Homomorphisme de module

En algèbre , un homomorphisme de module est une fonction entre modules qui préserve les structures de module. Explicitement, si M et N sont des modules gauches sur un anneau R , alors une fonction est appelée un homomorphisme de module R ou une application linéaire R si pour tout x , y dans M et r dans R , ${\displaystyle f:M o N <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>M</mi> <mo>→</mo> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f:M\à N}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y), <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>et</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>et</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle f(rx)=rf(x). <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>l</mi> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(rx)=rf(x).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

En d'autres termes, f est un homomorphisme de groupe (pour les groupes additifs sous-jacents) qui commute avec la multiplication scalaire. Si M , N sont des R -modules à droite, alors la deuxième condition est remplacée par

{\displaystyle f(xr)=f(x)r. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mi>l</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mi>l</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(xr)=f(x)r.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

L' image préalable de l'élément nul sous f est appelée noyau de f . L' ensemble de tous les homomorphismes de module de M à N est noté . C'est un groupe abélien (sous addition ponctuelle) mais n'est pas nécessairement un module à moins que R ne soit commutatif . ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Hom</mi> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>M</mi> <mo>,</mo> <mi>N</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La composition des homomorphismes de modules est à nouveau un homomorphisme de modules, et l'application identité sur un module est un homomorphisme de modules. Ainsi, tous les modules (disons de gauche) ainsi que tous les homomorphismes de modules entre eux forment la catégorie des modules .

Terminologie

Un homomorphisme de module est appelé isomorphisme de module s'il admet un homomorphisme inverse ; en particulier, il s'agit d'une bijection . Inversement, on peut montrer qu'un homomorphisme de module bijectif est un isomorphisme ; c'est-à-dire que l'inverse est un homomorphisme de module. En particulier, un homomorphisme de module est un isomorphisme si et seulement s'il s'agit d'un isomorphisme entre les groupes abéliens sous-jacents.

Les théorèmes d'isomorphisme sont valables pour les homomorphismes de modules.

Un homomorphisme de module d'un module M vers lui-même est appelé un endomorphisme et un isomorphisme de M vers lui-même un automorphisme . On écrit pour l'ensemble de tous les endomorphismes d'un module M . Ce n'est pas seulement un groupe abélien mais c'est aussi un anneau à multiplication donnée par composition de fonctions, appelé anneau d'endomorphismes de M . Le groupe des unités de cet anneau est le groupe d'automorphismes de M . ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Fin</mi> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>Hom</mi> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>M</mi> <mo>,</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le lemme de Schur stipule qu'un homomorphisme entre modules simples (modules sans sous -modules non triviaux ) doit être soit nul, soit un isomorphisme. En particulier, l'anneau d'endomorphismes d'un module simple est un anneau de division .

Dans le langage de la théorie des catégories , un homomorphisme injectif est également appelé monomorphisme et un homomorphisme surjectif épimorphisme .

Exemples

La carte zéro M → N qui associe chaque élément à zéro.
Une transformation linéaire entre espaces vectoriels .
${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Hom</mi> <mrow> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>m</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mi>Z</mi> </mrow> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>gcd</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Pour un anneau commutatif R et des idéaux I , J , il existe l'identification canonique
${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R/J)=\{r\in R|rI\subset J\}/J <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Hom</mi> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>I</mi> <mo>,</mo> <mi>R</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>J</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mi>r</mi> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>r</mi> <mi>I</mi> <mo>⊂</mo> <mi>J</mi> <mo>}</mo> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>J</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R/J)=\{r\in R|rI\subset J\}/J}</annotation> </semantics> </math><img src=$

donné par . En particulier, est l' annihilateur de I .

{\displaystyle f\mapsto f(1) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>↦</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f\mapsto f(1)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Hom</mi> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>I</mi> <mo>,</mo> <mi>R</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Étant donné un anneau R et un élément r , notons la multiplication à gauche par r . Alors pour tout s , t dans R , ${\displaystyle l_{r}:R o R <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>R</mi> <mo>→</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle l_{r}:R o R}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mi>s</mi> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t}</annotation> </semantics> </math><img src=$

C'est- à-dire qu'il est R -linéaire.

