Octaèdre

En géométrie , un octaèdre ( pl. : octaèdres ou octaèdres ) est un polyèdre à huit faces. Un cas particulier est l' octaèdre régulier , un solide platonicien composé de huit triangles équilatéraux , dont quatre se rencontrent à chaque sommet. Les octaèdres réguliers se présentent dans la nature sous forme de structures cristallines . Il existe également de nombreux types d'octaèdres irréguliers, y compris des formes convexes et non convexes.

Un octaèdre régulier est le cas tridimensionnel du concept plus général de polytope croisé .

Un octaèdre régulier est un octaèdre qui est un polyèdre régulier . Toutes les faces d'un octaèdre régulier sont des triangles équilatéraux de même taille, et exactement quatre triangles se rencontrent à chaque sommet. Un octaèdre régulier est convexe, ce qui signifie que pour deux points quelconques à l'intérieur de celui-ci, le segment de droite qui les relie se trouve entièrement à l'intérieur de celui-ci.

C'est l'un des huit deltaèdres convexes car toutes les faces sont des triangles équilatéraux . C'est un polyèdre composite obtenu en attachant deux pyramides carrées équilatérales . Son polyèdre dual est le cube , et ils ont les mêmes groupes de symétrie tridimensionnels , la symétrie octaédrique .

L'octaèdre régulier est l'un des solides platoniciens , un ensemble de polyèdres dont les faces sont des polygones réguliers congruents et dont le même nombre de faces se rencontrent à chaque sommet. Cet ancien ensemble de polyèdres doit son nom à Platon qui, dans son dialogue avec Timée , a relié ces solides à la nature. L'un d'eux, l'octaèdre régulier, représentait l' élément classique du vent .

Après avoir été attribué à la nature par Platon, Johannes Kepler a esquissé dans ses Harmonices Mundi chacun des solides platoniciens. Dans son Mysterium Cosmographicum , Kepler a également proposé le système solaire en utilisant les solides platoniciens mis en place dans un autre et en les séparant par six sphères ressemblant aux six planètes. Les solides ordonnés ont commencé du plus intérieur au plus extérieur : octaèdre régulier, icosaèdre régulier , dodécaèdre régulier , tétraèdre régulier et cube .

De nombreux octaèdres intéressants sont des bipyramides carrées . Une bipyramide carrée est une bipyramide construite en attachant deux pyramides carrées base à base. Ces pyramides couvrent leurs bases carrées, de sorte que le polyèdre résultant a huit faces triangulaires.

Une bipyramide carrée est dite droite si les pyramides carrées sont symétriquement régulières et si leurs deux sommets sont sur la ligne passant par le centre de la base ; sinon, elle est oblique. La bipyramide résultante a un groupe ponctuel tridimensionnel de groupe diédrique de seize : l'apparence est symétrique en tournant autour de l'axe de symétrie qui passe par les sommets et le centre de la base verticalement, et elle a une symétrie miroir par rapport à toute bissectrice de la base ; elle est également symétrique en la réfléchissant sur un plan horizontal. Par conséquent, cette bipyramide carrée est face-transitive ou isoédrique.

Si les arêtes d'une bipyramide carrée sont toutes de longueur égale, alors cette bipyramide carrée est un octaèdre régulier.

L'aire de surface d'un octaèdre régulier peut être déterminée en additionnant ses huit triangles équilatéraux, tandis que son volume est deux fois celui d'une pyramide carrée ; si la longueur des arêtes est , Le rayon d'une sphère circonscrite (une sphère qui touche l'octaèdre à tous les sommets), le rayon d'une sphère inscrite (une sphère qui tangente à chacune des faces de l'octaèdre) et le rayon d'une sphère médiane (une sphère qui touche le milieu de chaque arête) sont :

L' angle dièdre d'un octaèdre régulier entre deux faces triangulaires adjacentes est de 109,47°. On peut l'obtenir à partir de l'angle dièdre d'une pyramide carrée équilatérale : son angle dièdre entre deux faces triangulaires adjacentes est l'angle dièdre d'une pyramide carrée équilatérale entre deux faces triangulaires adjacentes, et son angle dièdre entre deux faces triangulaires adjacentes sur l'arête dans laquelle deux pyramides carrées équilatérales sont attachées est deux fois l'angle dièdre d'une pyramide carrée équilatérale entre sa face triangulaire et sa base carrée.

