensembles infinis différents, dont certains sont plus grands que d'autres. Par exemple, l'ensemble de tous les nombres réels est plus grand que , car toute tentative de mettre les nombres naturels en correspondance biunivoque avec les nombres réels échouera toujours : il restera toujours un nombre infini de nombres réels « restants ». Tout ensemble infini qui peut être mis en correspondance biunivoque avec les nombres naturels est dit « dénombrable » ou « dénombrable ». Les ensembles infinis plus grands que cela sont dits « indénombrables ».

La théorie des ensembles de Cantor a donné naissance au système axiomatique de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZFC), qui constitue aujourd'hui le fondement le plus commun des mathématiques modernes . L'intuitionnisme a été créé, en partie, en réaction à la théorie des ensembles de Cantor.

La théorie constructive des ensembles moderne inclut l'axiome de l'infini de ZFC (ou une version révisée de cet axiome) et l'ensemble des nombres naturels. La plupart des mathématiciens constructifs modernes acceptent la réalité des ensembles dénombrablement infinis (voir cependant Alexander Esenin-Volpin pour un contre-exemple).

Brouwer a rejeté le concept d’infini actuel, mais a admis l’idée d’infini potentiel.

Selon Weyl 1946, « Brouwer a clairement montré, et je pense qu'il n'y a aucun doute là-dessus, qu'il n'existe aucune preuve soutenant la croyance dans le caractère existentiel de la totalité de tous les nombres naturels... la séquence de nombres qui s'étend au-delà de tout stade déjà atteint en passant au nombre suivant, est une multitude de possibilités ouvertes vers l'infini ; elle reste à jamais dans le statut de création, mais n'est pas un royaume fermé de choses existant en elles-mêmes. Le fait que nous ayons aveuglément converti l'une en l'autre est la véritable source de nos difficultés, y compris les antinomies - une source de nature plus fondamentale que ne l'indiquait le principe du cercle vicieux de Russell. Brouwer nous a ouvert les yeux et nous a fait voir jusqu'où les mathématiques classiques, nourries par une croyance dans l'« absolu » qui transcende toutes les possibilités humaines de réalisation, vont au-delà des énoncés qui peuvent prétendre à un sens réel et à une vérité fondée sur des preuves. »

—  Kleene 1991, p. 48–49

L’histoire de l’intuitionnisme peut être retracée jusqu’à deux controverses mathématiques du XIXe siècle.

La première d’entre elles fut l’invention de l’arithmétique transfinie par Georg Cantor et son rejet ultérieur par un certain nombre de mathématiciens éminents, dont le plus célèbre est son professeur Leopold Kronecker , un finitiste convaincu .

Le deuxième de ces efforts fut celui de Gottlob Frege, qui tenta de réduire l'ensemble des mathématiques à une formulation logique par le biais de la théorie des ensembles, et qui fut contrecarré par le jeune Bertrand Russell , découvreur du paradoxe de Russell . Frege avait prévu de publier un ouvrage définitif en trois volumes, mais au moment où le deuxième volume était sous presse, Russell lui envoya une lettre décrivant son paradoxe, qui démontrait que l'une des règles d'autoréférence de Frege était contradictoire. Dans une annexe au deuxième volume, Frege reconnut que l'un des axiomes de son système conduisait en fait au paradoxe de Russell.

Frege aurait sombré dans la dépression et n'aurait pas publié le troisième volume de son œuvre comme il l'avait prévu. Pour en savoir plus, voir Davis (2000) Chapitres 3 et 4 : Frege : De la percée au désespoir et Cantor : Détour par l'infini. Voir van Heijenoort pour les œuvres originales et le commentaire de van Heijenoort.

Ces controverses sont étroitement liées, car les méthodes logiques utilisées par Cantor pour prouver ses résultats en arithmétique transfinie sont essentiellement les mêmes que celles utilisées par Russell pour construire son paradoxe. Par conséquent, la manière dont on choisit de résoudre le paradoxe de Russell a des implications directes sur le statut accordé à l'arithmétique transfinie de Cantor.

Au début du XXe siècle, LEJ Brouwer représentait la position intuitionniste et David Hilbert la position formaliste — voir van Heijenoort. Kurt Gödel a émis des opinions qualifiées de platoniciennes (voir diverses sources concernant Gödel). Alan Turing considère : « des systèmes logiques non constructifs dans lesquels toutes les étapes d'une preuve ne sont pas mécaniques, certaines étant intuitives ». Plus tard, Stephen Cole Kleene a présenté une considération plus rationnelle de l'intuitionnisme dans son Introduction aux métamathématiques (1952).

Nicolas Gisin adopte les mathématiques intuitionnistes pour réinterpréter l'indétermination quantique , la théorie de l'information et la physique du temps .

• Henri Poincaré ( préintuitionnisme / conventionnalisme )
• LEJ Brouwer
• Michael Dummett
• Arend Heyting
• Stephen Kleene

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