{\displaystyle l_{r <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle l_{r}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Pour tout anneau R ,
- ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>End</mi> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R}</annotation> </semantics> </math><img src=$ R est considéré comme un module droit sur lui-même. Explicitement, cet isomorphisme est donné par la représentation régulière gauche . ${\displaystyle R{\overset {\sim }{ o }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mrow> <mover> <mo>→</mo> <mo>∼</mo> </mover> </mrow> <msub> <mi>End</mi> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>r</mi> <mo>↦</mo> <msub> <mi>l</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R{\overset {\sim }{ o }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
- De même, comme les anneaux lorsque R est considéré comme un module gauche sur lui-même. Les manuels ou autres références précisent généralement quelle convention est utilisée. ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R^{op <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>End</mi> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <mi>o</mi> <mi>p</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R^{op}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
- ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R,M)=M <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Hom</mi> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>,</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R,M)=M}</annotation> </semantics> </math><img src=$ M . (La structure du module sur Hom provient ici de l' action R droite sur R ; voir #Structures de module sur Hom ci-dessous.) ${\displaystyle f\mapsto f(1) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>↦</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f\mapsto f(1)}</annotation> </semantics> </math><img src=$
- ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,R) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Hom</mi> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>M</mi> <mo>,</mo> <mi>R</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,R)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ M ; c'est un module gauche (resp. droit) si M est un module droit (resp. gauche) sur R avec la structure du module provenant de la R -action sur R . On le note . ${\displaystyle M^{* <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>M</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M^{*}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Étant donné un homomorphisme d'anneaux R → S d'anneaux commutatifs et un S -module M , une application R -linéaire θ: S → M est appelée une dérivation si pour tout f , g dans S , θ( fg ) = f θ( g ) + θ( f ) g .
Si S , T sont des algèbres associatives unitaires sur un anneau R , alors un homomorphisme d'algèbre de S vers T est un homomorphisme d'anneau qui est aussi un homomorphisme de R -module.

Structures de modules sur Hom

En bref, Hom hérite d'une action d'anneau qui n'a pas été utilisée pour former Hom. Plus précisément, soit M , N des R -modules à gauche . Supposons que M ait une action à droite d'un anneau S qui commute avec l' action R ; c'est-à-dire que M est un ( R , S )-module. Alors

{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Hom</mi> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>M</mi> <mo>,</mo> <mi>N</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

a la structure d'un S -module gauche défini par : pour s dans S et x dans M ,

{\displaystyle (s\cdot f)(x)=f(xs). <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (s\cdot f)(x)=f(xs).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Il est bien défini (c'est-à-dire qu'il est R -linéaire) puisque ${\displaystyle s\cdot f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>s</mi> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s\cdot f}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle (s\cdot f)(rx)=f(rxs)=rf(xs)=r(s\cdot f)(x), <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>r</mi> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>r</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (s\cdot f)(rx)=f(rxs)=rf(xs)=r(s\cdot f)(x),}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

et est une action annulaire puisque ${\displaystyle s\cdot f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>s</mi> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s\cdot f}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle (st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mi>t</mi> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mi>s</mi> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>s</mi> <mo>⋅</mo> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>⋅</mo> <mi>f</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Remarque : la vérification ci-dessus « échouerait » si l'on utilisait l' action R gauche à la place de l' action S droite . Dans ce sens, on dit souvent que Hom « utilise » l' action R.