Un octaèdre de longueur d'arête peut être placé avec son centre à l'origine et ses sommets sur les axes de coordonnées ; les coordonnées cartésiennes des sommets sont : Dans l'espace tridimensionnel , l'octaèdre de coordonnées de centre et de rayon est l'ensemble de tous les points tels que .

Le squelette d'un octaèdre régulier peut être représenté comme un graphe selon le théorème de Steinitz , à condition que le graphe soit planaire — ses arêtes d'un graphe sont connectées à chaque sommet sans croiser d'autres arêtes — et graphe 3-connexe — ses arêtes restent connectées chaque fois que deux ou trois sommets d'un graphe sont supprimés. Son graphe appelé graphe octaédrique , un graphe platonicien .

Le graphe octaédrique peut être considéré comme un graphe tripartite complet , un graphe partitionné en trois ensembles indépendants constitués chacun de deux sommets opposés. Plus généralement, il s'agit d'un graphe de Turán .

Le graphe octaédrique est 4-connexe , ce qui signifie qu'il faut supprimer quatre sommets pour déconnecter les sommets restants. C'est l'un des quatre seuls polyèdres simpliciaux bien couverts 4-connexes , ce qui signifie que tous les ensembles indépendants maximaux de ses sommets ont la même taille. Les trois autres polyèdres ayant cette propriété sont la dipyramide pentagonale , le disphénoïde arrondi et un polyèdre irrégulier à 12 sommets et 20 faces triangulaires.

L'intérieur du composé de deux tétraèdres doubles est un octaèdre, et ce composé, appelé stella octangula , est sa première et unique stellation . De même, un octaèdre régulier est le résultat de la séparation d'un tétraèdre régulier, de quatre tétraèdres réguliers de la moitié de la taille linéaire (c'est-à-dire de la rectification du tétraèdre). Les sommets de l'octaèdre se trouvent aux points médians des arêtes du tétraèdre, et en ce sens, il se rapporte au tétraèdre de la même manière que le cuboctaèdre et l'icosidodécaèdre se rapportent aux autres solides platoniciens.

On peut également diviser les arêtes d'un octaèdre selon le rapport du nombre d'or pour définir les sommets d'un icosaèdre régulier . Cela se fait en plaçant d'abord des vecteurs le long des arêtes de l'octaèdre de telle sorte que chaque face soit délimitée par un cycle, puis en partitionnant de la même manière chaque arête selon le nombre d'or le long de la direction de son vecteur. Cinq octaèdres définissent un icosaèdre donné de cette manière, et ensemble ils définissent un composé régulier . Un icosaèdre régulier produit de cette manière est appelé octaèdre adouci .

L'octaèdre régulier peut être considéré comme l' antiprisme , un polyèdre de type prisme dans lequel les faces latérales sont remplacées par des triangles équilatéraux alternés. Il est également appelé antiprisme trigonal . Par conséquent, il a la propriété d'être quasi-régulier , un polyèdre dans lequel deux faces polygonales différentes sont alternées et se rencontrent à un sommet.

Les octaèdres et les tétraèdres peuvent être alternés pour former un pavage uniforme de l'espace avec sommets, arêtes et faces . Ce pavage et le pavage régulier des cubes sont les seuls nids d'abeilles uniformes de ce type dans l'espace tridimensionnel.

Le tétrahémihexaèdre uniforme est une symétrie tétraédrique de l'octaèdre régulier, partageant la disposition des arêtes et des sommets . Il possède quatre faces triangulaires et 3 carrés centraux.

Un octaèdre régulier est une boule de type 3 dans la métrique de Manhattan ( ℓ ₁ ) .

Comme tous les polytopes convexes réguliers, l'octaèdre peut être découpé en un nombre entier d' orthoschémas disjoints , tous de même forme caractéristique du polytope. L' orthoschéma caractéristique d'un polytope est une propriété fondamentale car le polytope est généré par des réflexions dans les facettes de son orthoschéma. L'orthoschéma se présente sous deux formes chirales qui sont des images miroir l'une de l'autre. L'orthoschéma caractéristique d'un polyèdre régulier est un tétraèdre irrégulier quadrirectangulaire .

Les faces du tétraèdre caractéristique de l'octaèdre se trouvent dans les plans de symétrie de l'octaèdre . L'octaèdre est le seul solide de Platon à posséder un nombre pair de faces se rencontrant à chaque sommet. Par conséquent, il est le seul membre de ce groupe à posséder, parmi ses plans de symétrie, certains qui ne passent par aucune de ses faces. Le groupe de symétrie de l'octaèdre est noté B ₃ . L'octaèdre et son polytope dual , le cube , ont le même groupe de symétrie mais des tétraèdres caractéristiques différents.

