Quadrivecteur

dans l'espace-temps modélisé comme l'espace de Minkowski , le quadrivecteur d'impulsion d'une particule , l'amplitude du quadripotentiel électromagnétique ( x ) en un point (comme dans les exemples précédents), considéré comme un vecteur colonne dont les composantes ont des coordonnées cartésiennes par rapport à un repère inertiel , est donnée par :

{\displaystyle X'=\Lambda X, <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>X</mi><mo>′</mo></msup><mo>=</mo><mi>Λ</mi><mi>X</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X'=\Lambda X,}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle X'=\left(\Lambda ^{-1} ight)^{ extrm {T}}X, <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>X</mi><mo>′</mo></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mo>(</mo><msup><mi>Λ</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mrow><mrow><mrow><mtext>T</mtext></mrow></mrow></msup><mi>X</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X'=\left(\Lambda ^{-1} ight)^{ extrm {T}}X,}</annotation></semantics></math></span><img src=

Pour un exemple d'objet à quatre composantes bien défini en relativité restreinte qui n'est pas un quadrivecteur, voir le spineur de Dirac . Sa définition est similaire, la différence étant que sa règle de transformation sous les transformations de Lorentz est donnée par une représentation autre que la représentation standard. Dans ce cas, la règle s'écrit = Π(Λ) X , où . Des remarques similaires s'appliquent aux objets ayant moins ou plus de composantes qui se comportent bien sous les transformations de Lorentz. Il s'agit notamment des scalaires , des spineurs , des tenseurs et des tenseurs-spineurs.

Cet article examine les quadrivecteurs dans le cadre de la relativité restreinte. Bien que le concept de quadrivecteurs s'étende également à la relativité générale , certains résultats présentés ici nécessitent des modifications en relativité générale.

Dans la configuration standard , où le repère primé a une vitesse le long de l'axe x positif, la transformation des quatre vecteurs est : ${\displaystyle X'={\begin{bmatrix}{\gamma (u)}&{-\gamma (u){\frac {u}{c^{2}}}}&{0}&{0}\\{-\gamma (u)u}&{\gamma (u)}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}}X, <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>X</mi><mo>′</mo></msup><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>[</mo><mtable><mtr><mtd><mrow><mi>γ</mi><mo>(</mo><mi>vous</mi><mo>)</mo></mrow></mtd><mtd><mrow><mo>−</mo><mi>γ</mi><mo>(</mo><mi>vous</mi><mo>)</mo><mrow><mfrac><mi>vous</mi><msup><mi>c</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow></mrow></mtd><mtd><mrow><mn>0</mn></mrow></mtd><mtd><mrow><mn>0</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>−</mo><mi>γ</mi><mo>(</mo><mi>vous</mi><mo>)</mo><mi>vous</mi></mrow></mtd><mtd><mrow><mi>γ</mi><mo>(</mo><mi>vous</mi><mo>)</mo></mrow></mtd><mtd><mrow><mn>0</mn></mrow></mtd><mtd><mrow><mn>0</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mn>0</mn></mrow></mtd><mtd><mrow><mn>0</mn></mrow></mtd><mtd><mrow><mn>1</mn></mrow></mtd><mtd><mrow><mn>0</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mn>0</mn></mrow></mtd><mtd><mrow><mn>0</mn></mrow></mtd><mtd><mrow><mn>0</mn></mrow></mtd><mtd><mrow><mn>1</mn></mrow></mtd></mtr></mtable><mo>]</mo></mrow></mrow><mi>X</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X'={\begin{bmatrix}{\gamma (u)}&{-\gamma (u){\frac {u}{c^{2}}}}&{0}&{0}\\{-\gamma (u)u}&{\gamma (u)}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}}X,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle X'={\begin{bmatrix}{\gamma (u)}&{-\gamma (u){\frac {u}{c}}}&{0}&{0}\\{-\gamma (u){\frac {u}{c}}}&{\gamma (u)}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}}X, <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>X</mi><mo>′</mo></msup><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>[</mo><mtable><mtr><mtd><mrow><mi>γ</mi><mo>(</mo><mi>vous</mi><mo>)</mo></mrow></mtd><mtd><mrow><mo>−</mo><mi>γ</mi><mo>(</mo><mi>vous</mi><mo>)</mo><mrow><mfrac><mi>vous</mi><mi>c</mi></mfrac></mrow></mrow></mtd><mtd><mrow><mn>0</mn></mrow></mtd><mtd><mrow><mn>0</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>−</mo><mi>γ</mi><mo>(</mo><mi>vous</mi><mo>)</mo><mrow><mfrac><mi>vous</mi><mi>c</mi></mfrac></mrow></mrow></mtd><mtd><mrow><mi>γ</mi><mo>(</mo><mi>vous</mi><mo>)</mo></mrow></mtd><mtd><mrow><mn>0</mn></mrow></mtd><mtd><mrow><mn>0</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mn>0</mn></mrow></mtd><mtd><mrow><mn>0</mn></mrow></mtd><mtd><mrow><mn>1</mn></mrow></mtd><mtd><mrow><mn>0</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mn>0</mn></mrow></mtd><mtd><mrow><mn>0</mn></mrow></mtd><mtd><mrow><mn>0</mn></mrow></mtd><mtd><mrow><mn>1</mn></mrow></mtd></mtr></mtable><mo>]</mo></mrow></mrow><mi>X</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X'={\begin{bmatrix}{\gamma (u)}&{-\gamma (u){\frac {u}{c}}}&{0}&{0}\\{-\gamma (u){\frac {u}{c}}}&{\gamma (u)}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}}X,}</annotation></semantics></math><img src=$ les événements sont écrits ou , respectivement).

Notation

Les notations utilisées dans cet article sont les suivantes : caractères gras minuscules pour les vecteurs tridimensionnels , chapeaux pour les vecteurs unitaires tridimensionnels , caractères gras majuscules pour les vecteurs quadridimensionnels (à l’exception de l’opérateur de gradient à quatre dimensions) et notation d’indice tensoriel .

Algèbre à quatre vecteurs

Quadrivecteurs dans une base réelle

Un quadrivecteur A est un vecteur avec une composante « temporelle » et trois composantes « spatiales », et peut être écrit dans diverses notations équivalentes : ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3} ight)\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{1}\mathbf {E} _{1}+A^{2}\mathbf {E} _{2}+A^{3}\mathbf {E} _{3}\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{i}\mathbf {E} _{i}\\&=A^{\alpha }\mathbf {E} _{\alpha }\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mi>UN</mi></mrow></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mspace></mspace><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mspace></mspace><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mspace></mspace><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msup><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3} ight)\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{1}\mathbf {E} _{1}+A^{2}\mathbf {E} _{2}+A^{3}\mathbf {E} _{3}\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{i}\mathbf {E} _{i}\\&=A^{\alpha }\mathbf {E} _{\alpha }\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$ composantes du vecteur.

Les indices supérieurs indiquent les composantes contravariantes . Par convention, les indices latins prennent les valeurs des composantes spatiales ( ) et les indices grecs celles des composantes temporelles et spatiales ( , conformément à la convention de sommation . Cette distinction entre composantes temporelles et spatiales est utile pour déterminer les contractions d'un quadrivecteur avec d'autres tenseurs, notamment pour le calcul des invariants de Lorentz dans les produits scalaires (voir exemples ci-dessous), ou pour l'élévation et l'abaissement des indices .

En relativité restreinte, la base spatiale , , et les composantes , , sont souvent une base et des composantes cartésiennes : ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A_{t},\,A_{x},\,A_{y},\,A_{z} ight)\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{x}\mathbf {E} _{x}+A_{y}\mathbf {E} _{y}+A_{z}\mathbf {E} _{z}\\\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mi>UN</mi></mrow></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>y</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>z</mi></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>y</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>y</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>z</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A_{t},\,A_{x},\,A_{y},\,A_{z} ight)\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{x}\mathbf {E} _{x}+A_{y}\mathbf {E} _{y}+A_{z}\mathbf {E} _{z}\\\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A_{t},\,A_{r},\,A_{ heta },\,A_{\phi } ight)\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{r}\mathbf {E} _{r}+A_{ heta }\mathbf {E} _{ heta }+A_{\phi }\mathbf {E} _{\phi }\\\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mi>UN</mi></mrow></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>ϕ</mi></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>ϕ</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>ϕ</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A_{t},\,A_{r},\,A_{ heta },\,A_{\phi } ight)\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{r}\mathbf {E} _{r}+A_{ heta }\mathbf {E} _{ heta }+A_{\phi }\mathbf {E} _{\phi }\\\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{t},\,A_{r},\,A_{ heta },\,A_{z})\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{r}\mathbf {E} _{r}+A_{ heta }\mathbf {E} _{ heta }+A_{z}\mathbf {E} _{z}\\\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mi>UN</mi></mrow></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>z</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>z</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{t},\,A_{r},\,A_{ heta },\,A_{z})\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{r}\mathbf {E} _{r}+A_{ heta }\mathbf {E} _{ heta }+A_{z}\mathbf {E} _{z}\\\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$ diagramme d'espace-temps ). Dans cet article, les quadrivecteurs seront simplement appelés vecteurs.

