Densité de courant

En électromagnétisme , la densité de courant est la quantité de charge par unité de temps qui traverse une unité de surface d'une section transversale choisie . Le vecteur de densité de courant est défini comme un vecteur dont la grandeur est le courant électrique par surface de section transversale en un point donné de l'espace, sa direction étant celle du mouvement des charges positives en ce point. Dans les unités de base du SI , la densité de courant électrique est mesurée en ampères par mètre carré .

Définition

Supposons que A (unité SI : m ² ) est une petite surface centrée en un point donné M et orthogonale au mouvement des charges en M . Si I _A (unité SI : A ) est le courant électrique qui traverse A , alors la densité de courant électrique j en M est donnée par la limite :

${\displaystyle j=\lim _{A o 0}{\frac {I_{A}}{A}}=\left.{\frac {\partial I}{\partial A}} ight|_{A=0}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>lim</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mo>→</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mi>A</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mo></mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>A</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mrow> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle j=\lim _{A o 0}{\frac {I_{A}}{A}}=\left.{\frac {\partial I}{\partial A}} ight|_{A=0},}</annotation> </semantics> </math><img src=$

avec la surface A restant centrée en M et orthogonale au mouvement des charges pendant le processus limite.

Le vecteur de densité de courant j est le vecteur dont la norme est la densité de courant électrique et dont la direction est la même que le mouvement des charges positives en M.

A un instant t donné , si v est la vitesse des charges en M , et dA est une surface infinitésimale centrée en M et orthogonale à v , alors pendant un laps de temps dt , seule la charge contenue dans le volume formé par dA et va circuler à travers dA . Cette charge est égale à où ρ est la densité de charge en M. Le courant électrique est , il s'ensuit que le vecteur densité de courant est le vecteur normal (c'est-à-dire parallèle à v ) et de grandeur ${\displaystyle v\,dt <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>v</mi> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle v\,dt}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle dq= ho \,v\,dt\,dA, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>ρ</mi> <mspace></mspace> <mi>v</mi> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>A</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle dq= ho \,v\,dt\,dA,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle dI=dq/dt= ho vdA <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mi>q</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>ρ</mi> <mi>v</mi> <mi>d</mi> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle dI=dq/dt= ho vdA}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle dA <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle dA}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle dI/dA= ho v <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mi>I</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mi>ρ</mi> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle dI/dA= ho v}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle \mathbf {j} = ho \mathbf {v} . <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>ρ</mi> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {j} = ho \mathbf {v} .}</annotation> </semantics> </math><img src=$

L' intégrale de surface de j sur une surface S , suivie d'une intégrale sur la durée t ₁ à t ₂ , donne la quantité totale de charge circulant à travers la surface pendant cette durée ( t ₂ − t ₁ ) :

${\displaystyle q=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA\,dt. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <msub> <mo>∬</mo> <mrow> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mi>n</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>A</mi> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle q=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA\,dt.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Plus succinctement, il s'agit de l'intégrale du flux de j à travers S entre t ₁ et t ₂ .

L' aire nécessaire au calcul du flux est réelle ou imaginaire, plane ou courbe, soit sous forme d'aire de section, soit sous forme de surface. Par exemple, pour des porteurs de charge traversant un conducteur électrique , l'aire est la section du conducteur, au niveau de la section considérée.

L' aire vectorielle est une combinaison de la grandeur de l'aire traversée par les porteurs de charge, A , et d'un vecteur unitaire normal à l'aire, La relation est ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} . <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>n</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} .}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} . <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mrow> <mrow> <mover> <mi>n</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} .}</annotation> </semantics> </math><img src=$

L'aire vectorielle différentielle découle également de la définition donnée ci-dessus : ${\displaystyle d\mathbf {A} =dA\mathbf {\hat {n}} . <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mi>A</mi> <mrow> <mrow> <mover> <mi>n</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d\mathbf {A} =dA\mathbf {\hat {n}} .}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Si la densité de courant j traverse la zone sous un angle θ par rapport à la normale à la zone, alors ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} , <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>n</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} ,}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} =j\cos heta <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mi>n</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>j</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} =j\cos heta }</annotation> </semantics> </math><img src=$

où ⋅ est le produit scalaire des vecteurs unitaires. Autrement dit, la composante de la densité de courant passant à travers la surface (c'est-à-dire normale à celle-ci) est j cos θ , tandis que la composante de la densité de courant passant tangentiellement à la surface est j sin θ , mais il n'y a pas de densité de courant passant réellement à travers la surface dans la direction tangentielle. La seule composante de la densité de courant passant normalement à la surface est la composante cosinus.

Importance

La densité de courant est importante pour la conception des systèmes électriques et électroniques .

