Le plus souvent, on ajuste une fonction de la forme . Ajustement de droites et de fonctions polynomiales aux points de données , la ligne verte un polynôme du deuxième degré , l...
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Le plus souvent, on ajuste une fonction de la forme .
Ajustement de droites et de fonctions polynomiales aux points de données , la ligne verte un polynôme du deuxième degré , la ligne orange un polynôme du troisième degré et la ligne bleue un polynôme du quatrième degré .
est une droite de pente a . Une droite relie deux points quelconques, donc une équation polynomiale du premier degré est un ajustement exact passant par deux points quelconques ayant des coordonnées x distinctes.
Si l'on élève le degré de l'équation à un polynôme du second degré, on obtient les résultats suivants :
Cela correspondra exactement à une courbe simple passant par trois points.
Si l'on élève le degré de l'équation à un polynôme du troisième degré, on obtient le résultat suivant :
Cela correspondra exactement à quatre points.
Plus généralement, on pourrait dire que la courbe respectera exactement quatre contraintes . Chaque contrainte peut être un point, un angle ou une courbure (l'inverse du rayon d'un cercle osculateur ). Les contraintes d'angle et de courbure sont le plus souvent ajoutées aux extrémités d'une courbe et sont alors appelées conditions aux limites . Des conditions aux limites identiques sont fréquemment utilisées pour assurer une transition progressive entre les courbes polynomiales contenues dans une même spline . Des contraintes d'ordre supérieur, telles que la variation du taux de courbure, pourraient également être ajoutées. Ceci serait utile, par exemple, pour la conception d'échangeurs autoroutiers en trèfle afin de comprendre le taux de variation des forces appliquées à une voiture (voir l' à-coup ) lorsqu'elle emprunte l'échangeur, et de fixer des limitations de vitesse appropriées.
Une équation polynomiale du premier degré peut également convenir exactement à un point et un angle, tandis qu'une équation polynomiale du troisième degré peut convenir exactement à deux points, une contrainte angulaire et une contrainte de courbure. De nombreuses autres combinaisons de contraintes sont possibles pour ces équations et pour les équations polynomiales de degré supérieur.
S'il y a plus de n + 1 contraintes ( n étant le degré du polynôme), la courbe polynomiale peut être ajustée à travers ces contraintes. Un ajustement parfait à toutes les contraintes n'est pas garanti (mais peut se produire, par exemple, dans le cas d'un polynôme du premier degré s'ajustant exactement à trois points colinéaires ). En général, il est alors nécessaire d'évaluer chaque approximation. La méthode des moindres carrés est une méthode permettant de comparer les écarts.
Plusieurs raisons sont invoquées pour justifier l'obtention d'un ajustement approximatif alors qu'il est possible d'augmenter simplement le degré de l'équation polynomiale et d'obtenir une correspondance exacte :
Même si une correspondance exacte existe, il n'est pas forcément possible de la trouver facilement. Selon l'algorithme utilisé, il peut arriver que la correspondance exacte soit impossible à calculer, ou que le temps de calcul soit trop important. Dans ce cas, une solution approchée peut s'avérer nécessaire.
Il peut être souhaitable de faire la moyenne des points de données douteux dans un échantillon, plutôt que de déformer la courbe pour qu'elle corresponde exactement à ces points.
Phénomène de Runge : les polynômes de degré élevé peuvent présenter une forte oscillation. Si une courbe passe par deux points A et B , on s'attendrait à ce qu'elle passe également à proximité du milieu de ce segment . Or , ce n'est pas toujours le cas pour les courbes polynomiales de degré élevé ; elles peuvent même présenter des valeurs très importantes, positives ou négatives . Avec les polynômes de degré faible, la courbe a plus de chances de passer par le milieu (elle y passe même exactement pour un polynôme de degré 1).
Les polynômes de faible degré tendent à être lisses, tandis que les courbes polynomiales de degré élevé ont tendance à être irrégulières. Plus précisément, le nombre maximal de points d'inflexion possibles dans une courbe polynomiale est n-2 , où n est le degré de l'équation polynomiale. Un point d'inflexion est un endroit sur la courbe où son rayon passe de positif à négatif. On peut aussi dire que c'est le point de transition entre une courbe qui « retient l'eau » et une courbe qui « s'écoule ». Il est important de noter que les polynômes de degré élevé peuvent seulement être irréguliers ; ils peuvent aussi être lisses, mais cela n'est pas garanti, contrairement aux courbes polynomiales de faible degré. Un polynôme de degré 15 peut avoir, au maximum, treize points d'inflexion, mais peut aussi en avoir onze, neuf, ou n'importe quel nombre impair jusqu'à un. (Les polynômes de degré pair peuvent avoir n'importe quel nombre pair de points d'inflexion, de n - 2 à zéro.)
