Worldlex Wiki En calcul propositionnel , une fonction propositionnelle ou un prédicat est une phrase exprimée de manière à prendre la valeur true ou false , sauf qu'à l'intérieur de la phrase il y a une variable ( x ) qui n'est ni définie ni spécifiée (étant ainsi une variable libre ), ce qui laisse l'énoncé indéterminé. La phrase peut contenir plusieurs de ces variables (par exemple n variables, auquel cas la fonction prend n arguments).
Aperçu
En tant que fonction mathématique , A ( x ) ou A ( x1 , x2 ,..., xn ), la fonction propositionnelle est abstraite des prédicats ou des formes propositionnelles. Prenons par exemple le schéma de prédicats « x est chaud ». La substitution de n'importe quelle entité à x produira une proposition spécifique qui peut être décrite comme vraie ou fausse, même si « x est chaud » en soi n'a aucune valeur en tant qu'énoncé vrai ou faux. Cependant, lorsqu'une valeur est attribuée à x , comme la lave , la fonction a alors la valeur true ; tandis que l'on attribue à x une valeur comme la glace , la fonction a alors la valeur false .
Les fonctions propositionnelles sont utiles en théorie des ensembles pour la formation d' ensembles . Par exemple, en 1903, Bertrand Russell écrivait dans The Principles of Mathematics (page 106) :
- « ...il est devenu nécessaire de prendre la fonction propositionnelle comme une notion primitive .
Plus tard, Russell a examiné le problème de savoir si les fonctions propositionnelles étaient prédicatives ou non, et il a proposé deux théories pour tenter de répondre à cette question : la théorie du zigzag et la théorie ramifiée des types.
Une fonction propositionnelle, ou un prédicat, dans une variable x est une formule ouverte p ( x ) impliquant x qui devient une proposition lorsqu'on donne à x une valeur définie parmi l'ensemble des valeurs qu'elle peut prendre.
Selon Clarence Lewis , « une proposition est toute expression qui est soit vraie, soit fausse ; une fonction propositionnelle est une expression, contenant une ou plusieurs variables, qui devient une proposition lorsque chacune des variables est remplacée par l'une de ses valeurs provenant d'un domaine de discours d'individus. » Lewis a utilisé la notion de fonctions propositionnelles pour introduire les relations , par exemple, une fonction propositionnelle de n variables est une relation d' arité n . Le cas où n = 2 correspond aux relations binaires , dont il existe des relations homogènes (les deux variables proviennent du même ensemble) et des relations hétérogènes .