Il est également d'usage de représenter les bases par des vecteurs colonnes : ${\displaystyle \mathbf {E} _{0}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{1}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix <semantics><mrow><mstyle><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow><mspace></mspace><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow><mspace></mspace><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow><mspace></mspace><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>\mathbf{E}_{0}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf{E}_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf{E}_{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf{E}_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>UN</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}</annotation></semantics></math><img src=$

La relation entre les coordonnées covariantes et contravariantes passe par le tenseur métrique de Minkowski (appelé la métrique), qui élève et abaisse les indices comme suit : ${\displaystyle A_{\mu }=\eta _{\mu u }A^{ u }\,, <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>η</mi><mrow><mi>μ</mi><mi>ν</mi></mrow></msub><msup><mi>UN</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msup><mspace></mspace><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A_{\mu }=\eta _{\mu u }A^{ u }\,,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{0},\,A_{1},\,A_{2},\,A_{3})\\&=A_{0}\mathbf {E} ^{0}+A_{1}\mathbf {E} ^{1}+A_{2}\mathbf {E} ^{2}+A_{3}\mathbf {E} ^{3}\\&=A_{0}\mathbf {E} ^{0}+A_{i}\mathbf {E} ^{i}\\&=A_{\alpha }\mathbf {E} ^{\alpha }\\\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mi>UN</mi></mrow></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>je</mi></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{0},\,A_{1},\,A_{2},\,A_{3})\\&=A_{0}\mathbf {E} ^{0}+A_{1}\mathbf {E} ^{1}+A_{2}\mathbf {E} ^{2}+A_{3}\mathbf {E} ^{3}\\&=A_{0}\mathbf {E} ^{0}+A_{i}\mathbf {E} ^{i}\\&=A_{\alpha }\mathbf {E} ^{\alpha }\\\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Les bases peuvent être représentées par des vecteurs lignes : ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {E} ^{1}&={\begin{pmatrix}0&1&0&0\end{pmatrix}}\,,\\[1ex]\mathbf {E} ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {E} ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix}},\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msup></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow><mspace></mspace><mo>,</mo></mtd><mtd><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow><mspace></mspace><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow><mspace></mspace><mo>,</mo></mtd><mtd><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {E} ^{1}&={\begin{pmatrix}0&1&0&0\end{pmatrix}}\,,\\[1ex]\mathbf {E} ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {E} ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix}},\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>UN</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix}}}</annotation></semantics></math><img src=$

La motivation de ces conventions est que le produit scalaire est un scalaire ; voir ci-dessous pour plus de détails.

Transformation de Lorentz

{\displaystyle \mathbf {A} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {A} <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>UN</mi></mrow><mo>′</mo></msup><mo>=</mo><mrow><mi>Λ</mi></mrow><mrow><mi>UN</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {A} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {A} }</annotation></semantics></math></span><img src=

En notation indicielle, les composantes contravariantes et covariantes se transforment respectivement selon : ${\displaystyle {A'}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{ u }A^{ u }\,,\quad {A'}_{\mu }=\Lambda _{\mu }{}^{ u }A_{ u <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><msup><mi>UN</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mi>μ</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mi>Λ</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msup><msub><mrow></mrow><mrow><mi>ν</mi></mrow></msub><msup><mi>UN</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msup><mspace></mspace><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mrow><msup><mi>UN</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mi>μ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>Λ</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msub><msup><mrow></mrow><mrow><mi>ν</mi></mrow></msup><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {A'}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{ u }A^{ u }\,,\quad {A'}_{\mu }=\Lambda _{\mu }{}^{ u }A_{ u }}</annotation></semantics></math><img src=$

Pour plus d'informations sur la nature de cette définition de transformation, voir tenseur . Tous les quadrivecteurs se transforment de la même manière, et cela peut être généralisé aux tenseurs relativistes à quatre dimensions ; voir relativité restreinte .

Rotations pures autour d'un axe arbitraire

Pour deux repères pivotés d'un angle fixe autour d'un axe défini par le vecteur unitaire : ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}=\left({\hat {n}}_{1},{\hat {n}}_{2},{\hat {n}}_{3} ight)\,, <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mrow><mi>n</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mrow><mrow><mover><mi>n</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mrow><mover><mi>n</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mrow><mover><mi>n</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mspace></mspace><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}=\left({\hat {n}}_{1},{\hat {n}}_{2},{\hat {n}}_{3} ight)\,,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{00}&=1\\\Lambda _{0i}=\Lambda _{i0}&=0\\\Lambda _{ij}&=\left(\delta _{ij}-{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j} ight)\cos heta -\varepsilon _{ijk}{\hat {n}}_{k}\sin heta +{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j}\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>Λ</mi><mrow><mn>00</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>Λ</mi><mrow><mn>0</mn><mi>je</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>Λ</mi><mrow><mi>je</mi><mn>0</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>Λ</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mrow><mrow><mover><mi>n</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mover><mi>n</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>−</mo><msub><mi>ε</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mover><mi>n</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>+</mo><msub><mrow><mrow><mover><mi>n</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mover><mi>n</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{00}&=1\\\Lambda _{0i}=\Lambda _{i0}&=0\\\Lambda _{ij}&=\left(\delta _{ij}-{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j} ight)\cos heta -\varepsilon _{ijk}{\hat {n}}_{k}\sin heta +{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j}\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Dans le cas des rotations autour de l' axe z uniquement, la partie spatiale de la matrice de Lorentz se réduit à la matrice de rotation autour de l' axe z : ${\displaystyle {\begin{pmatrix}{A'}^{0}\\{A'}^{1}\\{A'}^{2}\\{A'}^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos heta &-\sin heta &0\\0&\sin heta &\cos heta &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}\ . <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><msup><mrow><msup><mi>UN</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><msup><mi>UN</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><msup><mi>UN</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><msup><mi>UN</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mtd><mtd><mo>−</mo><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mi>péché</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mtd><mtd><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow><mtext> </mtext><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{pmatrix}{A'}^{0}\\{A'}^{1}\\{A'}^{2}\\{A'}^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos heta &-\sin heta &0\\0&\sin heta &\cos heta &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}\ .}</annotation></semantics></math><img src=$

Boosts purs dans toutes les directions

Pour deux référentiels se déplaçant à une vitesse relative constante de trois dimensions (et non de quatre dimensions, voir ci-dessous ), il est commode de noter et de définir la vitesse relative en unités de par : ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=(\beta _{1},\,\beta _{2},\,\beta _{3})={\frac {1}{c}}(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})={\frac {1}{c}}\mathbf {v} \,. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>β</mi></mrow><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>β</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mi>β</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mi>β</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>c</mi></mfrac></mrow><mo>(</mo><msub><mi>v</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mi>v</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mi>v</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>c</mi></mfrac></mrow><mrow><mi>v</mi></mrow><mspace></mspace><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=(\beta _{1},\,\beta _{2},\,\beta _{3})={\frac {1}{c}}(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})={\frac {1}{c}}\mathbf {v} \,.}</annotation></semantics></math><img src=$

Alors, sans rotations, la matrice a des composantes données par : ${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{00}&=\gamma ,\\\Lambda _{0i}=\Lambda _{i0}&=-\gamma \beta _{i},\\\Lambda _{ij}=\Lambda _{ji}&=(\gamma -1){\frac {\beta _{i}\beta _{j}}{\beta ^{2}}}+\delta _{ij}=(\gamma -1){\frac {v_{i}v_{j}}{v^{2}}}+\delta _{ij},\\\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mi>Λ</mi><mrow><mn>00</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mi>γ</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>Λ</mi><mrow><mn>0</mn><mi>je</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>Λ</mi><mrow><mi>je</mi><mn>0</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>γ</mi><msub><mi>β</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>Λ</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>Λ</mi><mrow><mi>j</mi><mi>je</mi></mrow></msub></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>γ</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mrow><mfrac><mrow><msub><mi>β</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><msub><mi>β</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow><msup><mi>β</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>+</mo><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>γ</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mrow><mfrac><mrow><msub><mi>v</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub><msub><mi>v</mi><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow><msup><mi>v</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>+</mo><msub><mi>δ</mi><mrow><mi>je</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{00}&=\gamma ,\\\Lambda _{0i}=\Lambda _{i0}&=-\gamma \beta _{i},\\\Lambda _{ij}=\Lambda _{ji}&=(\gamma -1){\frac {\beta _{i}\beta _{j}}{\beta ^{2}}}+\delta _{ij}=(\gamma -1){\frac {v_{i}v_{j}}{v^{2}}}+\delta _{ij},\\\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}}}\,, <semantics><mrow><mstyle><mi>γ</mi><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mi>β</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>β</mi></mrow></msqrt></mfrac></mrow><mspace></mspace><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}}}\,,}</annotation></semantics></math><img src=$

