Algèbre de l'espace-temps

En physique mathématique , l'algèbre de l'espace-temps ( STA ) est l'application de l'algèbre de Clifford Cl _1,3 ( R ), ou de manière équivalente de l' algèbre géométrique G( M ⁴ ) à la physique. L'algèbre de l'espace-temps fournit une « formulation unifiée et sans coordonnées pour toute la physique relativiste , y compris l' équation de Dirac , l'équation de Maxwell et la relativité générale » et « réduit la fracture mathématique entre la physique classique , quantique et relativiste ».

L'algèbre de l'espace-temps est un espace vectoriel qui permet non seulement de combiner des vecteurs , mais aussi des bivecteurs (quantités dirigées décrivant des rotations associées à des rotations ou à des plans particuliers, tels que des aires ou des rotations) ou des lames (quantités associées à des hypervolumes particuliers), ainsi que des rotations , des réflexions ou des boosts de Lorentz . C'est aussi l'algèbre parente naturelle des spineurs en relativité restreinte. Ces propriétés permettent d'exprimer de nombreuses équations parmi les plus importantes de la physique sous des formes particulièrement simples, et peuvent être très utiles pour une compréhension plus géométrique de leurs significations.

Par rapport aux méthodes apparentées, l'algèbre STA et l'algèbre de Dirac sont toutes deux des algèbres de Clifford Cl _1,3 , mais l'algèbre STA utilise des scalaires de nombres réels tandis que l'algèbre de Dirac utilise des scalaires de nombres complexes . La division de l'espace-temps de l'algèbre STA est similaire à l'approche de l' algèbre de l'espace physique (APS, algèbre de Pauli) . L'APS représente l'espace-temps comme un paravecteur , un espace vectoriel tridimensionnel combiné et un scalaire unidimensionnel.

Pour toute paire de vecteurs STA, , ​​il existe un produit vectoriel (géométrique) , un produit interne (scalaire) et un produit externe (externe, en coin) . Le produit vectoriel est une somme d'un produit interne et externe :

Le produit scalaire génère un nombre réel (scalaire) et le produit extérieur génère un bivecteur. Les vecteurs et sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul ; les vecteurs et sont parallèles si leur produit extérieur est nul.

Les vecteurs de base orthonormés sont un vecteur de type temps et 3 vecteurs de type espace . Les termes non nuls du tenseur de la métrique de Minkowski sont les termes diagonaux, . Pour :

Les matrices de Dirac partagent ces propriétés, et STA est équivalente à l'algèbre générée par les matrices de Dirac sur le corps des nombres réels ; une représentation matricielle explicite n'est pas nécessaire pour STA.

Les produits des vecteurs de base génèrent une base tensorielle contenant un scalaire , quatre vecteurs , six bivecteurs , quatre pseudovecteurs ( trivecteurs ) et un pseudoscalaire avec . Le pseudoscalaire commute avec tous les éléments STA de grade pair , mais anticommute avec tous les éléments STA de grade impair .

Les éléments de grade pair de STA (scalaires, bivecteurs, pseudoscalaires) forment une sous-algèbre paire de Clifford Cl _3,0 ( R ) équivalente à l'algèbre APS ou Pauli. Les bivecteurs STA sont équivalents aux vecteurs et pseudovecteurs APS. La sous-algèbre STA devient plus explicite en renommant les bivecteurs STA en et les bivecteurs STA en . Les matrices de Pauli, , sont une représentation matricielle pour . Pour toute paire de , les produits internes non nuls sont , et les produits externes non nuls sont :

La séquence de l'algèbre à la sous-algèbre paire continue comme algèbre de l'espace physique, algèbre des quaternions, nombres complexes et nombres réels. La sous-algèbre paire STA Cl ⁺ (1,3) des spineurs d'espace-temps réels dans Cl(1,3) est isomorphe à l'algèbre géométrique de Clifford Cl(3,0) de l'espace euclidien R ³ avec éléments de base. Voir l'illustration des spineurs d'algèbre d'espace-temps dans Cl ⁺ (1,3) sous le produit octonionique comme plan de Fano.

Un vecteur non nul est un vecteur nul ( nilpotent de degré 2 ) si . Un exemple est . Les vecteurs nuls sont tangents au cône de lumière (cône nul). Un élément est un idempotent si . Deux idempotents et sont des idempotents orthogonaux si . Un exemple d'une paire d'idempotents orthogonaux est et avec . Les diviseurs nuls propres sont des éléments non nuls dont le produit est nul tels que les vecteurs nuls ou les idempotents orthogonaux. Une algèbre de division est une algèbre qui contient des éléments inverses multiplicatifs (réciproques) pour chaque élément, mais cela se produit s'il n'y a pas de diviseurs de zéro appropriés et si le seul idempotent est 1. Les seules algèbres de division associatives sont les nombres réels, les nombres complexes et les quaternions. Comme STA n'est pas une algèbre de division, certains éléments STA peuvent ne pas avoir d'inverse ; cependant, la division par le vecteur non nul peut être possible par multiplication par son inverse, défini comme .

