Fonction négligeable

Le concept de négligeabilité trouve son origine dans des modèles analytiques rigoureux. Bien que les notions de « continuité » et d'« infinitésimal » aient acquis une importance considérable en mathématiques à l' époque de Newton et Leibniz (années 1680), elles ne furent précisément définies qu'à la fin des années 1810. La première définition relativement rigoureuse de la continuité en analyse mathématique est due à Bernard Bolzano , qui en formula la définition moderne en 1817. Plus tard, Cauchy , Weierstrass et Heine la définirent également comme suit (pour tous les nombres réels ) .

( Fonction continue ) Une fonctioncontinu à$0\epsilon >0$0 , il existe un nombre positif$0\delta >0$0 tel que

Cette définition classique de la continuité peut être transformée en définition de la négligeabilité en quelques étapes, en modifiant les paramètres utilisés. Premièrement, dans le casfonction infinitésimale » :

( Infinitésimal ) Une fonction continue infinitésimal (comme$0\epsilon >0$0 il existe$N\_\{\backslash varepsilonx>N_{\epsilon }$N_{\varepsilon

Ensuite, nous remplaçons$0\epsilon >0$0 par les fonctions$0c>0$0 ou par$0\epsilon >0$0 peut être exprimé comme

En cryptographie moderne basée sur la complexité , un schéma de sécurité est prouvé sûr si la probabilité d'une défaillance (par exemple, l'inversion d'une fonction à sens unique , la distinction entre des bits pseudo-aléatoires cryptographiquement robustes et des bits véritablement aléatoires) est négligeable par rapport à l'entrée.

Néanmoins, la notion générale de négligeabilité n'exige pas que le paramètre d'entrée

La formulation en fonction de l'inverse d'un polynôme est utilisée pour la même raison que la complexité algorithmique est définie comme un temps d'exécution polynomial : elle possède des propriétés de fermeture mathématique qui la rendent exploitable dans le cadre asymptotique (voir #Propriétés de fermeture ). Par exemple, si une attaque réussit à violer une condition de sécurité avec une probabilité négligeable, et que cette attaque est répétée un nombre polynomial de fois, la probabilité de succès de l'attaque globale reste négligeable.

En pratique, on pourrait vouloir avoir des fonctions plus concrètes limitant la probabilité de succès de l'adversaire et choisir le paramètre de sécurité suffisamment grand pour que cette probabilité soit inférieure à un certain seuil, disons 2 ^{− 128} .

L'une des raisons pour lesquelles les fonctions négligeables sont utilisées dans les fondements de la cryptographie basée sur la théorie de la complexité est qu'elles obéissent à des propriétés de fermeture. Plus précisément,

1. Si
2. Si

Inversement , si

• • Étape : Il s'agit d'une fonction de décroissance exponentielle où
• • Étape : Cette fonction présente une décroissance exponentielle de base 3, mais l'exposant croît plus lentement que
• • Étape : Dans ce cas,
• • Étape : Cette fonction décroît comme le logarithme de
• • Étape : Nous pouvons réécrire ceci comme

Supposer$0n>0$0 , nous prenons la limite comme

Négligeable:

• • Étape : Cette fonction décroît exponentiellement avec la base
• • Étape : Nous pouvons simplifier$1x>1$1 .
• • Étape : La dégradation est déterminée par la base
• • Étape : Ici,
• • Étape : Avec une base exponentielle et un exposant

Non négligeable :

• • Étape : Depuis