Dans le cas d'une accélération uniquement dans la direction x , la matrice se réduit à ; ${\displaystyle {\begin{pmatrix}A'^{0}\\A'^{1}\\A'^{2}\\A'^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi &0&0\\-\sinh \phi &\cosh \phi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mo>′</mo><mrow><mn>0</mn></mrow></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mo>′</mo><mrow><mn>1</mn></mrow></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mo>′</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mo>′</mo><mrow><mn>3</mn></mrow></mrow></msup></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><mi>matraque</mi><mo>⁡</mo><mi>ϕ</mi></mtd><mtd><mo>−</mo><mi>sinh</mi><mo>⁡</mo><mi>ϕ</mi></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mi>sinh</mi><mo>⁡</mo><mi>ϕ</mi></mtd><mtd><mi>matraque</mi><mo>⁡</mo><mi>ϕ</mi></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{pmatrix}A'^{0}\\A'^{1}\\A'^{2}\\A'^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi &0&0\\-\sinh \phi &\cosh \phi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Lorsque l' expression de la rapidité a été utilisée, écrite en termes de fonctions hyperboliques : ${\displaystyle \gamma =\cosh \phi . <semantics><mrow><mstyle><mi>γ</mi><mo>=</mo><mi>matraque</mi><mo>⁡</mo><mi>ϕ</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \gamma =\cosh \phi .}</annotation></semantics></math><img src=$

Cette matrice de Lorentz illustre que la transformation consiste en une rotation hyperbolique dans un espace-temps à quatre dimensions, analogue à la rotation circulaire ci-dessus dans l'espace à trois dimensions.

Propriétés

Linéarité

Les quadrivecteurs possèdent les mêmes propriétés de linéarité que les vecteurs euclidiens en trois dimensions . Ils peuvent être additionnés terme à terme de manière classique : ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &=\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3} ight)+\left(B^{0},B^{1},B^{2},B^{3} ight)\\&=\left(A^{0}+B^{0},A^{1}+B^{1},A^{2}+B^{2},A^{3}+B^{3} ight)\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mi>UN</mi></mrow><mo>+</mo><mrow><mi>B</mi></mrow></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>B</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>B</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>B</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>B</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>B</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>B</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>B</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>B</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &=\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3} ight)+\left(B^{0},B^{1},B^{2},B^{3} ight)\\&=\left(A^{0}+B^{0},A^{1}+B^{1},A^{2}+B^{2},A^{3}+B^{3} ight)\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$ λ est définie terme à terme par : ${\displaystyle \lambda \mathbf {A} =\lambda \left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3} ight)=\left(\lambda A^{0},\lambda A^{1},\lambda A^{2},\lambda A^{3} ight) <semantics><mrow><mstyle><mi>λ</mi><mrow><mi>UN</mi></mrow><mo>=</mo><mi>λ</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>λ</mi><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mi>λ</mi><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mi>λ</mi><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mi>λ</mi><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \lambda \mathbf {A} =\lambda \left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3} ight)=\left(\lambda A^{0},\lambda A^{1},\lambda A^{2},\lambda A^{3} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$

La soustraction est alors l'opération inverse de l'addition, définie terme à terme par : ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +(-1)\mathbf {B} &=\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3} ight)+(-1)\left(B^{0},B^{1},B^{2},B^{3} ight)\\&=\left(A^{0}-B^{0},A^{1}-B^{1},A^{2}-B^{2},A^{3}-B^{3} ight)\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mi>UN</mi></mrow><mo>+</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mrow><mi>B</mi></mrow></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>B</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>B</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>B</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>B</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>B</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>B</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>B</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>B</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +(-1)\mathbf {B} &=\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3} ight)+(-1)\left(B^{0},B^{1},B^{2},B^{3} ight)\\&=\left(A^{0}-B^{0},A^{1}-B^{1},A^{2}-B^{2},A^{3}-B^{3} ight)\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

tenseur de Minkowski

à deux quadrivecteurs et , et en écrivant le résultat sous forme de produit scalaire , on obtient, en utilisant la notation d'Einstein :

{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }B^{ u }\mathbf {E} _{\mu }\cdot \mathbf {E} _{ u }=A^{\mu }\eta _{\mu u }B^{ u <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>UN</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>B</mi></mrow><mo>=</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msup><msup><mi>B</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msup><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>μ</mi></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>ν</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msup><msub><mi>η</mi><mrow><mi>μ</mi><mi>ν</mi></mrow></msub><msup><mi>B</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }B^{ u }\mathbf {E} _{\mu }\cdot \mathbf {E} _{ u }=A^{\mu }\eta _{\mu u }B^{ u }}</annotation></semantics></math></span><img src=

En relativité restreinte, le produit scalaire des vecteurs de base est la métrique de Minkowski, contrairement au symbole de Kronecker utilisé dans l'espace euclidien. Il est commode de réécrire cette définition sous forme matricielle : ${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} ={\begin{pmatrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\eta _{00}&\eta _{01}&\eta _{02}&\eta _{03}\\\eta _{10}&\eta _{11}&\eta _{12}&\eta _{13}\\\eta _{20}&\eta _{21}&\eta _{22}&\eta _{23}\\\eta _{30}&\eta _{31}&\eta _{32}&\eta _{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>UN</mi><mo>⋅</mo><mi>B</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup></mtd><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mtd><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><msub><mi>η</mi><mrow><mn>00</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>η</mi><mrow><mn>01</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>η</mi><mrow><mn>02</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>η</mi><mrow><mn>03</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>η</mi><mrow><mn>10</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>η</mi><mrow><mn>11</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>η</mi><mrow><mn>12</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>η</mi><mrow><mn>13</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>η</mi><mrow><mn>20</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>η</mi><mrow><mn>21</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>η</mi><mrow><mn>22</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>η</mi><mrow><mn>23</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>η</mi><mrow><mn>30</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>η</mi><mrow><mn>31</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>η</mi><mrow><mn>32</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>η</mi><mrow><mn>33</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><msup><mi>B</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>B</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>B</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>B</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {A\cdot B} ={\begin{pmatrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\eta _{00}&\eta _{01}&\eta _{02}&\eta _{03}\\\eta _{10}&\eta _{11}&\eta _{12}&\eta _{13}\\\eta _{20}&\eta _{21}&\eta _{22}&\eta _{23}\\\eta _{30}&\eta _{31}&\eta _{32}&\eta _{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu u }B^{ u }=A_{ u }B^{ u }=A^{\mu }B_{\mu <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>UN</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>B</mi></mrow><mo>=</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msup><msub><mi>η</mi><mrow><mi>μ</mi><mi>ν</mi></mrow></msub><msup><mi>B</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msub><msup><mi>B</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msup><msub><mi>B</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu u }B^{ u }=A_{ u }B^{ u }=A^{\mu }B_{\mu }}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} &={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\begin{pmatrix}B_{0}&B_{1}&B_{2}&B_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mi>UN</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>B</mi></mrow></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><msup><mi>B</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>B</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>B</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>B</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><msub><mi>B</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>B</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>B</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>B</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} &={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\begin{pmatrix}B_{0}&B_{1}&B_{2}&B_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{\mu }\eta ^{\mu u }B_{ u <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>UN</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>B</mi></mrow><mo>=</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msub><msup><mi>η</mi><mrow><mi>μ</mi><mi>ν</mi></mrow></msup><msub><mi>B</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{\mu }\eta ^{\mu u }B_{ u }}</annotation></semantics></math><img src=$

En appliquant le tenseur de Minkowski à un quadrivecteur avec lui-même, on obtient : ${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =A^{\mu }\eta _{\mu u }A^{ u <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>UN</mi><mo>⋅</mo><mi>UN</mi></mrow><mo>=</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msup><msub><mi>η</mi><mrow><mi>μ</mi><mi>ν</mi></mrow></msub><msup><mi>UN</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =A^{\mu }\eta _{\mu u }A^{ u }}</annotation></semantics></math><img src=$

Voici deux choix courants pour le tenseur métrique dans la base canonique (essentiellement les coordonnées cartésiennes). Si l'on utilise des coordonnées orthogonales, des facteurs d'échelle apparaissent le long de la diagonale de la partie spatiale de la métrique, tandis que pour des coordonnées curvilignes générales, toute la partie spatiale de la métrique possède des composantes dépendant de la base curviligne utilisée.

