Distribution matricielle t

En statistique , la distribution t matricielle (ou distribution t matricielle variable ) est la généralisation de la distribution t multivariée des vecteurs aux matrices .

La distribution t matricielle partage la même relation avec la distribution t multivariée que la distribution normale matricielle partage avec la distribution normale multivariée : si la matrice n'a qu'une seule ligne ou qu'une seule colonne, les distributions deviennent équivalentes à la distribution (vectorielle) multivariée correspondante. La distribution t matricielle est la distribution composée qui résulte d'un mélange infini d'une distribution normale matricielle avec une distribution de Wishart inverse placée sur l'une ou l'autre de ses matrices de covariance, et la distribution t multivariée peut être générée de manière similaire.

Dans une analyse bayésienne d'un modèle de régression linéaire multivariée basé sur la distribution normale matricielle, la distribution t matricielle est la distribution prédictive postérieure .

Définition

Pour une distribution matricielle t , la fonction de densité de probabilité au point d'un espace est ${\displaystyle \mathbf {X} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {X} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n imes p <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>×</mo> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n imes p}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle f(\mathbf {X} ; u ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})=K imes \left|\mathbf {I} _{n}+{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{ m {T}} ight|^{-{\frac { u +n+p-1}{2}}}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mo>;</mo> <mi>ν</mi> <mo>,</mo> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mi>Ω</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <mo>×</mo> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <mo>)</mo> <msup> <mrow> <mi>Ω</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>ν</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(\mathbf {X} ; u ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})=K imes \left|\mathbf {I} _{n}+{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{ m {T}} ight|^{-{\frac { u +n+p-1}{2}}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où la constante d'intégration K est donnée par

{\displaystyle K={\frac {\Gamma _{p}\left({\frac { u +n+p-1}{2}} ight)}{(\pi )^{\frac {np}{2}}\Gamma _{p}\left({\frac { u +p-1}{2}} ight)}}|{\boldsymbol {\Omega }}|^{-{\frac {n}{2}}}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-{\frac {p}{2}}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>K</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>Γ</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>ν</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>π</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mi>p</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <msub> <mi>Γ</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>ν</mi> <mo>+</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>Ω</mi> </mrow> <msup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> </msup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <msup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle K={\frac {\Gamma _{p}\left({\frac { u +n+p-1}{2}} ight)}{(\pi )^{\frac {np}{2}}\Gamma _{p}\left({\frac { u +p-1}{2}} ight)}}|{\boldsymbol {\Omega }}|^{-{\frac {n}{2}}}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-{\frac {p}{2}}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Voici la fonction gamma multivariée . ${\displaystyle \Gamma _{p <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Γ</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Gamma _{p}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Propriétés

Si , alors nous avons les propriétés suivantes : ${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\mathcal {T}}_{n imes p}( u ,\mathbf {M} ,\mathbf {\Sigma } ,\mathbf {\Omega } ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mo>∼</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>×</mo> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>ν</mi> <mo>,</mo> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mi>Ω</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {X} \sim {\mathcal {T}}_{n imes p}( u ,\mathbf {M} ,\mathbf {\Sigma } ,\mathbf {\Omega } )}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Valeurs attendues

La moyenne, ou valeur attendue , est si : $1 ν > 1$ 1}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67dc59709ea03ee8535240205566d3e844bd2b66">

{\displaystyle E[\mathbf {X} ]=\mathbf {M} <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>E</mi> <mo>[</mo> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mo>]</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle E[\mathbf {X} ]=\mathbf {M} }</annotation> </semantics> </math></span><img src=

et nous avons les espérances du second ordre suivantes, si : $2 ν > 2$ 2}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/691ac5ce500a415f98d5eed0317f11e2a3b5f713">

{\displaystyle E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}]={\frac {\mathbf {\Sigma } \operatorname {tr} (\mathbf {\Omega } )}{ u -2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>E</mi> <mo>[</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo>]</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mi>tr</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mi>Ω</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>ν</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}]={\frac {\mathbf {\Sigma } \operatorname {tr} (\mathbf {\Omega } )}{ u -2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )]={\frac {\mathbf {\Omega } \operatorname {tr} (\mathbf {\Sigma } )}{ u -2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>E</mi> <mo>[</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>]</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>Ω</mi> </mrow> <mi>tr</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>ν</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )]={\frac {\mathbf {\Omega } \operatorname {tr} (\mathbf {\Sigma } )}{ u -2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où désigne la trace . ${\displaystyle \operatorname {tr} <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>tr</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {tr} }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Plus généralement, pour des matrices A , B , C convenablement dimensionnées :