Associé à la base orthogonale est l'ensemble de base réciproque satisfaisant ces équations :

Ces vecteurs de trame réciproques ne diffèrent que par un signe, avec , mais .

Un vecteur peut être représenté soit à l'aide des vecteurs de base, soit à l'aide des vecteurs de base réciproques avec sommation sur , selon la notation d'Einstein . Le produit scalaire du vecteur et des vecteurs de base ou des vecteurs de base réciproques génère les composantes du vecteur.

La gymnastique métrique et indicielle fait monter ou descendre les indices :

Le gradient de l'espace-temps, comme le gradient dans un espace euclidien, est défini de telle sorte que la relation de dérivée directionnelle soit satisfaite :

Cela nécessite la définition du gradient à

Écrits explicitement avec , ces partiels sont

En STA, une division de l'espace-temps est une projection d'un espace à quatre dimensions dans un espace à (3+1) dimensions dans un référentiel choisi au moyen des deux opérations suivantes :

• un effondrement de l'axe temporel choisi, produisant un espace tridimensionnel couvert par des bivecteurs, équivalent aux vecteurs de base tridimensionnels standard dans l' algèbre de l'espace physique et
• une projection de l'espace 4D sur l'axe du temps choisi, produisant un espace unidimensionnel de scalaires, représentant le temps scalaire.

Ceci est réalisé par pré-multiplication ou post-multiplication par un vecteur de base de type temporel , qui sert à diviser un vecteur à quatre composantes en une composante temporelle scalaire et une composante spatiale bivecteur, dans le référentiel co-mobile avec . Avec nous avons

La séparation de l'espace-temps est une méthode permettant de représenter un vecteur d'espace-temps à degrés pairs comme un vecteur dans l'algèbre de Pauli, une algèbre dans laquelle le temps est un scalaire séparé des vecteurs qui se produisent dans l'espace à 3 dimensions. La méthode remplace ces vecteurs d'espace-temps

Comme ces bivecteurs sont carrés à l'unité, ils servent de base spatiale. En utilisant la notation matricielle de Pauli , ils sont écrits . Les vecteurs spatiaux dans STA sont indiqués en gras ; alors avec et , la division espace-temps et son inverse sont :

Cependant, les formules ci-dessus ne fonctionnent que dans la métrique de Minkowski avec signature (+ - - -). Pour les formes de la division de l'espace-temps qui fonctionnent dans l'une ou l'autre des signatures, des définitions alternatives dans lesquelles et doivent être utilisées.

Pour faire pivoter un vecteur en algèbre géométrique, la formule suivante est utilisée :

où est l'angle de rotation, et est le bivecteur normalisé représentant le plan de rotation tel que .

Pour un bivecteur spatial donné, , la formule d'Euler s'applique donc , donnant la rotation

Pour un bivecteur de type temporel donné, , donc une « rotation dans le temps » utilise l'équation analogue pour les nombres complexes divisés :

En interprétant cette équation, ces rotations dans le sens du temps sont simplement des rotations hyperboliques . Celles-ci sont équivalentes aux poussées de Lorentz en relativité restreinte.

Ces deux transformations sont connues sous le nom de transformations de Lorentz , et l'ensemble combiné de toutes ces transformations constitue le groupe de Lorentz . Pour transformer un objet dans STA d'une base quelconque (correspondant à un référentiel) à une autre, une ou plusieurs de ces transformations doivent être utilisées.

Tout élément de l'espace-temps est transformé par multiplication avec le pseudoscalaire pour former son élément dual . La rotation de dualité transforme l'élément de l'espace-temps en élément par l'angle avec le pseudoscalaire est :

La rotation de dualité ne se produit que pour l'algèbre de Clifford non singulière , non singulière signifiant une algèbre de Clifford contenant des pseudoscalaires avec un carré non nul.

L'involution de grade (involution principale, inversion) transforme chaque vecteur r en :

La transformation de retour se produit en décomposant tout élément de l'espace-temps en une somme de produits de vecteurs, puis en inversant l'ordre de chaque produit. Pour un multivecteur issu d'un produit de vecteurs, le retour est :

La conjugaison de Clifford d'un élément de l'espace-temps combine des transformations de réversion et d'involution de grade, indiquées comme suit :

Les transformations d'involution de grade, de réversion et de conjugaison de Clifford sont des involutions .