Base standard, (+−−−) signature

La signature métrique , l'évaluation de la sommation sur les indices donne : ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3 <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>UN</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>B</mi></mrow><mo>=</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><msup><mi>B</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mi>B</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>B</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><msup><mi>B</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} ={\begin{pmatrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>UN</mi><mo>⋅</mo><mi>B</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup></mtd><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mtd><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><msup><mi>B</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>B</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>B</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>B</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {A\cdot B} ={\begin{pmatrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}}</annotation></semantics></math><img src=$

En relativité restreinte, il est récurrent de considérer l'expression suivante : ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}=C <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>UN</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>B</mi></mrow><mo>=</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><msup><mi>B</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mi>B</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>B</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><msup><mi>B</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mi>C</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}=C}</annotation></semantics></math><img src=$ C est la valeur du produit scalaire dans ce référentiel, et : ${\displaystyle \mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '={A'}^{0}{B'}^{0}-{A'}^{1}{B'}^{1}-{A'}^{2}{B'}^{2}-{A'}^{3}{B'}^{3}=C' <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>UN</mi></mrow><mo>′</mo></msup><mo>⋅</mo><msup><mrow><mi>B</mi></mrow><mo>′</mo></msup><mo>=</mo><msup><mrow><msup><mi>UN</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><msup><mrow><msup><mi>B</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mrow><msup><mi>UN</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mrow><msup><mi>B</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mrow><msup><mi>UN</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mrow><msup><mi>B</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mrow><msup><mi>UN</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><msup><mrow><msup><mi>B</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mi>C</mi><mo>′</mo></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '={A'}^{0}{B'}^{0}-{A'}^{1}{B'}^{1}-{A'}^{2}{B'}^{2}-{A'}^{3}{B'}^{3}=C'}</annotation></semantics></math><img src=$ C ′ représente la valeur du produit scalaire dans ce référentiel. Le produit scalaire étant un invariant, ces valeurs sont nécessairement égales. ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} ' <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>UN</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>B</mi></mrow><mo>=</mo><msup><mrow><mi>UN</mi></mrow><mo>′</mo></msup><mo>⋅</mo><msup><mrow><mi>B</mi></mrow><mo>′</mo></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}C&=A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}\\[2pt]&={A'}^{0}{B'}^{0}-{A'}^{1}{B'}^{1}-{A'}^{2}{B'}^{2}-{A'}^{3}{B'}^{3}\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>C</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><msup><mi>B</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mi>B</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>B</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><msup><mi>B</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mrow><msup><mi>UN</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><msup><mrow><msup><mi>B</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mrow><msup><mi>UN</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mrow><msup><mi>B</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mrow><msup><mi>UN</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mrow><msup><mi>B</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mrow><msup><mi>UN</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><msup><mrow><msup><mi>B</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}C&=A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}\\[2pt]&={A'}^{0}{B'}^{0}-{A'}^{1}{B'}^{1}-{A'}^{2}{B'}^{2}-{A'}^{3}{B'}^{3}\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Étant donné que les grandeurs physiques en relativité sont des quadrivecteurs, cette équation peut sembler être une « loi de conservation », bien qu'aucune conservation ne soit impliquée. L'intérêt principal du produit scalaire de Minkowski réside dans le fait que, pour deux quadrivecteurs quelconques, sa valeur est invariante pour tous les observateurs ; un changement de coordonnées n'entraîne pas de changement de la valeur du produit scalaire. Les composantes des quadrivecteurs varient d'un référentiel à l'autre ; A et A ′ sont liés par une transformation de Lorentz , de même que B et B ′, bien que les produits scalaires soient identiques dans tous les référentiels. Néanmoins, ce type d'expression est exploité dans les calculs relativistes au même titre que les lois de conservation, car les normes des composantes peuvent être déterminées sans effectuer explicitement de transformations de Lorentz. Un exemple particulier est celui de l'énergie et de l'impulsion dans la relation énergie-impulsion dérivée du quadrivecteur impulsion (voir également ci-dessous).

Dans cette signature, nous avons : ${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =\left(A^{0} ight)^{2}-\left(A^{1} ight)^{2}-\left(A^{2} ight)^{2}-\left(A^{3} ight)^{2 <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>UN</mi><mo>⋅</mo><mi>UN</mi></mrow><mo>=</mo><msup><mrow><mo>(</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mrow><mo>(</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mrow><mo>(</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mrow><mo>(</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =\left(A^{0} ight)^{2}-\left(A^{1} ight)^{2}-\left(A^{2} ight)^{2}-\left(A^{3} ight)^{2}}</annotation></semantics></math><img src=$

Avec la signature , de type temporel si , et vecteurs nuls si .

Base standard, signature (−+++)

La signature métrique avec le signe opposé, auquel cas on a la signature métrique ${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3 </span referrerpolicy=$ tandis que la forme matricielle est : ${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =\left({\begin{matrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{matrix}} ight)\left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}} ight)\left({\begin{matrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{matrix}} ight) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>UN</mi><mo>⋅</mo><mi>B</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup></mtd><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mtd><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mtable><mtr><mtd><msup><mi>B</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>B</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>B</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>B</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =\left({\begin{matrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{matrix}} ight)\left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}} ight)\left({\begin{matrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{matrix}} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$

Notez que dans ce cas, dans une seule image : ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}=-C <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>UN</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>B</mi></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><msup><mi>B</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mi>B</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>B</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><msup><mi>B</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>C</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}=-C}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '=-{A'}^{0}{B'}^{0}+{A'}^{1}{B'}^{1}+{A'}^{2}{B'}^{2}+{A'}^{3}{B'}^{3}=-C' <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>UN</mi></mrow><mo>′</mo></msup><mo>⋅</mo><msup><mrow><mi>B</mi></mrow><mo>′</mo></msup><mo>=</mo><mo>−</mo><msup><mrow><msup><mi>UN</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><msup><mrow><msup><mi>B</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><msup><mi>UN</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mrow><msup><mi>B</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><msup><mi>UN</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mrow><msup><mi>B</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><msup><mi>UN</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><msup><mrow><msup><mi>B</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mo>−</mo><msup><mi>C</mi><mo>′</mo></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '=-{A'}^{0}{B'}^{0}+{A'}^{1}{B'}^{1}+{A'}^{2}{B'}^{2}+{A'}^{3}{B'}^{3}=-C'}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}-C&=-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}\\[2pt]&=-{A'}^{0}{B'}^{0}+{A'}^{1}{B'}^{1}+{A'}^{2}{B'}^{2}+{A'}^{3}{B'}^{3}\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mo>−</mo><mi>C</mi></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>−</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><msup><mi>B</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mi>B</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>B</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><msup><mi>B</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>−</mo><msup><mrow><msup><mi>UN</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><msup><mrow><msup><mi>B</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><msup><mi>UN</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><msup><mrow><msup><mi>B</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><msup><mi>UN</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mrow><msup><mi>B</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><msup><mi>UN</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><msup><mrow><msup><mi>B</mi><mo>′</mo></msup></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}-C&=-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}\\[2pt]&=-{A'}^{0}{B'}^{0}+{A'}^{1}{B'}^{1}+{A'}^{2}{B'}^{2}+{A'}^{3}{B'}^{3}\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Nous avons: ${\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =-\left(A^{0} ight)^{2}+\left(A^{1} ight)^{2}+\left(A^{2} ight)^{2}+\left(A^{3} ight)^{2 <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>UN</mi><mo>⋅</mo><mi>UN</mi></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><msup><mrow><mo>(</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mo>(</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mo>(</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mo>(</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =-\left(A^{0} ight)^{2}+\left(A^{1} ight)^{2}+\left(A^{2} ight)^{2}+\left(A^{3} ight)^{2}}</annotation></semantics></math><img src=$

Avec la signature , de type temporel si , et nuls si .

Vecteurs duaux

L'application du tenseur de Minkowski est souvent exprimée comme l'effet du vecteur dual d'un vecteur sur l'autre : ${\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =A^{*}(\mathbf {B} )=A{_{ u }}B^{ u }. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>UN</mi><mo>⋅</mo><mi>B</mi></mrow><mo>=</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mo>∗</mo></mrow></msup><mo>(</mo><mrow><mi>B</mi></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>UN</mi><mrow><msub><mi></mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msub></mrow><msup><mi>B</mi><mrow><mi>ν</mi></mrow></msup><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =A^{*}(\mathbf {B} )=A{_{ u }}B^{ u }.}</annotation></semantics></math><img src=$

Ici, les sont les composantes du dual du vecteur dans la base duale et sont appelées les coordonnées covariantes de , tandis que les composantes originales sont appelées les coordonnées contravariantes .

