Corrélation de phase

La corrélation de phase est une approche permettant d'estimer le décalage translatif relatif entre deux images similaires ( corrélation d'images numériques ) ou d'autres ensembles de données. Elle est couramment utilisée dans le recalage d'images et repose sur une représentation des données dans le domaine fréquentiel , généralement calculée par des transformées de Fourier rapides . Le terme s'applique en particulier à un sous-ensemble de techniques de corrélation croisée qui isolent les informations de phase de la représentation dans l'espace de Fourier du corrélogramme croisé .

L'image suivante montre l'utilisation de la corrélation de phase pour déterminer le mouvement translatif relatif entre deux images corrompues par un bruit gaussien indépendant. L'image a été translatée de (30,33) pixels. En conséquence, on peut clairement voir un pic dans la représentation de la corrélation de phase à environ (30,33).

Étant donné deux images d’entrée et :

Appliquez une fonction de fenêtre (par exemple une fenêtre de Hamming ) sur les deux images pour réduire les effets de bord (cela peut être facultatif en fonction des caractéristiques de l'image). Ensuite, calculez la transformée de Fourier 2D discrète des deux images.

Calculez le spectre de puissance croisée en prenant le conjugué complexe du deuxième résultat, en multipliant les transformées de Fourier élément par élément et en normalisant ce produit élément par élément.

Où se trouve le produit de Hadamard (produit d'entrée) et les valeurs absolues sont également prises en entrée. Écrit en entrée pour l'indice d'élément :

Obtenir la corrélation croisée normalisée en appliquant la transformée de Fourier inverse.

Déterminer l'emplacement du pic dans .

Généralement, les méthodes d'interpolation sont utilisées pour estimer l'emplacement du pic dans le corrélogramme croisé à des valeurs non entières , malgré le fait que les données soient discrètes, et cette procédure est souvent appelée « enregistrement sous-pixel ». Une grande variété de méthodes d'interpolation sous-pixel est donnée dans la littérature technique. Des méthodes d'interpolation de pic courantes telles que l'interpolation parabolique ont été utilisées, et le package de vision par ordinateur OpenCV utilise une méthode basée sur le centroïde , bien que celles-ci aient généralement une précision inférieure à celle des méthodes plus sophistiquées.

Étant donné que la représentation de Fourier des données a déjà été calculée, il est particulièrement pratique d'utiliser à cet effet le théorème de décalage de Fourier avec des décalages à valeurs réelles (sous-entiers), qui interpole essentiellement en utilisant les fonctions de base sinusoïdales de la transformée de Fourier. Un estimateur basé sur la transformée de Fourier particulièrement populaire est donné par Foroosh et al. . Dans cette méthode, l'emplacement du pic sous-pixel est approximé par une formule simple impliquant la valeur du pic du pixel et les valeurs de ses voisins les plus proches, où est la valeur du pic et est le voisin le plus proche dans la direction x (en supposant, comme dans la plupart des approches, que le décalage entier a déjà été trouvé et que les images de comparaison ne diffèrent que par un décalage sous-pixel).

La méthode de Foroosh et al. est assez rapide par rapport à la plupart des méthodes, même si elle n'est pas toujours la plus précise. Certaines méthodes décalent le pic dans l'espace de Fourier et appliquent une optimisation non linéaire pour maximiser le pic du corrélogramme, mais elles ont tendance à être très lentes car elles doivent appliquer une transformée de Fourier inverse ou son équivalent dans la fonction objective.

Il est également possible de déduire l'emplacement du pic à partir des caractéristiques de phase dans l'espace de Fourier sans la transformation inverse, comme l'a noté Stone. Ces méthodes utilisent généralement un ajustement par moindres carrés linéaires (LLS) des angles de phase à un modèle plan. La longue latence du calcul de l'angle de phase dans ces méthodes est un inconvénient, mais la vitesse peut parfois être comparable à celle de la méthode Foroosh et al. en fonction de la taille de l'image. Elles se comparent souvent favorablement en termes de vitesse aux itérations multiples de fonctions objectives extrêmement lentes dans les méthodes non linéaires itératives.

Étant donné que toutes les méthodes de calcul de décalage sous-pixel sont fondamentalement interpolatives, les performances d'une méthode particulière dépendent de la conformité des données sous-jacentes aux hypothèses de l'interpolateur. Ce fait peut également limiter l'utilité d'une précision numérique élevée dans un algorithme, car l'incertitude due au choix de la méthode d'interpolation peut être plus grande que toute erreur numérique ou d'approximation dans la méthode particulière.

Les méthodes sous-pixels sont également particulièrement sensibles au bruit dans les images, et l’utilité d’un algorithme particulier se distingue non seulement par sa vitesse et sa précision, mais aussi par sa résilience aux types particuliers de bruit dans l’application.

La méthode est basée sur le théorème de décalage de Fourier .

Que les deux images et soient des versions décalées circulairement l'une de l'autre :

(où les images sont en taille).

Ensuite, les transformées de Fourier discrètes des images seront décalées relativement en phase :

On peut ensuite calculer le spectre de puissance croisée normalisé pour éliminer la différence de phase :

puisque la grandeur d'une exponentielle imaginaire est toujours un, et sa phase est toujours zéro.

La transformée de Fourier inverse d'une exponentielle complexe est une fonction delta de Dirac , c'est-à-dire un seul pic :

Ce résultat aurait pu être obtenu en calculant directement la corrélation croisée . L'avantage de cette méthode est que la transformée de Fourier discrète et son inverse peuvent être réalisées en utilisant la transformée de Fourier rapide , qui est beaucoup plus rapide que la corrélation pour les images de grande taille.

Contrairement à de nombreux algorithmes du domaine spatial, la méthode de corrélation de phase est résistante au bruit, aux occlusions et autres défauts typiques des images médicales ou satellites.

La méthode peut être étendue pour déterminer les différences de rotation et d'échelle entre deux images en convertissant d'abord les images en coordonnées log-polaires . En raison des propriétés de la transformée de Fourier , les paramètres de rotation et d'échelle peuvent être déterminés d'une manière invariante par rapport à la translation.

En pratique, il est plus probable qu'il s'agira d'un simple décalage linéaire de , plutôt que d'un décalage circulaire comme l'exige l'explication ci-dessus. Dans de tels cas, il ne s'agira pas d'une simple fonction delta, ce qui réduira les performances de la méthode. Dans de tels cas, une fonction de fenêtre (comme une fenêtre gaussienne ou de Tukey) doit être utilisée pendant la transformée de Fourier pour réduire les effets de bord, ou les images doivent être remplies de zéros afin que les effets de bord puissent être ignorés. Si les images se composent d'un arrière-plan plat, avec tous les détails situés loin des bords, alors un décalage linéaire sera équivalent à un décalage circulaire, et la dérivation ci-dessus sera exactement valable. Le pic peut être affiné en utilisant une corrélation de bord ou de vecteur.

Pour les images périodiques (comme un échiquier ou une palissade), la corrélation de phase peut donner des résultats ambigus avec plusieurs pics dans la sortie résultante.

La corrélation de phase est la méthode préférée pour la conversion des normes de télévision , car elle laisse le moins d’artefacts.