De même, si M est un R -module gauche et N est un ( R , S )-module, alors est un S -module droit par . ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Hom</mi> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>M</mi> <mo>,</mo> <mi>N</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (f\cdot s)(x)=f(x)s <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>⋅</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mi>s</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (f\cdot s)(x)=f(x)s}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Une représentation matricielle

La relation entre matrices et transformations linéaires en algèbre linéaire se généralise de façon naturelle aux homomorphismes de modules entre modules libres. Précisément, étant donné un R -module droit U , il existe l' isomorphisme canonique des groupes abéliens

{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(U^{\oplus n},U^{\oplus m}){\overset {f\mapsto [f_{ij}]}{\underset {\sim }{ o }}}M_{m,n}(\operatorname {End} _{R}(U)) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Hom</mi> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msup> <mi>U</mi> <mrow> <mo>⊕</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>U</mi> <mrow> <mo>⊕</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mrow> <mover> <munder> <mo>→</mo> <mo>∼</mo> </munder> <mrow> <mi>f</mi> <mo>↦</mo> <mo>[</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>]</mo> </mrow> </mover> </mrow> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>End</mi> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>U</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(U^{\oplus n},U^{\oplus m}){\overset {f\mapsto [f_{ij}]}{\underset {\sim }{ o }}}M_{m,n}(\operatorname {End} _{R}(U))}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

obtenu en visualisant constitué de vecteurs colonnes puis en écrivant f comme une matrice m × n . En particulier, en considérant R comme un R -module à droite et en utilisant , on a ${\displaystyle U^{\oplus n <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>U</mi> <mrow> <mo>⊕</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle U^{\oplus n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)\simeq R <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>End</mi> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>)</mo> <mo>≃</mo> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)\simeq R}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq M_{n}(R) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>End</mi> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mo>≃</mo> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq M_{n}(R)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

qui s'avère être un isomorphisme d'anneau (car une composition correspond à une multiplication matricielle ).

Notons que l'isomorphisme ci-dessus est canonique ; aucun choix n'est impliqué. D'un autre côté, si l'on dispose d'un homomorphisme de module entre modules libres de rang fini , alors un choix d'une base ordonnée correspond à un choix d'un isomorphisme . La procédure ci-dessus donne alors la représentation matricielle par rapport à de tels choix de bases. Pour des modules plus généraux, les représentations matricielles peuvent soit manquer d'unicité, soit ne pas exister. ${\displaystyle F\simeq R^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>F</mi> <mo>≃</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle F\simeq R^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Définition

En pratique, on définit souvent un homomorphisme de module en spécifiant ses valeurs sur un ensemble générateur . Plus précisément, soit M et N des R -modules gauches . Supposons qu'un sous-ensemble S engendre M ; c'est-à-dire qu'il existe une surjection à module libre F de base indexée par S et de noyau K (c'est-à-dire qu'on a une présentation libre ). Alors donner un homomorphisme de module revient à donner un homomorphisme de module qui tue K (c'est-à-dire qui fait passer K à zéro). ${\displaystyle F o M <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>F</mi> <mo>→</mo> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle F o M}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle M o N <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> <mo>→</mo> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M o N}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle F o N <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>F</mi> <mo>→</mo> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle F o N}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Opérations

Si et sont des homomorphismes de modules, alors leur somme directe est ${\displaystyle f:M o N <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>M</mi> <mo>→</mo> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f:M o N}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle g:M' o N' <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <msup> <mi>M</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>→</mo> <msup> <mi>N</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g:M' o N'}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle f\oplus g:M\oplus M' o N\oplus N',\,(x,y)\mapsto (f(x),g(y)) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>⊕</mo> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mi>M</mi> <mo>⊕</mo> <msup> <mi>M</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>→</mo> <mi>N</mi> <mo>⊕</mo> <msup> <mi>N</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mo>↦</mo> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f\oplus g:M\oplus M' o N\oplus N',\,(x,y)\mapsto (f(x),g(y))}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

et leur produit tensoriel est

{\displaystyle f\otimes g:M\otimes M' o N\otimes N',\,x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y). <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>⊗</mo> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mi>M</mi> <mo>⊗</mo> <msup> <mi>M</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>→</mo> <mi>N</mi> <mo>⊗</mo> <msup> <mi>N</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>x</mi> <mo>⊗</mo> <mi>y</mi> <mo>↦</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>⊗</mo> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f\otimes g:M\otimes M' o N\otimes N',\,x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Soit un homomorphisme de module entre modules de gauche. Le graphe Γ _f de f est le sous-module de M ⊕ N donné par ${\displaystyle f:M o N <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>M</mi> <mo>→</mo> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f:M o N}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\ <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>Γ</mi> <mrow> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>M</mi> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

qui est l'image de l'homomorphisme de module M → M ⊕ N , x → ( x , f ( x )), appelé morphisme de graphe .

