Distribution normale de la matrice

En statistiques , la distribution matricielle normale ou distribution matricielle gaussienne est une distribution de probabilité qui est une généralisation de la distribution normale multivariée aux variables aléatoires à valeurs matricielles.

La fonction de densité de probabilité pour la matrice aléatoire X ( n × p ) qui suit la distribution matricielle normale a la forme :

où désigne la trace et M est n × p , U est n × n et V est p × p , et la densité est comprise comme la fonction de densité de probabilité par rapport à la mesure standard de Lebesgue dans , c'est-à-dire : la mesure correspondant à l'intégration par rapport à .

La matrice normale est liée à la distribution normale multivariée de la manière suivante :

si et seulement si

où désigne le produit de Kronecker et désigne la vectorisation de .

L'équivalence entre les fonctions de densité normales de matrice et normales multivariées ci-dessus peut être démontrée à l'aide de plusieurs propriétés de la trace et du produit de Kronecker , comme suit. Nous commençons par l'argument de l'exposant de la matrice normale PDF :

qui est l'argument de l'exposant de la PDF normale multivariée par rapport à la mesure de Lebesgue dans . La preuve est complétée en utilisant la propriété déterminante :

Si , alors nous avons les propriétés suivantes :

La moyenne, ou valeur attendue, est :

et nous avons les attentes du second ordre suivantes :

où désigne la trace .

Plus généralement, pour des matrices A , B , C convenablement dimensionnées :

Transformation de transposition :

Transformée linéaire : soit D ( r -par- n ), de rang complet r ≤ n et C ( p -par- s ), de rang complet s ≤ p , alors :

Imaginons un échantillon de n variables aléatoires indépendantes de dimension p identiquement distribuées selon une distribution normale multivariée :

En définissant la matrice n × p pour laquelle la i -ème ligne est , on obtient :

où chaque ligne de est égale à , c'est-à-dire , est la matrice identité n × n , c'est-à-dire que les lignes sont indépendantes, et .

Étant donné k matrices, chacune de taille n × p , notées , que nous supposons avoir été échantillonnées iid à partir d'une distribution matricielle normale, l' estimation de vraisemblance maximale des paramètres peut être obtenue en maximisant :

La solution pour la moyenne a une forme fermée, à savoir

mais les paramètres de covariance ne le sont pas. Cependant, ces paramètres peuvent être maximisés de manière itérative en mettant à zéro leurs gradients à :

et

Voir par exemple et les références qui y sont citées. Les paramètres de covariance ne sont pas identifiables dans le sens où pour tout facteur d'échelle, s >0, nous avons :

L'échantillonnage à partir de la distribution normale matricielle est un cas particulier de la procédure d'échantillonnage pour la distribution normale multivariée . Soit une matrice n par p de np échantillons indépendants de la distribution normale standard, de sorte que

Alors laissez

de sorte que

où A et B peuvent être choisis par décomposition de Cholesky ou une opération de racine carrée de matrice similaire.

Dawid (1981) fournit une discussion sur la relation de la distribution normale à valeurs matricielles avec d'autres distributions, y compris la distribution de Wishart , la distribution de Wishart inverse et la distribution t matricielle , mais utilise une notation différente de celle employée ici.