Séquence de marionnettes

En mathématiques , la suite de Puppe est une construction de la théorie de l'homotopie , ainsi nommée d'après Dieter Puppe . Elle se présente sous deux formes : une suite exacte longue , construite à partir de la fibre d'application (une fibration ), et une suite coexacte longue, construite à partir du cône d'application (qui est une cofibration ). Intuitivement, la suite de Puppe permet de concevoir la théorie de l'homologie comme un foncteur qui associe aux espaces des suites exactes longues de groupes. Elle est également utile pour construire des suites exactes longues de groupes d'homotopie relatifs .

Séquence exacte de Puppe

Une suite d'espaces pointés et de cartes pointées ${\displaystyle \dots o X_{n+1} o X_{n} o X_{n-1} o \dots <semantics><mrow><mstyle><mo>⋯</mo><mo>→</mo><msub><mi>X</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>→</mo><msub><mi>X</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>→</mo><msub><mi>X</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>→</mo><mo>…</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \dots o X_{n+1} o X_{n} o X_{n-1} o \dots }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \dots o [Z,X_{n+1}] o [Z,X_{n}] o [Z,X_{n-1}] o \dots <semantics><mrow><mstyle><mo>⋯</mo><mo>→</mo><mo>[</mo><mi>Z</mi><mo>,</mo><msub><mi>X</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>]</mo><mo>→</mo><mo>[</mo><mi>Z</mi><mo>,</mo><msub><mi>X</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>]</mo><mo>→</mo><mo>[</mo><mi>Z</mi><mo>,</mo><msub><mi>X</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>]</mo><mo>→</mo><mo>…</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \dots o [Z,X_{n+1}] o [Z,X_{n}] o [Z,X_{n-1}] o \dots }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle Z <semantics><mrow><mstyle><mi>Z</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Z}</annotation></semantics></math><img src=$

Laisser ${\displaystyle f\colon (X,x_{0}) o (Y,y_{0}) <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>:</mo><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>,</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>→</mo><mo>(</mo><mi>Y</mi><mo>,</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f\colon (X,x_{0}) o (Y,y_{0})}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle Mf <semantics><mrow><mstyle><mi>M</mi><mi>f</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Mf}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle Mf o X o Y <semantics><mrow><mstyle><mi>M</mi><mi>f</mi><mo>→</mo><mi>X</mi><mo>→</mo><mi>Y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Mf o X o Y}</annotation></semantics></math></span><img src=

où la fibre de cartographie est définie comme :

{\displaystyle Mf=\{(x,\omega )\in X imes Y^{I}:\omega (0)=y_{0}{\mbox{ and }}\omega (1)=f(x)\ <semantics><mrow><mstyle><mi>M</mi><mi>f</mi><mo>=</mo><mo>{</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>ω</mi><mo>)</mo><mo>∈</mo><mi>X</mi><mo>×</mo><msup><mi>Y</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msup><mo>:</mo><mi>ω</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>y</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mrow><mstyle><mtext> et </mtext></mstyle></mrow><mi>ω</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>}</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Mf=\{(x,\omega )\in X imes Y^{I}:\omega (0)=y_{0}{\mbox{ et }}\omega (1)=f(x)\}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Observez que l' espace des boucles ${\displaystyle \Omega Y <semantics><mrow><mstyle><mi>Ω</mi><mi>Y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega Y}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \Omega Y o Mf <semantics><mrow><mstyle><mi>Ω</mi><mi>Y</mi><mo>→</mo><mi>M</mi><mi>f</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega Y o Mf}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle y_{0 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>y</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y_{0}}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle \Omega X o \Omega Y o Mf o X o Y <semantics><mrow><mstyle><mi>Ω</mi><mi>X</mi><mo>→</mo><mi>Ω</mi><mi>Y</mi><mo>→</mo><mi>M</mi><mi>f</mi><mo>→</mo><mi>X</mi><mo>→</mo><mi>Y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega X o \Omega Y o Mf o X o Y}</annotation></semantics></math></span><img src=