Un degré de polynôme supérieur à celui nécessaire pour un ajustement parfait est indésirable pour toutes les raisons évoquées précédemment concernant les polynômes de degré élevé, et conduit également à une infinité de solutions. Par exemple, un polynôme de degré 1 (une droite) contraint par un seul point, au lieu des deux habituels, donnerait une infinité de solutions. Se pose alors le problème de la comparaison et du choix d'une seule solution, une difficulté qui peut s'avérer complexe aussi bien pour les logiciels que pour les humains. C'est pourquoi il est généralement préférable de choisir un degré aussi faible que possible pour un ajustement parfait à toutes les contraintes, et éventuellement un degré encore plus faible si une approximation est acceptable.
Relation entre le rendement du blé et la salinité du sol
Ajustement d'autres fonctions aux points de données
D'autres types de courbes, telles que les fonctions trigonométriques (comme le sinus et le cosinus), peuvent également être utilisées, dans certains cas.
En spectroscopie, les données peuvent être ajustées à l'aide de fonctions gaussiennes , lorentziennes , de Voigt et de fonctions apparentées.
En biologie, en écologie, en démographie, en épidémiologie et dans de nombreuses autres disciplines, la croissance d'une population , la propagation des maladies infectieuses, etc. peuvent être modélisées à l'aide de la fonction logistique .
En agriculture, la fonction sigmoïde logistique inversée (courbe en S) est utilisée pour décrire la relation entre le rendement des cultures et les facteurs de croissance. La figure bleue a été obtenue par une régression sigmoïde de données mesurées en exploitation agricole. On observe qu'initialement, c'est-à-dire à faible salinité du sol, le rendement des cultures diminue lentement avec l'augmentation de la salinité, puis que cette diminution s'accélère.
Ajustement géométrique de courbes planes à des points de données
Si une fonction de la forme
D'autres types de courbes, comme les coniques (arcs de cercle, elliptiques, paraboliques et hyperboliques) ou les fonctions trigonométriques (sinus et cosinus), peuvent également être utilisés dans certains cas. Par exemple, la trajectoire d'un objet soumis à la gravité suit une parabole lorsqu'on néglige la résistance de l'air. Il est donc logique de modéliser sa trajectoire par une courbe parabolique. Les marées suivent des variations sinusoïdales ; par conséquent, les données de marée doivent être modélisées par une sinusoïde, ou par la somme de deux sinusoïdes de périodes différentes si l'on tient compte des influences de la Lune et du Soleil.
Pour une courbe paramétrique , il est efficace d'ajuster chacune de ses coordonnées comme une fonction distincte de la longueur d'arc ; en supposant que les points de données peuvent être ordonnés, la distance de corde peut être utilisée.
Ajustement d'un cercle par ajustement géométrique; 1), rayon 4différents modèles d'ajustement d'ellipseAjustement d'ellipse minimisant la distance algébrique (méthode de Fitzgibbon)
Coope aborde le problème de la recherche de l'ajustement visuel optimal d'un cercle à un ensemble de points de données 2D. Sa méthode transforme élégamment le problème non linéaire classique en un problème linéaire résoluble sans recourir à des méthodes numériques itératives, et se révèle ainsi beaucoup plus rapide que les techniques précédentes.
Ajustement d'une ellipse par ajustement arithmétique
Pour des points de coordonnées cartésiennes et une ellipse fixe, les membres de droite de cette équation ne sont plus nuls. Une méthode d'ajustement des points à une ellipse consiste à déterminer les six paramètres de manière à minimiser la somme des carrés des résidus des membres de droite. Ceci conduit à un problème d'ajustement linéaire par moindres carrés, résolu essentiellement par la recherche des vecteurs propres d'une matrice .
Ajustement d'une ellipse par ajustement géométrique
La technique décrite ci-dessus est étendue aux ellipses générales par l'ajout d'une étape non linéaire, ce qui permet d'obtenir une méthode rapide et capable de trouver des ellipses esthétiquement plaisantes, quelle que soit leur orientation ou leur position. L'ajustement géométrique minimise la somme des carrés des distances orthogonales entre les points de données et le bord de l'ellipse. Une méthode similaire, qui approxime ces distances orthogonales, est basée sur la métrique de Sampson.
surfaces d'ajustement
Il convient de noter que, bien que cette discussion porte sur des courbes 2D, une grande partie de cette logique s'étend également aux surfaces 3D, dont chaque portion est définie par un réseau de courbes dans deux directions paramétriques, généralement appelées u et v . Une surface peut être composée d'une ou plusieurs portions de surface dans chaque direction.
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