{\displaystyle {\begin{aligned}E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )\mathbf {A} (\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}]&={\frac {\mathbf {\Sigma } \operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {\Omega } )}{ u -2}}\\E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}\mathbf {B} (\mathbf {X} -\mathbf {M} )]&={\frac {\mathbf {\Omega } \operatorname {tr} (\mathbf {B} ^{T}\mathbf {\Sigma } )}{ u -2}}\\E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )\mathbf {C} (\mathbf {X} -\mathbf {M} )]&={\frac {\mathbf {\Sigma } \mathbf {C} ^{T}\mathbf {\Omega } }{ u -2}}\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>E</mi> <mo>[</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo>]</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mi>tr</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>Ω</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>ν</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>E</mi> <mo>[</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>]</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>Ω</mi> </mrow> <mi>tr</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>ν</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>E</mi> <mo>[</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>]</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <msup> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>Ω</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>ν</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )\mathbf {A} (\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}]&={\frac {\mathbf {\Sigma } \operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {\Omega } )}{ u -2}}\\E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}\mathbf {B} (\mathbf {X} -\mathbf {M} )]&={\frac {\mathbf {\Omega } \operatorname {tr} (\mathbf {B} ^{T}\mathbf {\Sigma } )}{ u -2}}\\E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )\mathbf {C} (\mathbf {X} -\mathbf {M} )]&={\frac {\mathbf {\Sigma } \mathbf {C} ^{T}\mathbf {\Omega } }{ u -2}}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Transformation

Transformation de transposition :

{\displaystyle \mathbf {X} ^{T}\sim {\mathcal {T}}_{p imes n}( u ,\mathbf {M} ^{T},\mathbf {\Omega } ,\mathbf {\Sigma } ) <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo>∼</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>p</mi> <mo>×</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>ν</mi> <mo>,</mo> <msup> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mrow> <mi>Ω</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {X} ^{T}\sim {\mathcal {T}}_{p imes n}( u ,\mathbf {M} ^{T},\mathbf {\Omega } ,\mathbf {\Sigma } )}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Transformée linéaire : soit A ( r -par- n ), de rang complet r ≤ n et B ( p -par- s ), de rang complet s ≤ p , alors :

{\displaystyle \mathbf {AXB} \sim {\mathcal {T}}_{r imes s}( u ,\mathbf {AMB} ,\mathbf {A\Sigma A} ^{T},\mathbf {B} ^{T}\mathbf {\Omega B} ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>A</mi> <mi>X</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo>∼</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> <mo>×</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>ν</mi> <mo>,</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mi>M</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo>,</mo> <msup> <mrow> <mi>A</mi> <mi>Σ</mi> <mi>A</mi> </mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>Ω</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {AXB} \sim {\mathcal {T}}_{r imes s}( u ,\mathbf {AMB} ,\mathbf {A\Sigma A} ^{T},\mathbf {B} ^{T}\mathbf {\Omega B} )}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

La fonction caractéristique et diverses autres propriétés peuvent être dérivées de la formulation reparamétrée (voir ci-dessous).

Matrice reparamétréet-distribution

Une paramétrisation alternative de la distribution matricielle t utilise deux paramètres et à la place de . ${\displaystyle \alpha <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \beta <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \beta }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle u <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ν</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle u }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Cette formulation se réduit à la distribution t matricielle standard avec ${\displaystyle \beta =2,\alpha ={\frac { u +p-1}{2}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>β</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>ν</mi> <mo>+</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \beta =2,\alpha ={\frac { u +p-1}{2}}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Cette formulation de la distribution matricielle t peut être dérivée comme la distribution composée qui résulte d'un mélange infini d'une distribution matricielle normale avec une distribution gamma multivariée inverse placée sur l'une ou l'autre de ses matrices de covariance.