La construction peut ensuite être itérée pour obtenir la séquence Puppe exacte

{\displaystyle \cdots o \Omega ^{2}(Mf) o \Omega ^{2}X o \Omega ^{2}Y o \Omega (Mf) o \Omega X o \Omega Y o Mf o X o Y <semantics><mrow><mstyle><mo>⋯</mo><mo>→</mo><msup><mi>Ω</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>(</mo><mi>M</mi><mi>f</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><msup><mi>Ω</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>X</mi><mo>→</mo><msup><mi>Ω</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>Y</mi><mo>→</mo><mi>Ω</mi><mo>(</mo><mi>M</mi><mi>f</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><mi>Ω</mi><mi>X</mi><mo>→</mo><mi>Ω</mi><mi>Y</mi><mo>→</mo><mi>M</mi><mi>f</mi><mo>→</mo><mi>X</mi><mo>→</mo><mi>Y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \cdots o \Omega ^{2}(Mf) o \Omega ^{2}X o \Omega ^{2}Y o \Omega (Mf) o \Omega X o \Omega Y o Mf o X o Y}</annotation></semantics></math></span><img src=

La séquence exacte est souvent plus pratique que la séquence coexacte dans les applications pratiques, comme l'explique Joseph J. Rotman :

Les différentes constructions (de la suite coexacte) impliquent des espaces quotients au lieu de sous-espaces, et donc toutes les applications et homotopies nécessitent un examen plus approfondi pour s'assurer qu'elles sont bien définies et continues.

Exemples

Exemple : Homotopie relative

Dans un cas particulier, on peut considérer X comme un sous-espace A de Y contenant le point de base y ₀ , et f comme l'inclusion ${\displaystyle i:A\hookrightarrow Y <semantics><mrow><mstyle><mi>je</mi><mo>:</mo><mi>UN</mi><mo>↪</mo><mi>Y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle i:A\hookrightarrow Y}</annotation></semantics></math><img src=$ A dans Y. On obtient alors une suite exacte dans la catégorie des espaces pointés :

{\displaystyle {\begin{aligned}\cdots & o \pi _{n+1}(A) o \pi _{n+1}(Y) o \left[S^{0},\Omega ^{n}(Mi) ight] o \pi _{n}(A) o \pi _{n}(Y) o \cdots \\\cdots & o \pi _{1}(A) o \pi _{1}(Y) o \left[S^{0},Mi ight] o \pi _{0}(A) o \pi _{0}(Y)\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mo>⋯</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>Y</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><msup><mi>S</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>Ω</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>M</mi><mi>je</mi><mo>)</mo></mrow><mo>]</mo></mrow><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>Y</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><mo>⋯</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>⋯</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>Y</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><msup><mi>S</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mi>M</mi><mi>je</mi></mrow><mo>]</mo></mrow><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>Y</mi><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\cdots & o \pi _{n+1}(A) o \pi _{n+1}(Y) o \left[S^{0},\Omega ^{n}(Mi) ight] o \pi _{n}(A) o \pi _{n}(Y) o \cdots \\\cdots & o \pi _{1}(A) o \pi _{1}(Y) o \left[S^{0},Mi ight] o \pi _{0}(A) o \pi _{0}(Y)\end{aligned}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