Calcul vectoriel à quatre vecteurs

Dérivées et différentielles

En relativité restreinte (mais pas en relativité générale), la dérivée d'un quadrivecteur par rapport à un scalaire (invariant) est elle-même un quadrivecteur. Il est également utile de calculer la différentielle du quadrivecteur, et de la diviser par la différentielle du scalaire, . ${\displaystyle {\underset { ext{differential}}{d\mathbf {A} }}={\underset { ext{derivative}}{\frac {d\mathbf {A} }{d\lambda }}}{\underset { ext{differential}}{d\lambda <semantics><mrow><mstyle><mrow><munder><mrow><mi>d</mi><mrow><mi>UN</mi></mrow></mrow><mtext>différentiel</mtext></munder></mrow><mo>=</mo><mrow><munder><mfrac><mrow><mi>d</mi><mrow><mi>UN</mi></mrow></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>λ</mi></mrow></mfrac><mtext>dérivé</mtext></munder></mrow><mrow><munder><mrow><mi>d</mi><mi>λ</mi></mrow><mtext>différentiel</mtext></munder></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\underset { ext{differential}}{d\mathbf {A} }}={\underset { ext{derivative}}{\frac {d\mathbf {A} }{d\lambda }}}{\underset { ext{differential}}{d\lambda }}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d\mathbf {A} =\left(dA^{0},dA^{1},dA^{2},dA^{3} ight) <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi><mrow><mi>UN</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>d</mi><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mi>d</mi><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mi>d</mi><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mi>d</mi><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d\mathbf {A} =\left(dA^{0},dA^{1},dA^{2},dA^{3} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle d\mathbf {A} =\left(dA_{0},dA_{1},dA_{2},dA_{3} ight) <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi><mrow><mi>UN</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>d</mi><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi>d</mi><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi>d</mi><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi>d</mi><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle d\mathbf {A} =\left(dA_{0},dA_{1},dA_{2},dA_{3} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$

En mécanique relativiste, on prend souvent la différentielle d'un quadrivecteur et on la divise par la différentielle en temps propre (voir ci-dessous).

quadrivecteurs fondamentaux

Quatre positions

Dans l'espace de Minkowski, un point est une position temporelle et spatiale, appelée « événement », ou parfois quadrivecteur de position , quadriposition ou 4-position , décrite dans un certain référentiel par un ensemble de quatre coordonnées : ${\displaystyle \mathbf {R} =\left(ct,\mathbf {r} ight) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>c</mi><mi>t</mi><mo>,</mo><mrow><mi>r</mi></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {R} =\left(ct,\mathbf {r} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$ quadrivecteur position de l'événement.

Le quadrivecteur de déplacement est défini comme une « flèche » reliant deux événements : ${\displaystyle \Delta \mathbf {R} =\left(c\Delta t,\Delta \mathbf {r} ight) <semantics><mrow><mstyle><mi>Δ</mi><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>c</mi><mi>Δ</mi><mi>t</mi><mo>,</mo><mi>Δ</mi><mrow><mi>r</mi></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Delta \mathbf {R} =\left(c\Delta t,\Delta \mathbf {r} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$

Pour la position différentielle à quatre dimensions sur une ligne d'univers, nous avons, en utilisant une notation normative : ${\displaystyle \|d\mathbf {R} \|^{2}=\mathbf {dR\cdot dR} =dR^{\mu }dR_{\mu }=c^{2}d au ^{2}=ds^{2}\,, <semantics><mrow><mstyle><mo>‖</mo><mi>d</mi><mrow><mi>R</mi></mrow><msup><mo>‖</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mrow><mi>d</mi><mi>R</mi><mo>⋅</mo><mi>d</mi><mi>R</mi></mrow><mo>=</mo><mi>d</mi><msup><mi>R</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msup><mi>d</mi><msub><mi>R</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mi>c</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>d</mi><msup><mi>τ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mi>d</mi><msup><mi>s</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mspace></mspace><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \|d\mathbf {R} \|^{2}=\mathbf {dR\cdot dR} =dR^{\mu }dR_{\mu }=c^{2}d au ^{2}=ds^{2}\,,}</annotation></semantics></math><img src=$ s et l'incrément de temps propre différentiel d τ , mais cette « norme » est aussi : ${\displaystyle \|d\mathbf {R} \|^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,, <semantics><mrow><mstyle><mo>‖</mo><mi>d</mi><mrow><mi>R</mi></mrow><msup><mo>‖</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>c</mi><mi>d</mi><mi>t</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mi>d</mi><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>⋅</mo><mi>d</mi><mrow><mi>r</mi></mrow><mspace></mspace><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \|d\mathbf {R} \|^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle (cd au )^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,. <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>c</mi><mi>d</mi><mi>τ</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>c</mi><mi>d</mi><mi>t</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mi>d</mi><mrow><mi>r</mi></mrow><mo>⋅</mo><mi>d</mi><mrow><mi>r</mi></mrow><mspace></mspace><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (cd au )^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,.}</annotation></semantics></math><img src=$

Lorsqu'on considère des phénomènes physiques, les équations différentielles apparaissent naturellement ; cependant, lorsqu'on considère les dérivées spatiales et temporelles de fonctions, le référentiel par rapport auquel ces dérivées sont calculées n'est pas clair. Il est admis que les dérivées temporelles sont calculées par rapport au temps propre. ${\displaystyle au <semantics><mrow><mstyle><mi>τ</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle au }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \left({\frac {cd au }{cdt}} ight)^{2}=1-\left({\frac {d\mathbf {r} }{cdt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{cdt}} ight)=1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {u} )^{2}}}\,, <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>c</mi><mi>d</mi><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mrow><mi>r</mi></mrow></mrow><mrow><mi>c</mi><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mrow><mi>r</mi></mrow></mrow><mrow><mi>c</mi><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow></mrow><msup><mi>c</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>γ</mi><mo>(</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow><msup><mo>)</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mspace></mspace><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \left({\frac {cd au }{cdt}} ight)^{2}=1-\left({\frac {d\mathbf {r} }{cdt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{cdt}} ight)=1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {u} )^{2}}}\,,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2 <semantics><mrow><mstyle><mi>γ</mi><mo>(</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow></mrow><msup><mi>c</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow></msqrt></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle dt=\gamma (\mathbf {u} )d au \,. <semantics><mrow><mstyle><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>γ</mi><mo>(</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>)</mo><mi>d</mi><mi>τ</mi><mspace></mspace><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle dt=\gamma (\mathbf {u} )d au \,.}</annotation></semantics></math><img src=$

Cette relation peut également être retrouvée dans la transformation temporelle des transformations de Lorentz .

Les quadrivecteurs importants de la théorie de la relativité peuvent être définis en appliquant cette différentielle d / dτ ⁠ .

Quatre gradients

Étant donné que les dérivées partielles sont des opérateurs linéaires , on peut former un quadrigradient à partir de la dérivée partielle temporelle et de l' opérateur gradient spatial ${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {\partial }{\partial x_{0}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{3}}} ight)\\&=(\partial ^{0},\,-\partial ^{1},\,-\partial ^{2},\,-\partial ^{3})\\&=\mathbf {E} _{0}\partial ^{0}-\mathbf {E} _{1}\partial ^{1}-\mathbf {E} _{2}\partial ^{2}-\mathbf {E} _{3}\partial ^{3}\\&=\mathbf {E} _{0}\partial ^{0}-\mathbf {E} _{i}\partial ^{i}\\&=\mathbf {E} _{\alpha }\partial ^{\alpha }\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\,- abla ight)\\&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},- abla ight)\\&=\mathbf {E} _{0}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}- abla \\\end{aligned </span referrerpolicy=$

