Logique modale normale

En logique , une logique modale normale est un ensemble L de formules modales telles que L contienne :

Toutes les tautologies propositionnelles ;
Toutes les instances du schéma Kripke : ${\displaystyle \Box (A o B) o (\Box A o \Box B) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>◻</mi> <mo>(</mo> <mi>UN</mi> <mo>→</mo> <mi>B</mi> <mo>)</mo> <mo>→</mo> <mo>(</mo> <mi>◻</mi> <mi>UN</mi> <mo>→</mo> <mi>◻</mi> <mi>B</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Box (A\à B)\à (\Box A\à \Box B)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

et il est fermé sous :

Règle de détachement ( modus ponens ) : implique ; ${\displaystyle A o B,A\in L <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>→</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <mi>UN</mi> <mo>∈</mo> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A\à B,A\dans L}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle B\in L <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>B</mi> <mo>∈</mo> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B\dans L}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Règle de nécessité : implique . ${\displaystyle A\in L <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>∈</mo> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A\dans L}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Box A\in L <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>◻</mi> <mi>UN</mi> <mo>∈</mo> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Boîte A\dans L}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La plus petite logique satisfaisant les conditions ci-dessus est appelée K. La plupart des logiques modales couramment utilisées de nos jours (en termes de motivations philosophiques), par exemple les logiques S4 et S5 de CI Lewis , sont normales (et sont donc des extensions de K ). Cependant, un certain nombre de logiques déontiques et épistémiques , par exemple, ne sont pas normales, souvent parce qu'elles abandonnent le schéma de Kripke.

Toute logique modale normale est régulière et donc classique .

Logiques modales normales courantes

Le tableau suivant répertorie plusieurs systèmes modaux normaux courants. La notation fait référence au tableau de Sémantique de Kripke § Schémas d'axiomes modaux courants . Les conditions de trame pour certains des systèmes ont été simplifiées : les logiques sont solides et complètes par rapport aux classes de trames données dans le tableau, mais elles peuvent correspondre à une classe de trames plus large.

Alexander Chagrov et Michael Zakharyaschev, Modal Logic , vol. 35 des Oxford Logic Guides, Oxford University Press, 1997.