Temps retardé

En électromagnétisme , une onde électromagnétique (lumière) dans le vide se déplace à une vitesse finie (la vitesse de la lumière c ). Le temps de retard est le délai de propagation entre l'émission et l'observation, car il faut du temps pour que l'information voyage entre l'émetteur et l'observateur. Cela est dû à la causalité .

Temps retardés et avancés

Le temps retardé t _r ou t ′ est calculé avec un calcul « vitesse-distance-temps » pour les champs EM.

Si le champ électromagnétique est émis à la position vecteur r ′ (dans la distribution de charge de la source) et qu'un observateur à la position r mesure le champ électromagnétique à l'instant t , le délai nécessaire au champ pour se propager de la distribution de charge à l'observateur est | r − r ′ |/ c . En soustrayant ce délai du temps t de l'observateur , on obtient le moment où le champ a commencé à se propager, c'est-à-dire le temps retardé t ′ .

Le temps retardé est : ${\displaystyle t'=t-{\frac {|\mathbf {r} -(\mathbf {r} ')|}{c <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>t</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>)</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> <mi>c</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle t'=t-{\frac {|\mathbf {r} -(\mathbf {r} ')|}{c}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$

(qui peut être réorganisé en , montrant comment les positions et les heures de la source et de l'observateur sont liées de manière causale). ${\displaystyle c=|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|/(t-t') <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <msup> <mi>t</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c=|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|/(t-t')}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$

Un concept connexe est le temps avancé t _a , qui prend la même forme mathématique que ci-dessus, mais avec un « + » au lieu d’un « − » :

{\displaystyle t_{a}=t+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> <mi>c</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle t_{a}=t+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Il s'agit du temps nécessaire à un champ pour se propager depuis son origine à l'instant présent t jusqu'à une distance . Les potentiels retardés et avancés correspondent aux temps retardés et avancés . ${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} '| <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$

Position retardée

La position retardée peut être obtenue à partir de la position actuelle d'une particule en soustrayant la distance qu'elle a parcourue dans le laps de temps entre le temps retardé et le temps actuel. Pour une particule inertielle, cette position peut être obtenue en résolvant cette équation :

{\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r'} =\mathbf {r} -\mathbf {r_{c}} +{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}{c}}\mathbf {v} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <msup> <mi>r</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>c</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow> <msup> <mi>r</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> <mi>c</mi> </mfrac> </mrow> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r'} =\mathbf {r} -\mathbf {r_{c}} +{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}{c}}\mathbf {v} }</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où r _cest la position actuelle de la distribution de charge de la source et v sa vitesse.

Application

Une source en mouvement émet un signal à intervalles réguliers. Comme le signal se propage à une vitesse finie, un détecteur ne le détectera qu'après un certain temps.

Il est peut-être surprenant que les champs électromagnétiques et les forces agissant sur les charges dépendent de leur histoire, et non de leur séparation mutuelle. Le calcul des champs électromagnétiques à un instant donné inclut les intégrales de la densité de charge ρ( r' , t _r ) et de la densité de courant J ( r' , t _r ) en utilisant les temps retardés et les positions des sources. Cette quantité est importante en électrodynamique , en théorie du rayonnement électromagnétique et dans la théorie de l'absorbeur de Wheeler-Feynman , car l'histoire de la distribution de charge affecte les champs à des instants ultérieurs.