Notez que les vecteurs de base sont placés devant les composantes afin d'éviter toute confusion entre la dérivée du vecteur de base et le simple fait d'indiquer que la dérivée partielle est une composante de ce quadrivecteur. Les composantes covariantes sont : ${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {\partial }{\partial x^{0}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{2}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{3}}} ight)\\&=(\partial _{0},\,\partial _{1},\,\partial _{2},\,\partial _{3})\\&=\mathbf {E} ^{0}\partial _{0}+\mathbf {E} ^{1}\partial _{1}+\mathbf {E} ^{2}\partial _{2}+\mathbf {E} ^{3}\partial _{3}\\&=\mathbf {E} ^{0}\partial _{0}+\mathbf {E} ^{i}\partial _{i}\\&=\mathbf {E} ^{\alpha }\partial _{\alpha }\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\, abla ight)\\&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}, abla ight)\\&=\mathbf {E} ^{0}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}+ abla \\\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mi>∂</mi></mrow></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mi>∂</mi><mrow><mi>∂</mi><msup><mi>x</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo><mspace></mspace><mrow><mfrac><mi>∂</mi><mrow><mi>∂</mi><msup><mi>x</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo><mspace></mspace><mrow><mfrac><mi>∂</mi><mrow><mi>∂</mi><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo><mspace></mspace><mrow><mfrac><mi>∂</mi><mrow><mi>∂</mi><msup><mi>x</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mi>∂</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mi>∂</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mi>∂</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mspace></mspace><msub><mi>∂</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><msub><mi>∂</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><msub><mi>∂</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msub><mi>∂</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><msub><mi>∂</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><msub><mi>∂</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>je</mi></mrow></msup><msub><mi>∂</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><msub><mi>∂</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>c</mi></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mi>∂</mi><mrow><mi>∂</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo><mspace></mspace><mi>∇</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><msub><mi>∂</mi><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mi>c</mi></mfrac></mrow><mo>,</mo><mi>∇</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>c</mi></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mi>∂</mi><mrow><mi>∂</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>+</mo><mi>∇</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {\partial }{\partial x^{0}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{2}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{3}}} ight)\\&=(\partial _{0},\,\partial _{1},\,\partial _{2},\,\partial _{3})\\&=\mathbf {E} ^{0}\partial _{0}+\mathbf {E} ^{1}\partial _{1}+\mathbf {E} ^{2}\partial _{2}+\mathbf {E} ^{3}\partial _{3}\\&=\mathbf {E} ^{0}\partial _{0}+\mathbf {E} ^{i}\partial _{i}\\&=\mathbf {E} ^{\alpha }\partial _{\alpha }\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\, abla ight)\\&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}, abla ight)\\&=\mathbf {E} ^{0}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}+ abla \\\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Puisqu'il s'agit d'un opérateur, il n'a pas de « longueur », mais l'évaluation du produit scalaire de l'opérateur avec lui-même donne un autre opérateur : ${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}- abla ^{2}={\frac {{\partial _{t}}^{2}}{c^{2}}}- abla ^{2 <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>∂</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msup><msub><mi>∂</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>c</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mrow><mfrac><msup><mi>∂</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mi>∂</mi><msup><mi>t</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>−</mo><msup><mi>∇</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mrow><mfrac><msup><mrow><msub><mi>∂</mi><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>c</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>−</mo><msup><mi>∇</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}- abla ^{2}={\frac {{\partial _{t}}^{2}}{c^{2}}}- abla ^{2}}</annotation></semantics></math><img src=$

Cinématique

Quatre vitesses

{\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d au }}={\frac {d\mathbf {X} }{dt}}{\frac {dt}{d au }}=\gamma (\mathbf {u} )\left(c,\mathbf {u} ight), </span referrerpolicy=

Géométriquement, U est un vecteur normalisé tangent à la ligne d'univers de la particule. À partir de la différentielle de la quadriposition, on obtient la norme de la quadrivitesse : ${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}=U^{\mu }U_{\mu }={\frac {dX^{\mu }}{d au }}{\frac {dX_{\mu }}{d au }}={\frac {dX^{\mu }dX_{\mu }}{d au ^{2}}}=c^{2}\,, <semantics><mrow><mstyle><mo>‖</mo><mrow><mi>U</mi></mrow><msup><mo>‖</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mi>U</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msup><msub><mi>U</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><msup><mi>X</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>τ</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><msub><mi>X</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>τ</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><msup><mi>X</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msup><mi>d</mi><msub><mi>X</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>d</mi><msup><mi>τ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><msup><mi>c</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mspace></mspace><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}=U^{\mu }U_{\mu }={\frac {dX^{\mu }}{d au }}{\frac {dX_{\mu }}{d au }}={\frac {dX^{\mu }dX_{\mu }}{d au ^{2}}}=c^{2}\,,}</annotation></semantics></math><img src=$

En résumé, la norme de la quadrivitesse d'un objet est toujours une constante fixe : ${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}=c^{2 <semantics><mrow><mstyle><mo>‖</mo><mrow><mi>U</mi></mrow><msup><mo>‖</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mi>c</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}=c^{2}}</annotation></semantics></math><img src=$

La norme est également : ${\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}={\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} ight)\,, <semantics><mrow><mstyle><mo>‖</mo><mrow><mi>U</mi></mrow><msup><mo>‖</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mi>γ</mi><mo>(</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>c</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mspace></mspace><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}={\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} ight)\,,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle c^{2}={\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} ight)\,, <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>c</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mi>γ</mi><mo>(</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>c</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mspace></mspace><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle c^{2}={\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} ight)\,,}</annotation></semantics></math><img src=$

L'unité de la quadrivitesse est le m/s dans le SI et 1 dans le système d'unités géométrisé . La quadrivitesse est un vecteur contravariant.

Quatre accélérations

La quadri-accélération est donnée par : ${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d au }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}c,{\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}\mathbf {u} +\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {a} ight). <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>UN</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mrow><mi>U</mi></mrow></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>τ</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mi>γ</mi><mo>(</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>)</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mrow><mi>γ</mi></mrow><mo>(</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mi>c</mi><mo>,</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mrow><mi>γ</mi></mrow><mo>(</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>+</mo><mi>γ</mi><mo>(</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>)</mo><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d au }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}c,{\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}\mathbf {u} +\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {a} ight).}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {U} =A^{\mu }U_{\mu }={\frac {dU^{\mu }}{d au }}U_{\mu }={\frac {1}{2}}\,{\frac {d}{d au }}\left(U^{\mu }U_{\mu }\droite)=0\, </span referrerpolicy=$ Ce qui est vrai pour toutes les lignes d'univers. La signification géométrique de la quadri-accélération est le vecteur de courbure de la ligne d'univers dans l'espace de Minkowski.

Dynamique

Quatre-impulsions

Pour une particule massive de masse au repos (ou masse invariante ) , le quadrivecteur impulsion est donné par : ${\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} =m_{0}\gamma (\mathbf {u} )(c,\mathbf {u} )=\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} ight) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>P</mi></mrow><mo>=</mo><msub><mi>m</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mrow><mi>U</mi></mrow><mo>=</mo><msub><mi>m</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mi>γ</mi><mo>(</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>c</mi><mo>,</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mi>E</mi><mi>c</mi></mfrac></mrow><mo>,</mo><mrow><mi>p</mi></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} =m_{0}\gamma (\mathbf {u} )(c,\mathbf {u} )=\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle E=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}c^{2 <semantics><mrow><mstyle><mi>E</mi><mo>=</mo><mi>γ</mi><mo>(</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>)</mo><msub><mi>m</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><msup><mi>c</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle E=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}c^{2}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (\mathbf {u} )m_{0}\mathbf {u} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>p</mi></mrow><mo>=</mo><mi>γ</mi><mo>(</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>)</mo><msub><mi>m</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mrow><mi>vous</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (\mathbf {u} )m_{0}\mathbf {u} }</annotation></semantics></math><img src=$

En prenant le produit scalaire du quadrivecteur impulsion avec lui-même : ${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}=P^{\mu }P_{\mu }=m_{0}^{2}U^{\mu }U_{\mu }=m_{0}^{2}c^{2 <semantics><mrow><mstyle><mo>‖</mo><mrow><mi>P</mi></mrow><msup><mo>‖</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mi>P</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msup><msub><mi>P</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mi>m</mi><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><msup><mi>U</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msup><msub><mi>U</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mi>m</mi><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><msup><mi>c</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}=P^{\mu }P_{\mu }=m_{0}^{2}U^{\mu }U_{\mu }=m_{0}^{2}c^{2}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} <semantics><mrow><mstyle><mo>‖</mo><mrow><mi>P</mi></mrow><msup><mo>‖</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mrow><mfrac><msup><mi>E</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>c</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>−</mo><mrow><mi>p</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>p</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle E^{2}=c^{2}\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +\left(m_{0}c^{2} ight)^{2}\,. <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>E</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mi>c</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mi>p</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>p</mi></mrow><mo>+</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>m</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><msup><mi>c</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mspace></mspace><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle E^{2}=c^{2}\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +\left(m_{0}c^{2} ight)^{2}\,.}</annotation></semantics></math><img src=$

Cette dernière relation est utile en mécanique relativiste , essentielle en mécanique quantique relativiste et en théorie quantique des champs relativistes , toutes ayant des applications en physique des particules .