Le tétraèdre caractéristique de l'octaèdre régulier peut être trouvé par une dissection canonique de l'octaèdre régulierqui le subdivise en 48 de ces orthoschémas caractéristiquesentourant le centre de l'octaèdre. Trois orthoschémas gauches et trois orthoschémas droitiers se rencontrent dans chacune des huit faces de l'octaèdre, les six orthoschémas formant collectivement un tétraèdre trirectangulaire : une pyramide triangulaire avec la face de l'octaèdre comme base équilatérale et son sommet cubique au centre de l'octaèdre.

Si l'octaèdre a une longueur d'arête 𝒍 = 2, les six arêtes caractéristiques de son tétraèdre ont des longueurs , , autour de sa face extérieure du triangle rectangle (les arêtes opposées aux angles caractéristiques 𝟀, 𝝉, 𝟁), plus , , (arêtes qui sont les rayons caractéristiques de l'octaèdre). Le chemin à 3 arêtes le long des arêtes orthogonales de l'orthoschéma est , , , d'abord d'un sommet d'octaèdre à un centre d'arête d'octaèdre, puis tournant à 90° vers un centre de face d'octaèdre, puis tournant à 90° vers le centre de l'octaèdre. L'orthoschéma a quatre faces de triangle rectangle différentes. La face extérieure est un triangle 90-60-30 qui est un sixième d'une face d'octaèdre. Les trois faces intérieures de l'octaèdre sont : un triangle 45-90-45 d'arêtes , , , un triangle rectangle d'arêtes , , , et un triangle rectangle d'arêtes , , .

Il existe 3 colorations uniformes de l'octaèdre, nommées par les couleurs des faces triangulaires entourant chaque sommet : 1212, 1112, 1111.

Le groupe de symétrie de l'octaèdre est O _{h , d'ordre 48, le} groupe hyperoctaédrique tridimensionnel . Les sous-groupes de ce groupe comprennent D _3d (ordre 12), le groupe de symétrie d'un antiprisme triangulaire ; D _4h (ordre 16), le groupe de symétrie d'une bipyramide carrée ; et T _d (ordre 24), le groupe de symétrie d'un tétraèdre rectifié. Ces symétries peuvent être accentuées par différentes colorations des faces.

Un octaèdre peut être n'importe quel polyèdre à huit faces. Dans un exemple précédent, l'octaèdre régulier a 6 sommets et 12 arêtes, le minimum pour un octaèdre ; les octaèdres irréguliers peuvent avoir jusqu'à 12 sommets et 18 arêtes. Il existe 257 octaèdres convexes topologiquement distincts , à l'exclusion des images miroir. Plus précisément, il y en a 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 pour les octaèdres ayant respectivement 6 à 12 sommets. (Deux polyèdres sont « topologiquement distincts » s'ils ont des arrangements intrinsèquement différents de faces et de sommets, de sorte qu'il est impossible de déformer l'un dans l'autre simplement en changeant les longueurs des arêtes ou les angles entre les arêtes ou les faces.) Certains polyèdres ont huit faces en plus d'être des bipyramides carrées dans les cas suivants :

• Prisme hexagonal : Deux faces sont des hexagones réguliers parallèles ; six carrés relient des paires correspondantes d'arêtes hexagonales.
• Pyramide heptagonale : une face est un heptagone (généralement régulier) et les sept faces restantes sont des triangles (généralement isocèles). Toutes les faces triangulaires ne peuvent pas être équilatérales.
• Tétraèdre tronqué : Les quatre faces du tétraèdre sont tronquées pour devenir des hexagones réguliers, et il y a quatre autres faces de triangle équilatéral où chaque sommet du tétraèdre a été tronqué.
• Trapèze tétragonal : Les huit faces sont des cerfs-volants congruents .
• Gyrobifastigium : Deux prismes triangulaires uniformes collés sur un de leurs côtés carrés de telle sorte qu'aucun triangle ne partage une arête avec un autre triangle (solide de Johnson 26).
• Trapèze triangulaire tronqué , également appelé solide de Dürer : Obtenu en tronquant deux coins opposés d'un cube ou d'un rhomboèdre, il possède six faces pentagonales et deux faces triangulaires.
• Hosohèdre octogonal : dégénéré dans l'espace euclidien, mais peut être réalisé sphériquement.