où le ${\displaystyle \pi _{n <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>π</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \pi _{n}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle S^{0 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>S</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle S^{0}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle [U,W] <semantics><mrow><mstyle><mo>[</mo><mi>U</mi><mo>,</mo><mi>W</mi><mo>]</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle [U,W]}</annotation></semantics></math><img src=$ U vers W. Notez que ${\displaystyle \pi _{n+1}(X)=\pi _{1}(\Omega ^{n}X) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>π</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><msup><mi>Ω</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mi>X</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \pi _{n+1}(X)=\pi _{1}(\Omega ^{n}X)}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle \left[S^{0},\Omega ^{n}(Mi) ight]=\left[S^{n},Mi ight]=\pi _{n}(Mi) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mo>[</mo><mrow><msup><mi>S</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>Ω</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>M</mi><mi>je</mi><mo>)</mo></mrow><mo>]</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><msup><mi>S</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi>M</mi><mi>je</mi></mrow><mo>]</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>M</mi><mi>je</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \left[S^{0},\Omega ^{n}(Mi) ight]=\left[S^{n},Mi ight]=\pi _{n}(Mi)}</annotation></semantics></math></span><img src=

est en bijection au groupe d'homotopie relatif ${\displaystyle \pi _{n+1}(Y,A) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>π</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>Y</mi><mo>,</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \pi _{n+1}(Y,A)}</annotation></semantics></math><img src=$ séquence d'homotopie relative des paires

{\displaystyle {\begin{aligned}\cdots & o \pi _{n+1}(A) o \pi _{n+1}(Y) o \pi _{n+1}(Y,A) o \pi _{n}(A) o \pi _{n}(Y) o \cdots \\\cdots & o \pi _{1}(A) o \pi _{1}(Y) o \pi _{1}(Y,A) o \pi _{0}(A) o \pi _{0}(Y)\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mo>⋯</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>Y</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>Y</mi><mo>,</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>Y</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><mo>⋯</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>⋯</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>Y</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>Y</mi><mo>,</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>Y</mi><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\cdots & o \pi _{n+1}(A) o \pi _{n+1}(Y) o \pi _{n+1}(Y,A) o \pi _{n}(A) o \pi _{n}(Y) o \cdots \\\cdots & o \pi _{1}(A) o \pi _{1}(Y) o \pi _{1}(Y,A) o \pi _{0}(A) o \pi _{0}(Y)\end{aligned}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

L'objet ${\displaystyle \pi _{n}(Y,A) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>π</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>Y</mi><mo>,</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \pi _{n}(Y,A)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n\geq 2 <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mo>≥</mo><mn>2</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n\geq 2}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle n\geq 3 <semantics><mrow><mstyle><mi>n</mi><mo>≥</mo><mn>3</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n\geq 3}</annotation></semantics></math><img src=$

Exemple : Fibration

Dans un cas particulier, on peut considérer f comme une fibration ${\displaystyle p:E o B <semantics><mrow><mstyle><mi>p</mi><mo>:</mo><mi>E</mi><mo>→</mo><mi>B</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle p:E o B}</annotation></semantics></math><img src=$ Mp possède la propriété de relèvement d'homotopie et il s'ensuit que Mp et la fibre ${\displaystyle F=p^{-1}(b_{0}) <semantics><mrow><mstyle><mi>F</mi><mo>=</mo><msup><mi>p</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle F=p^{-1}(b_{0})}</annotation></semantics></math><img src=$ Mp sont homotopes aux applications de la sphère dans F , c'est-à-dire,

{\displaystyle \pi _{n}(Mp)=\left[S^{n},Mp ight]\simeq \left[S^{n},F ight]=\pi _{n}(F). <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>π</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>M</mi><mi>p</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><msup><mi>S</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi>M</mi><mi>p</mi></mrow><mo>]</mo></mrow><mo>≃</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><msup><mi>S</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi>F</mi></mrow><mo>]</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>F</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \pi _{n}(Mp)=\left[S^{n},Mp ight]\simeq \left[S^{n},F ight]=\pi _{n}(F).}</annotation></semantics></math></span><img src=

À partir de là, la suite de Puppe donne la séquence d'homotopie d'une fibration :