En STA, le champ électrique et le champ magnétique peuvent être unifiés en un seul champ bivecteur, appelé bivecteur de Faraday, équivalent au tenseur de Faraday . Il est défini comme :

où et sont les champs électriques et magnétiques habituels, et est le pseudoscalaire STA. Alternativement, en développant en termes de composants, on définit que

Les champs séparés et sont récupérés à partir de l'utilisation

Le terme représente un référentiel donné et, en tant que tel, l'utilisation de référentiels différents entraînera des champs relatifs apparemment différents, exactement comme dans la relativité restreinte standard.

Le bivecteur de Faraday étant un invariant relativiste, des informations supplémentaires peuvent être trouvées dans son carré, donnant deux nouvelles quantités invariantes de Lorentz, une scalaire et une pseudoscalaire :

La partie scalaire correspond à la densité lagrangienne du champ électromagnétique, et la partie pseudoscalaire est un invariant de Lorentz moins souvent observé.

STA formule les équations de Maxwell sous une forme plus simple, comme une seule équation, plutôt que les 4 équations du calcul vectoriel . De la même manière que le bivecteur de champ ci-dessus, la densité de charge électrique et la densité de courant peuvent être unifiées en un seul vecteur d'espace-temps, équivalent à un quadrivecteur . Ainsi, le courant d'espace-temps est donné par

où les composantes sont les composantes de la densité de courant tridimensionnelle classique. En combinant ces quantités de cette manière, il apparaît particulièrement clair que la densité de charge classique n'est rien d'autre qu'un courant se déplaçant dans la direction temporelle donnée par .

En combinant le champ électromagnétique et la densité de courant avec le gradient d'espace-temps tel que défini précédemment, nous pouvons combiner les quatre équations de Maxwell en une seule équation dans STA.

Le fait que ces quantités soient toutes des objets covariants dans le STA garantit automatiquement la covariance lorentzienne de l'équation, ce qui est beaucoup plus facile à démontrer que lorsqu'elle est séparée en quatre équations distinctes.

Sous cette forme, il est aussi beaucoup plus simple de prouver certaines propriétés des équations de Maxwell, comme la conservation de la charge . En utilisant le fait que pour tout champ bivecteur, la divergence de son gradient d'espace-temps est , on peut effectuer la manipulation suivante :

Cette équation a pour signification claire que la divergence de la densité de courant est nulle, c'est-à-dire que la charge totale et la densité de courant au cours du temps sont conservées.

En utilisant le champ électromagnétique, la forme de la force de Lorentz sur une particule chargée peut également être considérablement simplifiée à l'aide de STA.

Dans la formulation standard du calcul vectoriel, deux fonctions potentielles sont utilisées : le potentiel scalaire électrique et le potentiel vectoriel magnétique . À l'aide des outils de STA, ces deux objets sont combinés en un seul champ vectoriel , analogue au potentiel électromagnétique à quatre pôles du calcul tensoriel. Dans STA, il est défini comme

où est le potentiel scalaire et sont les composantes du potentiel magnétique. Tel que défini, ce champ a pour unités SI le weber par mètre (V⋅s⋅m ⁻¹ ).

Le champ électromagnétique peut également être exprimé en termes de ce champ potentiel, en utilisant

Cependant, cette définition n'est pas unique. Pour toute fonction scalaire deux fois différentiable , le potentiel donné par

donnera également la même chose que l'original, en raison du fait que

Ce phénomène est appelé liberté de jauge . Le processus de choix d'une fonction appropriée pour rendre un problème donné le plus simple possible est connu sous le nom de fixation de jauge . Cependant, en électrodynamique relativiste, la condition de Lorenz est souvent imposée, où .

Pour reformuler l'équation de Maxwell STA en termes de potentiel , on remplace d'abord par la définition ci-dessus.

En substituant ce résultat, on arrive à la formulation potentielle de l'électromagnétisme en STA :

De manière analogue au formalisme du calcul tensoriel, la formulation potentielle en STA conduit naturellement à une densité lagrangienne appropriée .

Les équations d'Euler-Lagrange à valeurs multivectorielles pour le corps peuvent être dérivées, et en étant lâche avec la rigueur mathématique de prendre la dérivée partielle par rapport à quelque chose qui n'est pas un scalaire, les équations pertinentes deviennent :

Pour commencer à redériver l'équation du potentiel à partir de cette forme, il est plus simple de travailler dans la jauge de Lorenz, en définissant

Ce processus peut être effectué quelle que soit la jauge choisie, mais cela rend le processus résultant considérablement plus clair. En raison de la structure du produit géométrique , l'utilisation de cette condition donne .