Les performances des circuits dépendent fortement du niveau de courant prévu, et la densité de courant est alors déterminée par les dimensions des éléments conducteurs. Par exemple, à mesure que les circuits intégrés sont de plus en plus petits, malgré le courant plus faible demandé par les appareils plus petits, on observe une tendance vers des densités de courant plus élevées pour obtenir un nombre plus élevé d'appareils dans des zones de puces toujours plus petites . Voir la loi de Moore .

À haute fréquence, la zone conductrice d'un fil se retrouve confinée près de sa surface, ce qui augmente la densité de courant dans cette zone. C'est ce qu'on appelle l' effet de peau .

Les densités de courant élevées ont des conséquences indésirables. La plupart des conducteurs électriques ont une résistance finie et positive , ce qui les oblige à dissiper de l'énergie sous forme de chaleur. La densité de courant doit être maintenue suffisamment basse pour éviter que le conducteur ne fonde ou ne brûle, que le matériau isolant ne se détériore ou que les propriétés électriques souhaitées ne changent. À des densités de courant élevées, le matériau formant les interconnexions se déplace, un phénomène appelé électromigration . Dans les supraconducteurs, une densité de courant excessive peut générer un champ magnétique suffisamment puissant pour provoquer une perte spontanée de la propriété supraconductrice.

L'analyse et l'observation de la densité de courant sont également utilisées pour sonder la physique sous-jacente à la nature des solides, y compris non seulement les métaux, mais aussi les semi-conducteurs et les isolants. Un formalisme théorique élaboré s'est développé pour expliquer de nombreuses observations fondamentales.

La densité de courant est un paramètre important dans la loi des circuits d'Ampère (une des équations de Maxwell ), qui relie la densité de courant au champ magnétique .

Dans la théorie de la relativité restreinte , la charge et le courant sont combinés en un vecteur à 4 dimensions .

Calcul des densités de courant dans la matière

Courants libres

Les porteurs de charge qui sont libres de se déplacer constituent une densité de courant libre , donnée par des expressions telles que celles de cette section.

Le courant électrique est une quantité moyenne grossière qui indique ce qui se passe dans un fil entier. À la position r à l'instant t , la distribution de la charge qui circule est décrite par la densité de courant :

${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)= ho (\mathbf {r} ,t)\;\mathbf {v} _{ ext{d}}(\mathbf {r} ,t) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>ρ</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mspace></mspace> <msub> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mtext>d</mtext> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)= ho (\mathbf {r} ,t)\;\mathbf {v} _{ ext{d}}(\mathbf {r} ,t)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

où

j ( r , t ) est le vecteur de densité de courant ;
v _d ( r , t ) est la vitesse moyenne de dérive des particules(unité SI : m ∙ s ⁻¹ );
est la densité de charge (unité SI : coulombs par mètre cube ), dans laquelle
- n ( r , t ) est le nombre de particules par unité de volume (« densité numérique ») (unité SI : m⁻³ );
- q est la charge des particules individuelles de densité n (unité SI : coulombs ).

Une approximation courante de la densité de courant suppose que le courant est simplement proportionnel au champ électrique, comme exprimé par :

${\displaystyle \mathbf {j} =\sigma \mathbf {E} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>σ</mi> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {j} =\sigma \mathbf {E} }</annotation> </semantics> </math><img src=$

où E est le champ électrique et σ est la conductivité électrique .

La conductivité σ est l' inverse de la résistivité électrique et ses unités SI sont des siemens par mètre (S⋅m ⁻¹ ), et E ses unités SI sont des newtons par coulomb (N⋅C ⁻¹) ou, de manière équivalente, des volts par mètre (V⋅m ⁻¹ ).

Une approche plus fondamentale du calcul de la densité de courant est basée sur : ${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{t}\left[\int _{V}\sigma (\mathbf {r} -\mathbf {r} ',t-t')\;\mathbf {E} (\mathbf {r} ',t')\;{ ext{d}}^{3}\mathbf {r} '\, ight]{ ext{d}}t' <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mi>∞</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <msub> <mo>∫</mo> <mrow> <mi>V</mi> </mrow> </msub> <mi>σ</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <msup> <mi>t</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>)</mo> <mspace></mspace> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>t</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>)</mo> <mspace></mspace> <msup> <mrow> <mtext>d</mtext> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msup> <mspace></mspace> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mrow> <mtext>d</mtext> </mrow> <msup> <mi>t</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{t}\left[\int _{V}\sigma (\mathbf {r} -\mathbf {r} ',t-t')\;\mathbf {E} (\mathbf {r} ',t')\;{ ext{d}}^{3}\mathbf {r} '\, ight]{ ext{d}}t'}</annotation> </semantics> </math><img src=$

indiquant le retard de réponse par la dépendance temporelle de σ , et la nature non locale de la réponse au champ par la dépendance spatiale de σ , tous deux calculés en principe à partir d'une analyse microscopique sous-jacente, par exemple, dans le cas de champs suffisamment petits, la fonction de réponse linéaire pour le comportement conducteur dans le matériau. Voir, par exemple, Giuliani & Vignale (2005) ou Rammer (2007). L'intégrale s'étend sur toute l'histoire passée jusqu'à l'heure actuelle.

