Problème de valeur moyenne

Le problème de la valeur moyenne est un problème ouvert dans le domaine mathématique de l'analyse complexe, posé pour la première fois par Stephen Smale en 1981. Le problème demande :

Pour un polynôme complexe donné

{\displaystyle P <semantics><mrow><mstyle><mi>P</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle P}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle d\geq 2 <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi><mo>≥</mo><mn>2</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d\geq 2}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle z <semantics><mrow><mstyle><mi>z</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle z}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle c <semantics><mrow><mstyle><mi>c</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle c}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle P <semantics><mrow><mstyle><mi>P</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle P}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle P'(c)=0 </span referrerpolicy=

) tel que

{\displaystyle \left|{\frac {P(z)-P(c)}{z-c}} ight|\leq K|P'(z)|{ ext{ for }}K=1{ ext{? <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>|</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>z</mi><mo>−</mo><mi>c</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>|</mo></mrow><mo>≤</mo><mi>K</mi><mrow><mo>|</mo></mrow><msup><mi>P</mi><mo>′</mo></msup><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mtext> pour </mtext></mrow><mi>K</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mrow><mtext>?</mtext></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \left|{\frac {P(z)-P(c)}{zc}} ight|\leq K|P'(z)|{ ext{ pour }}K=1{ ext{?}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

La question a été résolue pour ${\displaystyle K=4 <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi><mo>=</mo><mn>4</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K=4}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle K <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {d-1}{d <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mi>d</mi></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\frac {d-1}{d}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle P(z)=z^{d}-dz <semantics><mrow><mstyle><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mi>z</mi><mrow><mi>d</mi></mrow></msup><mo>−</mo><mi>d</mi><mi>z</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle P(z)=z^{d}-dz}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle K=1 <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K=1}</annotation></semantics></math><img src=$

Résultats partiels

On sait que la conjecture est vraie dans certains cas particuliers ; dans d'autres cas, la borne sur ${\displaystyle K <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle K<4 <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi><mo><</mo><mn>4</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K<4}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d}</annotation></semantics></math><img src=$

En 1989, David Tischler a démontré que la conjecture est vraie pour la borne optimale ${\displaystyle K={\frac {d-1}{d <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mi>d</mi></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K={\frac {d-1}{d}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle P <semantics><mrow><mstyle><mi>P</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle P}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f}</annotation></semantics></math><img src=$

En 2007, Anthony Conte et al. ont prouvé que ${\displaystyle K\leq 4{\frac {d-1}{d+1 <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi><mo>≤</mo><mn>4</mn><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>d</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K\leq 4{\frac {d-1}{d+1}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle K\leq 4 <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi><mo>≤</mo><mn>4</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K\leq 4}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle K<4-{\frac {2.263}{\sqrt {d <semantics><mrow><mstyle><mi>K</mi><mo><</mo><mn>4</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mn>2,263</mn><msqrt><mi>d</mi></msqrt></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle K<4-{\frac {2,263}{\sqrt {d}}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d\geq 8 <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi><mo>≥</mo><mn>8</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d\geq 8}</annotation></semantics></math><img src=$

En considérant l' inégalité inverse , Vladimir Dubinin et Toshiyuki Sugawa ont démontré que (sous les mêmes conditions que ci-dessus) il existe un point critique ${\displaystyle c <semantics><mrow><mstyle><mi>c</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle c}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \left|{\frac {P(z)-P(c)}{z-c}} ight|\geq {\frac {|P'(z)|}{n4^{n <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>|</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>z</mi><mo>−</mo><mi>c</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>|</mo></mrow><mo>≥</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mo>|</mo></mrow><msup><mi>P</mi><mo>′</mo></msup><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mrow><mo>|</mo></mrow></mrow><mrow><mi>n</mi><msup><mn>4</mn><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \left|{\frac {P(z)-P(c)}{zc}} ight|\geq {\frac {|P'(z)|}{n4^{n}}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Plus d articles de Worldlex Wiki

Revenez a l index pour explorer davantage de pages sur l histoire, la science, la culture, la geographie et la societe en francais.

Explorer l index