La transposée de f est

{\displaystyle f^{*}:N^{*} o M^{*},\,f^{*}(\alpha )=\alpha \circ f. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>f</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>:</mo> <msup> <mi>N</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>→</mo> <msup> <mi>M</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <msup> <mi>f</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f^{*}:N^{*} o M^{*},\,f^{*}(\alpha )=\alpha \circ f.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Si f est un isomorphisme, alors la transposée de l'inverse de f est appelée le contragrédien de f .

Séquences exactes

Considérons une séquence d'homomorphismes de modules

{\displaystyle \cdots {\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}M_{2}{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}M_{1}{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}M_{0}{\overset {f_{0}}{\longrightarrow }}M_{-1}{\overset {f_{-1}}{\longrightarrow }}\cdots . <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⋯</mo> <mrow> <mover> <mo>⟶</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mover> </mrow> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mover> <mo>⟶</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mover> </mrow> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mover> <mo>⟶</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mover> </mrow> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mover> <mo>⟶</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mover> </mrow> <msub> <mi>M</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mover> <mo>⟶</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mover> </mrow> <mo>⋯</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \cdots {\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}M_{2}{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}M_{1}{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}M_{0}{\overset {f_{0}}{\longrightarrow }}M_{-1}{\overset {f_{-1}}{\longrightarrow }}\cdots .}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Une telle séquence est appelée complexe en chaîne (ou souvent simplement complexe) si chaque composition est nulle ; c'est-à-dire, ou de manière équivalente, l'image de est contenue dans le noyau de . (Si les nombres augmentent au lieu de diminuer, alors on parle de complexe en cochaîne ; par exemple, complexe de de Rham .) Un complexe en chaîne est appelé séquence exacte si . Un cas particulier de séquence exacte est une séquence exacte courte : ${\displaystyle f_{i}\circ f_{i+1}=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>∘</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f_{i}\circ f_{i+1}=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f_{i+1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f_{i+1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>im</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>ker</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i})}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle 0 o A{\overset {f}{ o }}B{\overset {g}{ o }}C o 0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> <mo>→</mo> <mi>A</mi> <mrow> <mover> <mo>→</mo> <mi>f</mi> </mover> </mrow> <mi>B</mi> <mrow> <mover> <mo>→</mo> <mi>g</mi> </mover> </mrow> <mi>C</mi> <mo>→</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 0 o A{\overset {f}{ o }}B{\overset {g}{ o }}C o 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où est injectif, le noyau de est l'image de et est surjectif. ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Tout homomorphisme de module définit une suite exacte ${\displaystyle f:M o N <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>M</mi> <mo>→</mo> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f:M o N}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle 0 o K o M{\overset {f}{ o }}N o C o 0, <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> <mo>→</mo> <mi>K</mi> <mo>→</mo> <mi>M</mi> <mrow> <mover> <mo>→</mo> <mi>f</mi> </mover> </mrow> <mi>N</mi> <mo>→</mo> <mi>C</mi> <mo>→</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 0 o K o M{\overset {f}{ o }}N o C o 0,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où est le noyau de , et est le conoyau, c'est-à-dire le quotient de par l'image de . ${\displaystyle K <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle C <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle N <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Dans le cas de modules sur un anneau commutatif , une suite est exacte si et seulement si elle est exacte à tous les idéaux maximaux ; c'est-à-dire à toutes les suites