La conductivité ci-dessus et la densité de courant associée reflètent les mécanismes fondamentaux sous-jacents au transport de charge dans le milieu, à la fois dans le temps et sur la distance.

Une transformée de Fourier dans l'espace et le temps donne alors : ${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {k} ,\omega )=\sigma (\mathbf {k} ,\omega )\;\mathbf {E} (\mathbf {k} ,\omega ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>ω</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>σ</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>ω</mi> <mo>)</mo> <mspace></mspace> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>ω</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {k} ,\omega )=\sigma (\mathbf {k} ,\omega )\;\mathbf {E} (\mathbf {k} ,\omega )}</annotation> </semantics> </math><img src=$

où σ ( k , ω ) est maintenant une fonction complexe .

Dans de nombreux matériaux, par exemple dans les matériaux cristallins, la conductivité est un tenseur et le courant n'est pas nécessairement dans la même direction que le champ appliqué. Outre les propriétés des matériaux eux-mêmes, l'application de champs magnétiques peut modifier le comportement conducteur.

Courants de polarisation et de magnétisation

Les courants apparaissent dans les matériaux lorsqu'il existe une distribution de charge non uniforme.

Dans les matériaux diélectriques , il existe une densité de courant correspondant au mouvement net des moments dipolaires électriques par unité de volume, c'est-à-dire la polarisation P :

${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {P} }={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {P} }={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

De même, avec les matériaux magnétiques , les circulations des moments dipolaires magnétiques par unité de volume, c'est-à-dire l' aimantation M , conduisent à des courants d'aimantation :

${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {M} }= abla imes \mathbf {M} <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>∇</mi> <mo>×</mo> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {M} }= abla imes \mathbf {M} }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Ensemble, ces termes s'additionnent pour former la densité de courant liée dans le matériau (courant résultant des mouvements des moments dipolaires électriques et magnétiques par unité de volume) :

${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {b} }=\mathbf {j} _{\mathrm {P} }+\mathbf {j} _{\mathrm {M} <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {b} }=\mathbf {j} _{\mathrm {P} }+\mathbf {j} _{\mathrm {M} }}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Courant total dans les matériaux

Le courant total est simplement la somme des courants libres et liés : ${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} _{\mathrm {f} }+\mathbf {j} _{\mathrm {b} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>f</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} _{\mathrm {f} }+\mathbf {j} _{\mathrm {b} }}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Courant de déplacement

Il existe également un courant de déplacement correspondant au champ de déplacement électrique variable dans le temps D :

${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {D} }={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>D</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>D</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {D} }={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

qui est un terme important dans la loi des circuits d'Ampère , l'une des équations de Maxwell, puisque l'absence de ce terme ne permettrait pas de prédire la propagation des ondes électromagnétiques , ni l'évolution temporelle des champs électriques en général.

Équation de continuité

La charge étant conservée, la densité de courant doit satisfaire une équation de continuité . Voici une dérivation à partir des premiers principes.

Le flux net sortant d'un volume V (qui peut avoir une forme arbitraire mais fixée pour le calcul) doit être égal à la variation nette de la charge contenue à l'intérieur du volume :

${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} }=-{\frac {d}{dt}}\int _{V}{ ho \;dV}=-\int _{V}{{\frac {\partial ho }{\partial t}}\;dV <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mo>∫</mo> <mrow> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mo>∫</mo> <mrow> <mi>V</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mi>ρ</mi> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>V</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow> <mi>V</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>ρ</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>V</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \int _{S}{\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} }=-{\frac {d}{dt}}\int _{V}{ ho \;dV}=-\int _{V}{{\frac {\partial ho }{\partial t}}\;dV}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

où ρ est la densité de charge et d A est un élément de surface de la surface S entourant le volume V . L'intégrale de surface à gauche exprime le flux de courant sortant du volume et l' intégrale de volume à droite, signée négativement, exprime la diminution de la charge totale à l'intérieur du volume. D'après le théorème de divergence :

${\displaystyle \oint _{S}{\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} }=\int _{V}{{\boldsymbol { abla }}\cdot \mathbf {j} \;dV <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mo>∮</mo> <mrow> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow> <mi>V</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mrow> <mi>∇</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>V</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \oint _{S}{\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} }=\int _{V}{{\boldsymbol { abla }}\cdot \mathbf {j} \;dV}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Ainsi:

