Modèle de distribution de points

Le modèle de distribution de points est un modèle permettant de représenter la géométrie moyenne d'une forme et certains modes statistiques de variation géométrique déduits d'un ensemble d'apprentissage de formes.

Le concept de modèle de distribution de points a été développé par Cootes, Taylor et al. et est devenu une norme en vision par ordinateur pour l' étude statistique de la forme et pour la segmentation des images médicales pixels / voxels bruyants et à faible contraste . Ce dernier point conduit aux modèles de forme actifs (ASM) et aux modèles d'apparence actifs (AAM).

Les modèles de distribution de points s'appuient sur des points de repère . Un point de repère est un point d'annotation posé par un anatomiste sur un lieu donné pour chaque instance de forme dans la population de l'ensemble d'entraînement. Par exemple, le même point de repère désignera la pointe de l' index dans un ensemble d'entraînement de contours de mains en 2D. L'analyse en composantes principales (ACP), par exemple, est un outil pertinent pour étudier les corrélations de mouvement entre des groupes de points de repère dans la population de l'ensemble d'entraînement. En règle générale, elle peut détecter que tous les points de repère situés le long du même doigt se déplacent exactement ensemble dans les exemples de l'ensemble d'entraînement montrant un espacement des doigts différent pour une collection de mains posées à plat.

Tout d'abord, un ensemble d'images d'entraînement est repéré manuellement avec suffisamment de points de repère correspondants pour se rapprocher suffisamment de la géométrie des formes d'origine. Ces points de repère sont alignés à l'aide de l' analyse de Procuste généralisée , qui minimise l'erreur quadratique minimale entre les points.

Il est important de noter que chaque point de repère doit représenter le même emplacement anatomique. Par exemple, le point de repère n° 3 peut représenter le bout de l'annulaire sur toutes les images d'entraînement.

Les contours des formes sont maintenant réduits à des séquences de points de repère, de sorte qu'une forme d'entraînement donnée est définie comme le vecteur . En supposant que la diffusion soit gaussienne dans cet espace, l'ACP est utilisée pour calculer les vecteurs propres normalisés et les valeurs propres de la matrice de covariance sur toutes les formes d'entraînement. La matrice des principaux vecteurs propres est donnée par , et chaque vecteur propre décrit un mode principal de variation le long de l'ensemble.

Enfin, une combinaison linéaire des vecteurs propres est utilisée pour définir une nouvelle forme , définie mathématiquement comme :

où est défini comme la forme moyenne de toutes les images d'apprentissage et est un vecteur de valeurs d'échelle pour chaque composante principale. Par conséquent, en modifiant la variable, un nombre infini de formes peut être défini. Pour garantir que les nouvelles formes se situent toutes dans la variation observée dans l'ensemble d'apprentissage, il est courant de n'autoriser que chaque élément de à se situer dans les 3 écarts types, où l'écart type d'une composante principale donnée est défini comme la racine carrée de sa valeur propre correspondante.

Les PDM peuvent être étendus à n'importe quel nombre arbitraire de dimensions, mais sont généralement utilisés dans les applications d'images 2D et de volumes 3D (où chaque point de repère est ou ).

Un vecteur propre, interprété dans l'espace euclidien , peut être vu comme une séquence de vecteurs euclidiens associés à un point de repère correspondant et désignant un mouvement composé pour l'ensemble de la forme. La variation non linéaire globale est généralement bien gérée à condition qu'elle soit maintenue à un niveau raisonnable. En général, un ver nématode tortueux est utilisé comme exemple dans l'enseignement des méthodes basées sur l'ACP à noyau .

En raison des propriétés de l'ACP : les vecteurs propres sont mutuellement orthogonaux , forment une base du nuage d'ensembles d'apprentissage dans l'espace des formes et se croisent au point 0 de cet espace, ce qui représente la forme moyenne. De plus, l'ACP est une manière traditionnelle d'ajuster un ellipsoïde fermé à un nuage gaussien de points (quelle que soit leur dimension) : cela suggère le concept de variation bornée.

L'idée derrière les PDM est que les vecteurs propres peuvent être combinés linéairement pour créer une infinité de nouvelles instances de forme qui « ressembleront » à celle de l'ensemble d'entraînement. Les coefficients sont délimités de la même manière que les valeurs propres correspondantes, de manière à garantir que le point 2n/3n-dimensionnel généré restera dans le domaine autorisé hyperellipsoïdal – domaine de forme autorisé (ASD).