Intersection ligne-plan

En géométrie analytique , l' intersection d'une droite et d'un plan dans l'espace tridimensionnel peut être l' ensemble vide , un point ou une droite. Il s'agit de la droite entière si cette droite est encastrée dans le plan, et de l'ensemble vide si la droite est parallèle au plan mais en dehors de celui-ci. Sinon, la droite traverse le plan en un seul point.

La distinction de ces cas et la détermination des équations pour le point et la ligne dans ces derniers cas sont utiles en infographie , en planification de mouvement et en détection de collision .

En notation vectorielle , un plan peut être exprimé comme l'ensemble des points pour lesquels

où est un vecteur normal au plan et est un point du plan. (La notation désigne le produit scalaire des vecteurs et .)

L'équation vectorielle d'une ligne est

où est un vecteur unitaire dans la direction de la droite, est un point sur la droite et est un scalaire dans le domaine des nombres réels . En substituant l'équation de la droite dans l'équation du plan, on obtient

L'expansion donne

Et résoudre pour donne

Si alors la droite et le plan sont parallèles. Il y aura deux cas : si alors la droite est contenue dans le plan, c'est-à-dire que la droite coupe le plan en chaque point de la droite. Sinon, la droite et le plan n'ont pas d'intersection.

S'il y a un seul point d'intersection. La valeur de peut être calculée et le point d'intersection, , est donné par

Une ligne est décrite par tous les points qui se trouvent dans une direction donnée à partir d'un point. Un point général sur une ligne passant par des points peut être représenté comme

où est le vecteur pointant de à .

De même, un point général sur un plan déterminé par le triangle défini par les points , et peut être représenté comme

où est le vecteur pointant de à , et est le vecteur pointant de à .

Le point où la droite coupe le plan est donc décrit en définissant le point de la droite égal au point du plan, ce qui donne l'équation paramétrique :

Cela peut être réécrit comme

qui peut être exprimé sous forme matricielle comme

où les vecteurs sont écrits sous forme de vecteurs colonnes.

Ceci produit un système d'équations linéaires qui peut être résolu pour , et . Si la solution satisfait la condition , alors le point d'intersection est sur le segment de droite entre et , sinon il est ailleurs sur la droite. De même, si la solution satisfait , alors le point d'intersection est dans le parallélogramme formé par le point et les vecteurs et . Si la solution satisfait en plus , alors le point d'intersection se trouve dans le triangle formé par les trois points , et .

Le déterminant de la matrice peut être calculé comme

Si le déterminant est nul, alors il n'y a pas de solution unique ; la droite est soit dans le plan, soit parallèle à celui-ci.

Si une solution unique existe (le déterminant n'est pas 0), alors elle peut être trouvée en inversant la matrice et en réorganisant :

qui s'étend à

et puis à

donnant ainsi les solutions :

Le point d'intersection est alors égal à

Dans la méthode de traçage de rayons de l'infographie, une surface peut être représentée comme un ensemble de parties de plans. L'intersection d'un rayon lumineux avec chaque plan est utilisée pour produire une image de la surface. Dans la reconstruction 3D basée sur la vision , un sous-domaine de la vision par ordinateur, les valeurs de profondeur sont généralement mesurées par la méthode dite de triangulation, qui trouve l'intersection entre le plan lumineux et le rayon réfléchi vers la caméra.

L'algorithme peut être généralisé pour couvrir l'intersection avec d'autres figures planes, en particulier l' intersection d'un polyèdre avec une ligne .