${\displaystyle \int _{V}{{\boldsymbol { abla }}\cdot \mathbf {j} \;dV}\ =-\int _{V}{{\frac {\partial ho }{\partial t}}\;dV <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mo>∫</mo> <mrow> <mi>V</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mrow> <mi>∇</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>V</mi> </mrow> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow> <mi>V</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>ρ</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>V</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \int _{V}{{\boldsymbol { abla }}\cdot \mathbf {j} \;dV}\ =-\int _{V}{{\frac {\partial ho }{\partial t}}\;dV}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Cette relation est valable pour tout volume, indépendamment de sa taille ou de son emplacement, ce qui implique que :

${\displaystyle abla \cdot \mathbf {j} =-{\frac {\partial ho }{\partial t <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>∇</mi> <mo>⋅</mo> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>ρ</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle abla \cdot \mathbf {j} =-{\frac {\partial ho }{\partial t}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

et cette relation est appelée l' équation de continuité .

En pratique

Dans le câblage électrique , la densité de courant maximale (pour une température nominale donnée ) peut varier de 4 A⋅mm ⁻² pour un fil sans circulation d'air autour de lui, à plus de 6 A⋅mm ⁻² pour un fil à l'air libre. Les réglementations pour le câblage des bâtiments répertorient le courant maximal autorisé de chaque taille de câble dans différentes conditions. Pour les conceptions compactes, telles que les enroulements des transformateurs SMPS , la valeur peut être aussi basse que 2 A⋅mm ⁻² . Si le fil transporte des courants alternatifs à haute fréquence , l' effet de peau peut affecter la distribution du courant sur la section en concentrant le courant sur la surface du conducteur . Dans les transformateurs conçus pour les hautes fréquences, la perte est réduite si du fil de Litz est utilisé pour les enroulements. Il est constitué de plusieurs fils isolés en parallèle avec un diamètre deux fois supérieur à la profondeur de la peau . Les brins isolés sont torsadés ensemble pour augmenter la surface totale de la peau et réduire la résistance due aux effets de peau.

Pour les couches supérieure et inférieure des circuits imprimés , la densité de courant maximale peut atteindre 35 A⋅mm ⁻² avec une épaisseur de cuivre de 35 μm. Les couches internes ne peuvent pas dissiper autant de chaleur que les couches externes ; les concepteurs de circuits imprimés évitent de placer des traces de courant élevé sur les couches internes.

Dans le domaine des semi-conducteurs , les densités de courant maximales pour différents éléments sont données par le fabricant. Le dépassement de ces limites pose les problèmes suivants :

L' effet Joule qui augmente la température du composant.
L' effet d'électromigration qui va éroder l'interconnexion et éventuellement provoquer un circuit ouvert.
L' effet de diffusion lente qui, s'il est exposé en permanence à des températures élevées, déplace les ions métalliques et les dopants de leur emplacement. Cet effet est également synonyme de vieillissement.

Le tableau suivant donne une idée de la densité de courant maximale pour divers matériaux.

Même si les fabricants ajoutent une marge à leurs chiffres, il est recommandé de doubler au moins la section calculée pour améliorer la fiabilité, surtout pour l'électronique de haute qualité. On peut également noter l'importance de garder les appareils électroniques au frais pour éviter de les exposer à l'électromigration et à la diffusion lente .

Dans les organismes biologiques , les canaux ioniques régulent le flux d' ions (par exemple, sodium , calcium , potassium ) à travers la membrane de toutes les cellules . On suppose que la membrane d'une cellule agit comme un condensateur. Les densités de courant sont généralement exprimées en pA⋅pF ⁻¹ ( pico ampères par pico farad ) (c'est-à-dire le courant divisé par la capacité ). Il existe des techniques permettant de mesurer empiriquement la capacité et la surface des cellules, ce qui permet de calculer les densités de courant pour différentes cellules. Cela permet aux chercheurs de comparer les courants ioniques dans des cellules de différentes tailles.

Dans les lampes à décharge de gaz , telles que les lampes flash , la densité de courant joue un rôle important dans le spectre de sortie produit. Les faibles densités de courant produisent une émission de ligne spectrale et ont tendance à favoriser les longueurs d'onde plus longues . Les densités de courant élevées produisent une émission continue et ont tendance à favoriser les longueurs d'onde plus courtes. Les faibles densités de courant pour les lampes flash sont généralement d'environ 10 A⋅mm ⁻² . Les densités de courant élevées peuvent être supérieures à 40 A⋅mm ⁻² .