{\displaystyle {\begin{aligned}\cdots & o \pi _{n+1}(E) o \pi _{n+1}(B) o \pi _{n}(F) o \pi _{n}(E) o \pi _{n}(B) o \cdots \\\cdots & o \pi _{1}(E) o \pi _{1}(B) o \pi _{0}(F) o \pi _{0}(E) o \pi _{0}(B)\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mo>⋯</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>E</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>F</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>E</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><mo>⋯</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>⋯</mo></mtd><mtd><mi></mi><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>E</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>F</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>E</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\cdots & o \pi _{n+1}(E) o \pi _{n+1}(B) o \pi _{n}(F) o \pi _{n}(E) o \pi _{n}(B) o \cdots \\\cdots & o \pi _{1}(E) o \pi _{1}(B) o \pi _{0}(F) o \pi _{0}(E) o \pi _{0}(B)\end{aligned}}}</annotation></semantics></math></span><img src=

Exemple : Fibration faible

Les fibrations faibles sont strictement plus faibles que les fibrations ; cependant, le résultat principal ci-dessus reste valable, bien que la démonstration doive être modifiée. L'observation clé, due à Jean-Pierre Serre , est que, étant donné une fibration faible ${\displaystyle p\colon E o B <semantics><mrow><mstyle><mi>p</mi><mo>:</mo><mi>E</mi><mo>→</mo><mi>B</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle p\colon E o B}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle F=p^{-1}(b_{0}) <semantics><mrow><mstyle><mi>F</mi><mo>=</mo><msup><mi>p</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>(</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle F=p^{-1}(b_{0})}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle p_{*}\colon \pi _{n}(E,F) o \pi _{n}(B,b_{0}) <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>p</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msub><mo>:</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>E</mi><mo>,</mo><mi>F</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><msub><mi>π</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>,</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle p_{*}\colon \pi _{n}(E,F) o \pi _{n}(B,b_{0})}</annotation></semantics></math></span><img src=

Cette bijection peut être utilisée dans la séquence d'homotopie relative ci-dessus, pour obtenir la séquence d'homotopie d'une fibration faible , ayant la même forme que la séquence de fibration, bien qu'avec une application de connexion différente.

Séquence de poupée coexacte

Laisser ${\displaystyle f\colon A o B <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>:</mo><mi>UN</mi><mo>→</mo><mi>B</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f\colon A o B}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle C(f) <semantics><mrow><mstyle><mi>C</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C(f)}</annotation></semantics></math><img src=$ f (c'est-à-dire la cofibre de l'application f ), de sorte que nous ayons une séquence (cofibre) :

{\displaystyle A o B o C(f) <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi><mo>→</mo><mi>B</mi><mo>→</mo><mi>C</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A o B o C(f)}</annotation></semantics></math></span><img src=

Maintenant, nous pouvons former ${\displaystyle \Sigma A <semantics><mrow><mstyle><mi>Σ</mi><mi>UN</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Sigma A}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \Sigma B, <semantics><mrow><mstyle><mi>Σ</mi><mi>B</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Sigma B,}</annotation></semantics></math><img src=$ A et B respectivement, et aussi ${\displaystyle \Sigma f\colon \Sigma A o \Sigma B <semantics><mrow><mstyle><mi>Σ</mi><mi>f</mi><mo>:</mo><mi>Σ</mi><mi>UN</mi><mo>→</mo><mi>Σ</mi><mi>B</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Sigma f\colon \Sigma A o \Sigma B}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle \Sigma A o \Sigma B o C(\Sigma f) <semantics><mrow><mstyle><mi>Σ</mi><mi>UN</mi><mo>→</mo><mi>Σ</mi><mi>B</mi><mo>→</mo><mi>C</mi><mo>(</mo><mi>Σ</mi><mi>f</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Sigma A o \Sigma B o C(\Sigma f)}</annotation></semantics></math></span><img src=

Notez que la suspension préserve les séquences de cofibres.

