Onde de pouls

Le cycle de service D d'une onde d'impulsion est le rapport entre la durée de l'impulsion 𝜏 et la période T.

Une onde d'impulsion ou train d'impulsions ou onde rectangulaire est une forme d'onde non sinusoïdale qui est la version périodique de la fonction rectangulaire . Elle est maintenue élevée d'un pour cent à chaque cycle ( période ), appelé rapport cyclique , et pendant le reste de chaque cycle, elle est faible. Un rapport cyclique de 50 % produit une onde carrée , un cas particulier d'onde rectangulaire. Le niveau moyen d'une onde rectangulaire est également donné par le rapport cyclique.

L'onde de pouls est utilisée comme base pour d'autres formes d'onde qui modulent un aspect de l'onde de pouls, par exemple :

La modulation de largeur d'impulsion (PWM) fait référence aux méthodes qui codent les informations en faisant varier le cycle de service d'une onde d'impulsion.
La modulation d'amplitude d'impulsion (PAM) fait référence aux méthodes qui codent les informations en faisant varier l' amplitude d'une onde d'impulsion.

Représentation du domaine fréquentiel

Le développement en série de Fourier pour une onde d'impulsion rectangulaire avec période , amplitude et longueur d'impulsion est ${\displaystyle T <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>T</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle au <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>τ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle au }</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle x(t)=A{\frac { au }{T}}+{\frac {2A}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}\sin \left(\pi n{\frac { au }{T}} ight)\cos \left(2\pi nft ight) ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>UN</mi> <mrow> <mfrac> <mi>τ</mi> <mi>T</mi> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>UN</mi> </mrow> <mi>π</mi> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mi>péché</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>π</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mfrac> <mi>τ</mi> <mi>T</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>parce que</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>n</mi> <mi>f</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x(t)=A{\frac { au }{T}}+{\frac {2A}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\gauche({\frac {1}{n}}\sin \gauche(\pi n{\frac { au }{T}}\droite)\cos \gauche(2\pi nft\droite)\droite)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f={\frac {1}{T <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f={\frac {1}{T}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

De manière équivalente, si le cycle de service est utilisé, et : ${\displaystyle d={\frac { au }{T <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mi>τ</mi> <mi>T</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d={\frac { au }{T}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \omega =2\pi f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle omega = 2 pi f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x(t)=Ad+{\frac {2A}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}\sin \left(\pi nd ight)\cos \left(n\omega t ight) ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>UN</mi> <mi>d</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>UN</mi> </mrow> <mi>π</mi> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mi>péché</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>π</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>parce que</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mi>ω</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x(t)=Ad+{\frac {2A}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\gauche({\frac {1}{n}}\sin \gauche(\pi nd\droite)\cos \gauche(n\omega t\droite)\droite)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Notez que, pour des raisons de symétrie, le temps de départ ( ) de cette expansion est à mi-chemin de la première impulsion. ${\displaystyle t=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle t=0}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Alternativement, peut être écrit en utilisant la fonction Sinc , en utilisant la définition , comme ou avec comme ${\displaystyle x(t) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x(t)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin \pi x}{\pi x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>sinc</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>péché</mi> <mo>⁡</mo> <mi>π</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>π</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x(t)=A{\frac { au }{T}}\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(\operatorname {sinc} \left(n{\frac { au }{T}} ight)\cos \left(2\pi nft ight) ight) ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>UN</mi> <mrow> <mfrac> <mi>τ</mi> <mi>T</mi> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>sinc</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mrow> <mfrac> <mi>τ</mi> <mi>T</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>parce que</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>n</mi> <mi>f</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x(t)=A{\frac { au }{T}}\gauche(1+2\sum _{n=1}^{\infty }\gauche(\operatorname {sinc} \gauche(n{\frac { au }{T}}\droite)\cos \gauche(2\pi nft\droite)\droite)\droite)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle d={\frac { au }{T <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mi>τ</mi> <mi>T</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d={\frac { au }{T}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x(t)=Ad\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(\operatorname {sinc} \left(nd ight)\cos \left(2\pi nft ight) ight) ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>UN</mi> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>sinc</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mi>d</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>parce que</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>n</mi> <mi>f</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x(t)=Ad\gauche(1+2\sum _{n=1}^{\infty }\gauche(\operatorname {sinc} \gauche(nd\droite)\cos \gauche(2\pi nft\droite)\droite)\droite)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Génération

Une onde d'impulsion peut être créée en soustrayant une onde en dents de scie d'une version déphasée d'elle-même. Si les ondes en dents de scie sont limitées en bande passante , l'onde d'impulsion résultante est également limitée en bande passante.

Applications

Le spectre harmonique d'une onde d'impulsion est déterminé par le rapport cyclique. Acoustiquement, l'onde rectangulaire a été décrite de diverses manières comme ayant un son étroit /fin, nasal /bourdonnant /mordant, clair, résonnant, riche, rond et brillant [ . Les ondes d'impulsion sont utilisées dans de nombreuses chansons de Steve Winwood , telles que " While You See a Chance ".