Quatre forces

La quadriforce agissant sur une particule est définie de manière analogue à la triforce comme la dérivée temporelle de la tri-impulsion dans la deuxième loi de Newton : ${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {P} }{d au }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {1}{c}}{\frac {dE}{dt}},{\frac {d\mathbf {p} }{dt}} ight)=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {P}{c}},\mathbf {f} ight) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>F</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mrow><mi>P</mi></mrow></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>τ</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mi>γ</mi><mo>(</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>)</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>c</mi></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mrow><mi>p</mi></mrow></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>γ</mi><mo>(</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>)</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mi>P</mi><mi>c</mi></mfrac></mrow><mo>,</mo><mrow><mi>f</mi></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {P} }{d au }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {1}{c}}{\frac {dE}{dt}},{\frac {d\mathbf {p} }{dt}} ight)=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {P}{c}},\mathbf {f} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbf {F} =m_{0}\mathbf {A} =m_{0}\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}c,\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}\mathbf {u} +\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {a} ight) ight) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>F</mi></mrow><mo>=</mo><msub><mi>m</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mrow><mi>UN</mi></mrow><mo>=</mo><msub><mi>m</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mi>γ</mi><mo>(</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>)</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mrow><mi>γ</mi></mrow><mo>(</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mi>c</mi><mo>,</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>d</mi><mrow><mi>γ</mi></mrow><mo>(</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>+</mo><mi>γ</mi><mo>(</mo><mrow><mi>vous</mi></mrow><mo>)</mo><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {F} =m_{0}\mathbf {A} =m_{0}\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}c,\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}\mathbf {u} +\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {a} ight) ight)}</annotation></semantics></math><img src=$

Un invariant dérivé de la quadriforce est : ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {U} =F^{\mu }U_{\mu }=m_{0}A^{\mu }U_{\mu }=0 <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>F</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>U</mi></mrow><mo>=</mo><msup><mi>F</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msup><msub><mi>U</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>m</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><msup><mi>UN</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msup><msub><mi>U</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {U} =F^{\mu }U_{\mu }=m_{0}A^{\mu }U_{\mu }=0}</annotation></semantics></math><img src=$

Thermodynamique

, dans le repère local du fluide :

{\displaystyle \mathbf {Q} =-k{\boldsymbol {\partial }}T=-k\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial T}{\partial t}}, abla T ight) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>Q</mi></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>k</mi><mrow><mi>∂</mi></mrow><mi>T</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>k</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>c</mi></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>∂</mi><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>∂</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>,</mo><mi>∇</mi><mi>T</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {Q} =-k{\boldsymbol {\partial }}T=-k\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial T}{\partial t}}, abla T ight)}</annotation></semantics></math></span><img src=

T est la température absolue et k est la conductivité thermique .

Flux de nombre à quatre baryons

Le flux de baryons est : ${\displaystyle \mathbf {S} =n\mathbf {U} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>S</mi></mrow><mo>=</mo><mi>n</mi><mrow><mi>U</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {S} =n\mathbf {U} }</annotation></semantics></math><img src=$

Entropie quadruple

Le vecteur d'entropie à quatre dimensions est défini par : ${\displaystyle \mathbf {s} =s\mathbf {S} +{\frac {\mathbf {Q} }{T <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>s</mi></mrow><mo>=</mo><mi>s</mi><mrow><mi>S</mi></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>Q</mi></mrow><mi>T</mi></mfrac></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {s} =s\mathbf {S} +{\frac {\mathbf {Q} }{T}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${ displaystyle mathbf {J} = left (rho c, mathbf {j} right) </span referrerpolicy=$ formé à partir de la densité de courant et de la densité de charge .

Quatre potentiels

Le quadripotentiel électromagnétique (ou plus précisément un quadripotentiel vecteur EM) défini par ${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {a} ight) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>UN</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mi>ϕ</mi><mi>c</mi></mfrac></mrow><mo>,</mo><mrow><mi>un</mi></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {a} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$

Le quadripotentiel n’est pas déterminé de manière unique, car il dépend d’un choix de jauge .

Dans l' équation d'onde du champ électromagnétique :

In vacuum, ${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =0 <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mrow><mi>∂</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>∂</mi></mrow><mo>)</mo><mrow><mi>A</mi></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =0}</annotation></semantics></math><img src=$
With a four-current source and using the Lorenz gauge condition ${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} )=0 <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mrow><mi>∂</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>A</mi></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} )=0}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mrow><mi>∂</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>∂</mi></mrow><mo>)</mo><mrow><mi>A</mi></mrow><mo>=</mo><msub><mi>μ</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mrow><mi>J</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} }</annotation></semantics></math><img src=$

Waves

Four-frequency

A photonic plane wave can be described by the four-frequency, defined as ${\displaystyle \mathbf {N} = u \left(1,{\hat {\mathbf {n} }} ight) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>N</mi></mrow><mo>=</mo><mi>ν</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mrow><mrow><mover><mrow><mi>n</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {N} = u \left(1,{\hat {\mathbf {n} }} ight)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${ displaystyle { hat { mathbf {n} </span referrerpolicy=$ is a unit vector in the travel direction of the wave. Now, ${\displaystyle \|\mathbf {N} \|=N^{\mu }N_{\mu }= u ^{2}\left(1-{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\hat {\mathbf {n} }} ight)=0 <semantics><mrow><mstyle><mo>‖</mo><mrow><mi>N</mi></mrow><mo>‖</mo><mo>=</mo><msup><mi>N</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msup><msub><mi>N</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mi>ν</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mrow><mover><mrow><mi>n</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mrow><mover><mrow><mi>n</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \|\mathbf {N} \|=N^{\mu }N_{\mu }= u ^{2}\left(1-{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\hat {\mathbf {n} }} ight)=0}</annotation></semantics></math><img src=$ so the four-frequency of a photon is always a null vector.

Four-wavevector

and space and angular wave vector ${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }} ight)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {\mathbf {n} }} ight)\,. </span referrerpolicy=$
The wave four-vector has coherent derived unit of reciprocal meters in the SI.
A wave packet of nearly monochromatic light can be described by: ${\displaystyle \mathbf {K} ={\frac {2\pi }{c}}\mathbf {N} ={\frac {2\pi }{c}} u \left(1,{\hat {\mathbf {n} }} ight)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {\mathbf {n} }} ight)~. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>K</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow><mi>c</mi></mfrac></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow><mi>c</mi></mfrac></mrow><mi>ν</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mrow><mrow><mover><mrow><mi>n</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mfrac><mi>ω</mi><mi>c</mi></mfrac></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mrow><mrow><mover><mrow><mi>n</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mtext> </mtext><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {K} ={\frac {2\pi }{c}}\mathbf {N} ={\frac {2\pi }{c}} u \left(1,{\hat {\mathbf {n} }} ight)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {\mathbf {n} }} ight)~.}</annotation></semantics></math><img src=$
The de Broglie relations then showed that four-wavevector applied to matter waves as well as to light waves: ${\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}} ight)=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}} ight), <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>P</mi></mrow><mo>=</mo><mi>ℏ</mi><mrow><mi>K</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mi>E</mi><mi>c</mi></mfrac></mrow><mo>,</mo><mrow><mrow><mover><mi>p</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>ℏ</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mi>ω</mi><mi>c</mi></mfrac></mrow><mo>,</mo><mrow><mrow><mover><mi>k</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}} ight)=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}} ight),}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle E=\hbar \omega <semantics><mrow><mstyle><mi>E</mi><mo>=</mo><mi>ℏ</mi><mi>ω</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle E=\hbar \omega }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>p</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mrow><mo>=</mo><mi>ℏ</mi><mrow><mrow><mover><mi>k</mi><mo>→</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}</annotation></semantics></math><img src=$
The square of the norm is: ${\displaystyle \|\mathbf {K} \|^{2}=K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}} ight)^{2}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \,, <semantics><mrow><mstyle><mo>‖</mo><mrow><mi>K</mi></mrow><msup><mo>‖</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mi>K</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msup><msub><mi>K</mi><mrow><mi>μ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>ω</mi><mi>c</mi></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mrow><mi>k</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>k</mi></mrow><mspace></mspace><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \|\mathbf {K} \|^{2}=K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}} ight)^{2}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \,,}</annotation></semantics></math><img src=$ and by the de Broglie relation: ${\displaystyle \|\mathbf {K} \|^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\|\mathbf {P} \|^{2}=\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }} ight)^{2}\,, <semantics><mrow><mstyle><mo>‖</mo><mrow><mi>K</mi></mrow><msup><mo>‖</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>ℏ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>‖</mo><mrow><mi>P</mi></mrow><msup><mo>‖</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><msub><mi>m</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mi>c</mi></mrow><mi>ℏ</mi></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mspace></mspace><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \|\mathbf {K} \|^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\|\mathbf {P} \|^{2}=\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }} ight)^{2}\,,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}} ight)^{2}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} =\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }} ight)^{2}~. <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>ω</mi><mi>c</mi></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mrow><mi>k</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>k</mi></mrow><mo>=</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><msub><mi>m</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mi>c</mi></mrow><mi>ℏ</mi></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mtext> </mtext><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}} ight)^{2}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} =\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }} ight)^{2}~.}</annotation></semantics></math><img src=$
Note that for massless particles, in which case , we have: ${\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}} ight)^{2}=\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \,, <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>ω</mi><mi>c</mi></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mrow><mi>k</mi></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mi>k</mi></mrow><mspace></mspace><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}} ight)^{2}=\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \,,}</annotation></semantics></math><img src=$ in the direction of wave propagation defined by the unit vector ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}~. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mrow><mi>n</mi></mrow><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mtext> </mtext><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}~.}</annotation></semantics></math><img src=$