Grâce à ce fait important, nous savons que ${\displaystyle C(\Sigma f) <semantics><mrow><mstyle><mi>C</mi><mo>(</mo><mi>Σ</mi><mi>f</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C(\Sigma f)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \Sigma C(f). <semantics><mrow><mstyle><mi>Σ</mi><mi>C</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Sigma C(f).}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle B\subset C(f) <semantics><mrow><mstyle><mi>B</mi><mo>⊂</mo><mi>C</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle B\subset C(f)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle C(f) o \Sigma A. <semantics><mrow><mstyle><mi>C</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><mi>Σ</mi><mi>UN</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C(f) o \Sigma A.}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle A o B o C(f) o \Sigma A o \Sigma B o \Sigma C(f). <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi><mo>→</mo><mi>B</mi><mo>→</mo><mi>C</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><mi>Σ</mi><mi>UN</mi><mo>→</mo><mi>Σ</mi><mi>B</mi><mo>→</mo><mi>Σ</mi><mi>C</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A o B o C(f) o \Sigma A o \Sigma B o \Sigma C(f).}</annotation></semantics></math></span><img src=

En itérant cette construction, nous obtenons la séquence de Puppe associée à ${\displaystyle A o B <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi><mo>→</mo><mi>B</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A o B}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle A o B o C(f) o \Sigma A o \Sigma B o \Sigma C(f) o \Sigma ^{2}A o \Sigma ^{2}B o \Sigma ^{2}C(f) o \Sigma ^{3}A o \Sigma ^{3}B o \Sigma ^{3}C(f) o \cdots <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi><mo>→</mo><mi>B</mi><mo>→</mo><mi>C</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><mi>Σ</mi><mi>UN</mi><mo>→</mo><mi>Σ</mi><mi>B</mi><mo>→</mo><mi>Σ</mi><mi>C</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><msup><mi>Σ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>UN</mi><mo>→</mo><msup><mi>Σ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>B</mi><mo>→</mo><msup><mi>Σ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>C</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><msup><mi>Σ</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mi>UN</mi><mo>→</mo><msup><mi>Σ</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mi>B</mi><mo>→</mo><msup><mi>Σ</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mi>C</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>)</mo><mo>→</mo><mo>⋯</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A o B o C(f) o \Sigma A o \Sigma B o \Sigma C(f) o \Sigma ^{2}A o \Sigma ^{2}B o \Sigma ^{2}C(f) o \Sigma ^{3}A o \Sigma ^{3}B o \Sigma ^{3}C(f) o \cdots }</annotation></semantics></math></span><img src=

Quelques propriétés et conséquences

Il est facile, en topologie, de constater que tous les trois éléments d'une suite de Puppe sont, à homotopie près, de la forme :

{\displaystyle X o Y o C(f) <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi><mo>→</mo><mi>Y</mi><mo>→</mo><mi>C</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X o Y o C(f)}</annotation></semantics></math></span><img src=

Par « à une homotopie près », nous entendons ici que tous les 3 éléments d'une suite de Puppe sont de la forme ci-dessus s'ils sont considérés comme des objets et des morphismes dans la catégorie d'homotopie .

Si l'on est maintenant donné un foncteur topologique semi-exact , la propriété ci-dessus implique qu'après avoir agi avec le foncteur en question sur la suite de Puppe associée à ${\displaystyle A o B <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi><mo>→</mo><mi>B</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A o B}</annotation></semantics></math><img src=$

Un résultat, dû à John Milnor , est que si l'on prend les axiomes d'Eilenberg-Steenrod pour la théorie de l'homologie et que l'on remplace l'excision par la séquence exacte d'une fibration faible de paires, alors on obtient l'analogie d'homotopie du

suspension , non réduite et réduite , on peut également considérer les suites de Puppe non réduites et réduites (du moins si l'on traite des espaces pointés , lorsqu'il est possible de former une suspension réduite).

Edwin Spanier , Topologie algébrique , Springer-Verlag (1982) Réimpression, McGraw Hill (1966)