Propriétés

Si alors ${\displaystyle \mathbf {X} \sim { m {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mo>∼</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>,</mo> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mi>Ω</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {X} \sim { m {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \mathbf {X} ^{ m {T}}\sim { m {T}}_{p,n}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ^{ m {T}},{\boldsymbol {\Omega }},{\boldsymbol {\Sigma }}). <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo>∼</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>p</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>,</mo> <msup> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mrow> <mi>Ω</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {X} ^{ m {T}}\sim { m {T}}_{p,n}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ^{ m {T}},{\boldsymbol {\Omega }},{\boldsymbol {\Sigma }}).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

La propriété ci-dessus provient du théorème déterminant de Sylvester :

{\displaystyle \det \left(\mathbf {I} _{n}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{ m {T}} ight)= <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>det</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mi>β</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <mo>)</mo> <msup> <mrow> <mi>Ω</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \det \left(\mathbf {I} _{n}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{ m {T}} ight)=}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle \det \left(\mathbf {I} _{p}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} ^{ m {T}}-\mathbf {M} ^{ m {T}}){\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} ^{ m {T}}-\mathbf {M} ^{ m {T}})^{ m {T}} ight). <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>det</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mi>β</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mi>Ω</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <msup> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \det \left(\mathbf {I} _{p}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} ^{ m {T}}-\mathbf {M} ^{ m {T}}){\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} ^{ m {T}}-\mathbf {M} ^{ m {T}})^{ m {T}} ight).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Si et et sont des matrices non singulières alors ${\displaystyle \mathbf {X} \sim { m {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> <mo>∼</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>,</mo> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mi>Ω</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {X} \sim { m {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {A} (n imes n) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>×</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {A} (n imes n)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {B} (p imes p) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>×</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {B} (p imes p)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \mathbf {AXB} \sim { m {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {AMB} ,\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {A} ^{ m {T}},\mathbf {B} ^{ m {T}}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {B} ). <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>A</mi> <mi>X</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo>∼</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>,</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mi>M</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <msup> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mrow> <mi>Ω</mi> </mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {AXB} \sim { m {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {AMB} ,\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {A} ^{ m {T}},\mathbf {B} ^{ m {T}}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {B} ).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

La fonction caractéristique est

{\displaystyle \phi _{T}(\mathbf {Z} )={\frac {\exp({ m {tr}}(i\mathbf {Z} '\mathbf {M} ))|{\boldsymbol {\Omega }}|^{\alpha }}{\Gamma _{p}(\alpha )(2\beta )^{\alpha p}}}|\mathbf {Z} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {Z} |^{\alpha }B_{\alpha }\left({\frac {1}{2\beta }}\mathbf {Z} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {Z} {\boldsymbol {\Omega }} ight), <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mi>r</mi> </mrow> </mrow> <mo>(</mo> <mi>i</mi> <msup> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>Ω</mi> </mrow> <msup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msub> <mi>Γ</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>β</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>α</mi> <mi>p</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> <msup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>β</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mrow> <mi>Σ</mi> </mrow> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> <mrow> <mi>Ω</mi> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \phi _{T}(\mathbf {Z} )={\frac {\exp({ m {tr}}(i\mathbf {Z} '\mathbf {M} ))|{\boldsymbol {\Omega }}|^{\alpha }}{\Gamma _{p}(\alpha )(2\beta )^{\alpha p}}}|\mathbf {Z} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {Z} |^{\alpha }B_{\alpha }\left({\frac {1}{2\beta }}\mathbf {Z} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {Z} {\boldsymbol {\Omega }} ight),}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où

0}\exp \left({ m {tr}}(-\mathbf {SW} -\mathbf {S^{-1}Z} ) ight)|\mathbf {S} |^{-\delta -{\frac {1}{2}}(p+1)}d\mathbf {S} , B_{δ} (W Z) = | W |^{- δ} \int_{S > 0} \exp (t r (- S W - S^{- 1} Z)) | S |^{- δ - \frac{1}{2} (p + 1)} d S,

0}\exp \left({ m { tr}}(-\mathbf {SW} -\mathbf {S^{-1}Z} ) ight)|\mathbf {S} |^{-\delta -{\frac {1}{2}}(p+1)}d\mathbf {S} ,}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad2fceffdf1dee1a09c574d3dafaf31cb9802c14">

et où est la fonction de Bessel de type deux de Herz d'un argument matriciel. ${\displaystyle B_{\delta <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>δ</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B_{\delta }}</annotation> </semantics> </math><img src=$