Quantum theory

Four-probability current

In quantum mechanics, the four-probability current or probability four-current is analogous to the electromagnetic four-current: ${\displaystyle \mathbf {J} =( ho c,\mathbf {j} ) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>J</mi></mrow><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>ρ</mi><mi>c</mi><mo>,</mo><mrow><mi>j</mi></mrow><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {J} =( ho c,\mathbf {j} )}</annotation></semantics></math><img src=$

En remplaçant l'énergie par l' opérateur d'énergie et l'impulsion par l' opérateur d'impulsion dans le quadrivecteur impulsion, on obtient l' opérateur quadrivecteur impulsion , utilisé dans les équations d'ondes relativistes .

Quatre tours

Le quadrivecteur spin d'une particule est défini dans le référentiel propre de la particule comme étant ${\displaystyle \mathbf {S} =(0,\mathbf {s} ) <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>S</mi></mrow><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mrow><mi>s</mi></mrow><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {S} =(0,\mathbf {s} )}</annotation></semantics></math><img src=$

Le carré de la norme est l'opposé du carré de la magnitude du spin, et selon la mécanique quantique, nous avons ${\displaystyle \|\mathbf {S} \|^{2}=-|\mathbf {s} |^{2}=-\hbar ^{2}s(s+1) <semantics><mrow><mstyle><mo>‖</mo><mrow><mi>S</mi></mrow><msup><mo>‖</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mo>−</mo><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow><msup><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mo>−</mo><msup><mi>ℏ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>s</mi><mo>(</mo><mi>s</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \|\mathbf {S} \|^{2}=-|\mathbf {s} |^{2}=-\hbar ^{2}s(s+1)}</annotation></semantics></math><img src=$

Cette valeur est observable et quantifiée, avec le nombre quantique de spin (et non la magnitude du vecteur de spin).

Autres formulations

Quadrivecteurs dans l'algèbre de l'espace physique

Un quadrivecteur A peut également être défini en utilisant les matrices de Pauli comme base , encore une fois dans diverses notations équivalentes : ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3} ight)\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{1}{\boldsymbol {\sigma }}_{1}+A^{2}{\boldsymbol {\sigma }}_{2}+A^{3}{\boldsymbol {\sigma }}_{3}\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{i}{\boldsymbol {\sigma }}_{i}\\&=A^{\alpha }{\boldsymbol {\sigma }}_{\alpha }\\\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mi>UN</mi></mrow></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mspace></mspace><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mspace></mspace><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mspace></mspace><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mi>je</mi></mrow></msup><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>je</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3} ight)\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{1}{\boldsymbol {\sigma }}_{1}+A^{2}{\boldsymbol {\sigma }}_{2}+A^{3}{\boldsymbol {\sigma }}_{3}\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{i}{\boldsymbol {\sigma }}_{i}\\&=A^{\alpha }{\boldsymbol {\sigma }}_{\alpha }\\\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=A^{0}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+A^{1}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+A^{2}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+A^{3}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{pmatrix}}\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mi>UN</mi></mrow></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>+</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>+</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mo>−</mo><mi>je</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>je</mi></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>+</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>(</mo><mtable><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mtd><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mi>je</mi><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>je</mi><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable><mo>)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=A^{0}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+A^{1}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+A^{2}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+A^{3}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {A} |&={\begin{vmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{vmatrix}}\\[1ex]&=\left(A^{0}+A^{3} ight)\left(A^{0}-A^{3} ight)-\left(A^{1}-iA^{2} ight)\left(A^{1}+iA^{2} ight)\\[1ex]&=\left(A^{0} ight)^{2}-\left(A^{1} ight)^{2}-\left(A^{2} ight)^{2}-\left(A^{3} ight)^{2}\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mo>|</mo></mrow><mrow><mi>UN</mi></mrow><mrow><mo>|</mo></mrow></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mrow><mo>|</mo><mtable><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mtd><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mi>je</mi><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>je</mi><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd><mtd><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable><mo>|</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><mi>je</mi><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>je</mi><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msup><mrow><mo>(</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mrow><mo>(</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mrow><mo>(</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msup><mrow><mo>(</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {A} |&={\begin{vmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{vmatrix}}\\[1ex]&=\left(A^{0}+A^{3} ight)\left(A^{0}-A^{3} ight)-\left(A^{1}-iA^{2} ight)\left(A^{1}+iA^{2} ight)\\[1ex]&=\left(A^{0} ight)^{2}-\left(A^{1} ight)^{2}-\left(A^{2} ight)^{2}-\left(A^{3} ight)^{2}\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Cette idée d'utiliser les matrices de Pauli comme vecteurs de base est employée dans l' algèbre de l'espace physique , un exemple d' algèbre de Clifford .

Quadrivecteurs en algèbre de l'espace-temps

En algèbre spatio-temporelle , autre exemple d'algèbre de Clifford, les matrices gamma peuvent également former une base . (On les appelle aussi matrices de Dirac, du fait de leur présence dans l' équation de Dirac ). Il existe plusieurs façons d'exprimer les matrices gamma, détaillées dans l'article principal.

La notation de Feynman est une notation abrégée pour un quadrivecteur A contracté avec les matrices gamma : ${\displaystyle \mathbf {A} \!\!\!\!/=A_{\alpha }\gamma ^{\alpha }=A_{0}\gamma ^{0}+A_{1}\gamma ^{1}+A_{2}\gamma ^{2}+A_{3}\gamma ^{3 <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>UN</mi></mrow><mspace></mspace><mspace></mspace><mspace></mspace><mspace></mspace><mrow><mo>/</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><msup><mi>γ</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><msup><mi>γ</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msup><mi>γ</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msup><mi>γ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msub><mi>UN</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><msup><mi>γ</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbf {A} \!\!\!\!/=A_{\alpha }\gamma ^{\alpha }=A_{0}\gamma ^{0}+A_{1}\gamma ^{1}+A_{2}\gamma ^{2}+A_{3}\gamma ^{3}}</annotation></semantics></math><img src=$

Le quadrivecteur impulsion-matrices gamma est un cas important en mécanique quantique relativiste et en théorie quantique des champs relativistes . Dans l'équation de Dirac et d'autres équations d'ondes relativistes , on trouve des termes de la forme : ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} \!\!\!\!/=P_{\alpha }\gamma ^{\alpha }&=P_{0}\gamma ^{0}+P_{1}\gamma ^{1}+P_{2}\gamma ^{2}+P_{3}\gamma ^{3}\\[4pt]&={\dfrac {E}{c}}\gamma ^{0}-p_{x}\gamma ^{1}-p_{y}\gamma ^{2}-p_{z}\gamma ^{3}\\\end{aligned <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><mi>P</mi></mrow><mspace></mspace><mspace></mspace><mspace></mspace><mspace></mspace><mrow><mo>/</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>P</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msub><msup><mi>γ</mi><mrow><mi>α</mi></mrow></msup></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><msub><mi>P</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><msup><mi>γ</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msub><mi>P</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><msup><mi>γ</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msub><mi>P</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><msup><mi>γ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msub><mi>P</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msub><msup><mi>γ</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi></mi><mo>=</mo><mrow><mstyle><mfrac><mi>E</mi><mi>c</mi></mfrac></mstyle></mrow><msup><mi>γ</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msub><mi>p</mi><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><msup><mi>γ</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msub><mi>p</mi><mrow><mi>y</mi></mrow></msub><msup><mi>γ</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>−</mo><msub><mi>p</mi><mrow><mi>z</mi></mrow></msub><msup><mi>γ</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} \!\!\!\!/=P_{\alpha }\gamma ^{\alpha }&=P_{0}\gamma ^{0}+P_{1}\gamma ^{1}+P_{2}\gamma ^{2}+P_{3}\gamma ^{3}\\[4pt]&={\dfrac {E}{c}}\gamma ^{0}-p_{x}\gamma ^{1}-p_{y}\gamma ^{2}-p_{z}\gamma ^{3}\\\end{aligned}}}</annotation></semantics></math><img src=$

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