Les polyèdres suivants sont combinatoirement équivalents à l'octaèdre régulier. Ils ont tous six sommets, huit faces triangulaires et douze arêtes qui correspondent exactement aux caractéristiques de celui-ci :

• Antiprismes triangulaires : Deux faces sont équilatérales, situées sur des plans parallèles et ont un axe de symétrie commun. Les six autres triangles sont isocèles. L'octaèdre régulier est un cas particulier dans lequel les six triangles latéraux sont également équilatéraux.
• Les bipyramides tétragonales , dans lesquelles au moins un des quadrilatères équatoriaux est situé sur un plan. L'octaèdre régulier est un cas particulier dans lequel les trois quadrilatères sont des carrés plans.
• Polyèdre de Schönhardt , un polyèdre non convexe qui ne peut pas être divisé en tétraèdres sans introduire de nouveaux sommets.
• Octaèdre de Bricard , un polyèdre flexible autocroisant non convexe

• Les cristaux naturels de diamant , d'alun ou de fluorite sont généralement octaédriques, comme le nid d'abeille tétraédrique-octaédrique qui remplit l'espace .
• Les plaques d' alliage de kamacite dans les météorites octaédrites sont disposées parallèlement aux huit faces d'un octaèdre.
• De nombreux ions métalliques coordonnent six ligands dans une configuration octaédrique ou octaédrique déformée .
• Motifs Widmanstätten en nickel - cristaux de fer

• Surtout dans les jeux de rôle , ce solide est connu sous le nom de « d8 », l'un des dés polyédriques les plus courants .
• Si chaque bord d'un octaèdre est remplacé par une résistance d'un ohm , la résistance entre les sommets opposés est ⁠1/2⁠ ohm, et celui entre les sommets adjacents ⁠5/12⁠ ohm.
• Six notes de musique peuvent être disposées sur les sommets d'un octaèdre de telle manière que chaque arête représente une dyade consonantique et chaque face représente une triade consonantique ; voir hexanie .

Une structure spatiale composée de tétraèdres et de demi-octaèdres alternés, dérivée du nid d'abeilles tétraédrique-octaédrique, a été inventée par Buckminster Fuller dans les années 1950. Elle est généralement considérée comme la structure de bâtiment la plus solide pour résister aux contraintes de porte-à- faux.

Un octaèdre régulier peut être augmenté en tétraèdre en ajoutant 4 tétraèdres sur des faces alternées. L'ajout de tétraèdres sur les 8 faces crée l' octaèdre étoilé .

L'octaèdre fait partie d'une famille de polyèdres uniformes apparentés au cube.

C'est aussi l'un des exemples les plus simples d' hypersimplex , un polytope formé par certaines intersections d'un hypercube avec un hyperplan .

L'octaèdre est topologiquement lié en tant que partie d'une séquence de polyèdres réguliers avec des symboles de Schläfli {3, n }, se poursuivant dans le plan hyperbolique .

L'octaèdre régulier peut également être considéré comme un tétraèdre rectifié – et peut être appelé tétratétraèdre . Cela peut être représenté par un modèle de face à 2 couleurs. Avec cette coloration, l'octaèdre a une symétrie tétraédrique .

Comparez cette séquence de troncature entre un tétraèdre et son dual :

Les formes ci-dessus peuvent également être réalisées sous forme de tranches orthogonales à la longue diagonale d'un tesseract . Si cette diagonale est orientée verticalement avec une hauteur de 1, alors les cinq premières tranches ci-dessus se produisent aux hauteurs r , ⁠3/8⁠ , ⁠1/2⁠ , ⁠5/8⁠ , et s , où r est un nombre quelconque dans la plage 0 < r ≤ ⁠1/4⁠ , et s est un nombre quelconque dans la plage ⁠3/4⁠ ≤ s < 1 .

L'octaèdre en tant que tétratétraèdre existe dans une séquence de symétries de polyèdres quasi-réguliers et de pavages avec des configurations de sommets (3. n ) ² , progressant des pavages de la sphère au plan euclidien et dans le plan hyperbolique. Avec une symétrie de notation orbifold de * n 32, tous ces pavages sont des constructions de Wythoff dans un domaine fondamental de symétrie, avec des points générateurs au coin droit du domaine.

En tant qu'antiprisme trigonal , l'octaèdre est apparenté à la famille de symétrie diédrique hexagonale.

La troncature de deux sommets opposés donne un bifrustum carré .

L'octaèdre peut être généré comme le cas d'un superellipsoïde 3D avec toutes les valeurs d'exposant fixées à 1.