{\displaystyle 0 o A_{\mathfrak {m}}{\overset {f}{ o }}B_{\mathfrak {m}}{\overset {g}{ o }}C_{\mathfrak {m}} o 0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> <mo>→</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mrow> <mover> <mo>→</mo> <mi>f</mi> </mover> </mrow> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mrow> <mover> <mo>→</mo> <mi>g</mi> </mover> </mrow> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>→</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 0 o A_{\mathfrak {m}}{\overset {f}{ o }}B_{\mathfrak {m}}{\overset {g}{ o }}C_{\mathfrak {m}} o 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

sont exactes, où l'indice signifie la localisation à un idéal maximal . ${\displaystyle {\mathfrak {m <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathfrak {m}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\mathfrak {m <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\mathfrak {m}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Si sont des homomorphismes de modules, alors on dit qu'ils forment un carré de fibres (ou carré de retrait ), noté M × _B N , s'il s'intègre dans ${\displaystyle f:M o B,g:N o B <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>M</mi> <mo>→</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mi>N</mi> <mo>→</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f:M o B,g:N o B}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle 0 o M imes _{B}N o M imes N{\overset {\phi }{ o }}B o 0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> <mo>→</mo> <mi>M</mi> <msub> <mo>×</mo> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mi>N</mi> <mo>→</mo> <mi>M</mi> <mo>×</mo> <mi>N</mi> <mrow> <mover> <mo>→</mo> <mi>ϕ</mi> </mover> </mrow> <mi>B</mi> <mo>→</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 0 o M imes _{B}N o M imes N{\overset {\phi }{ o }}B o 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où . ${\displaystyle \phi (x,y)=f(x)-g(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ϕ</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \phi (x,y)=f(x)-g(x)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Exemple : Soit des anneaux commutatifs, et soit I l' annihilateur du quotient B -module A / B (qui est un idéal de A ). Alors les applications canoniques forment un carré de fibres avec ${\displaystyle B\subset A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>B</mi> <mo>⊂</mo> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B\subset A}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A o A/I,B/I o A/I <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>A</mi> <mo>→</mo> <mi>A</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>I</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>I</mi> <mo>→</mo> <mi>A</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A o A/I,B/I o A/I}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle B=A imes _{A/I}B/I. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <msub> <mo>×</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>I</mi> </mrow> </msub> <mi>B</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>I</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B=A imes _{A/I}B/I.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Endomorphismes de modules finiment engendrés

Soit un endomorphisme entre R -modules de type fini pour un anneau commutatif R . Alors ${\displaystyle \phi :M o M <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ϕ</mi> <mo>:</mo> <mi>M</mi> <mo>→</mo> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \phi :M o M}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle \phi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ϕ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \phi }</annotation> </semantics> </math><img src=$ M ; voir lemme de Nakayama#Preuve .
Si est surjectif, alors il est injectif. ${\displaystyle \phi <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ϕ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \phi }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Voir aussi : quotient de Herbrand (qui peut être défini pour tout endomorphisme avec certaines conditions de finitude.)

Variante : relations additives

Une relation additive d'un module M vers un module N est un sous-module de En d'autres termes, c'est un homomorphisme « à valeurs multiples » défini sur un sous-module de M. L'inverse de f est le sous-module . Toute relation additive f détermine un homomorphisme d'un sous-module de M vers un quotient de N. ${\displaystyle M o N <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> <mo>→</mo> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M o N}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle M\oplus N. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> <mo>⊕</mo> <mi>N</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M\oplus N.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f^{-1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>f</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f^{-1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \{(y,x)|(x,y)\in f\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mo>∈</mo> <mi>f</mi> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{(y,x)|(x,y)\in f\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle D(f) o N/\{y|(0,y)\in f\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>D</mi> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>)</mo> <mo>→</mo> <mi>N</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mo>{</mo> <mi>y</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mo>∈</mo> <mi>f</mi> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle D(f) o N/\{y|(0,y)\in f\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où est constitué de tous les éléments x dans M tels que ( x , y ) appartient à f pour un y dans N . ${\displaystyle D(f) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>D</mi> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle D(f)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Une transgression qui découle d’une séquence spectrale est un exemple de relation additive.