Après avoir remplacé par , la même équation de mouvement que ci-dessus pour le champ potentiel est facilement obtenue.

La théorie STA permet de décrire la particule de Pauli en termes de théorie réelle au lieu d'une théorie matricielle. La description de la particule de Pauli par la théorie matricielle est la suivante :

où est un spineur , est l'unité imaginaire sans interprétation géométrique, sont les matrices de Pauli (avec la notation « chapeau » indiquant qu'il s'agit d'un opérateur matriciel et non d'un élément de l'algèbre géométrique), et est l'hamiltonien de Schrödinger.

L'approche STA transforme la représentation du spineur de la matrice en représentation STA en utilisant des éléments, , de la sous-algèbre de l'espace-temps à degrés pairs et du pseudoscalaire :

La particule de Pauli est décrite par l' équation réelle de Pauli-Schrödinger :

où maintenant est un multi-vecteur pair de l'algèbre géométrique, et l'hamiltonien de Schrödinger est . Hestenes fait référence à cela comme la théorie réelle de Pauli-Schrödinger pour souligner que cette théorie se réduit à la théorie de Schrödinger si le terme qui inclut le champ magnétique est supprimé. Le vecteur est un vecteur fixe choisi arbitrairement ; une rotation fixe peut générer n'importe quel vecteur fixe choisi alternatif .

La STA permet une description de la particule de Dirac en termes de théorie réelle au lieu d'une théorie matricielle. La description de la particule de Dirac par la théorie matricielle est la suivante :

où sont les matrices de Dirac et est l'unité imaginaire sans interprétation géométrique.

En utilisant la même approche que pour l'équation de Pauli, l'approche STA transforme le spineur supérieur de la matrice et le spineur inférieur de la matrice bispinor de Dirac en représentations de spineurs d'algèbre géométrique correspondantes et . Ceux-ci sont ensuite combinés pour représenter l'algèbre géométrique complète bispinor de Dirac .

Suivant la dérivation d'Hestène, la particule de Dirac est décrite par l'équation :

Ici, est le champ de spineurs, et sont des éléments de l'algèbre géométrique, est le potentiel électromagnétique à quatre potentiels , et est la dérivée vectorielle de l'espace-temps.

Un spineur de Dirac relativiste peut être exprimé comme :

où, selon sa dérivation par David Hestenes , est une fonction à valeurs multivectorielles paires sur l'espace-temps, est un spineur unimodulaire ou « rotor », et et sont des fonctions à valeurs scalaires. Dans cette construction, les composantes de correspondent directement aux composantes d'un spineur de Dirac , toutes deux ayant 8 degrés de liberté scalaires.

Cette équation est interprétée comme reliant le spin au pseudoscalaire imaginaire.

Le rotor, , Lorentz transforme le référentiel de vecteurs en un autre référentiel de vecteurs par l'opération ; notez que cela indique la transformation inverse .

Ceci a été étendu pour fournir un cadre pour les observables à valeurs vectorielles et scalaires variant localement et pour soutenir l' interprétation Zitterbewegung de la mécanique quantique initialement proposée par Schrödinger .

Hestenes a comparé son expression pour avec l'expression de Feynman pour celle-ci dans la formulation de l'intégrale de chemin :

où est l'action classique le long du chemin.

En utilisant les spineurs, la densité de courant du champ peut être exprimée par

La symétrie de phase globale est un déphasage global constant de la fonction d'onde qui laisse l'équation de Dirac inchangée. La symétrie de phase locale est un déphasage variable spatialement qui laisse l'équation de Dirac inchangée s'il est accompagné d'une transformation de jauge du potentiel électromagnétique à quatre pôles telle qu'exprimée par ces substitutions combinées.

Dans ces équations, la transformation de phase locale est un décalage de phase à l'emplacement de l'espace-temps avec pseudovecteur et sous-algèbre d'espace-temps à degrés pairs appliquée à la fonction d'onde ; la transformation de jauge est une soustraction du gradient du décalage de phase du potentiel électromagnétique à quatre charges électriques particulaires .

Les chercheurs ont appliqué la STA et les approches d'algèbre de Clifford associées aux théories de jauge, à l'interaction électrofaible , à la théorie de Yang-Mills et au modèle standard .

Les symétries discrètes sont la parité , la conjugaison de charge et l'inversion du temps appliquées à la fonction d'onde . Ces effets sont les suivants :

Les chercheurs ont appliqué la théorie de jauge de la gravité (STA) et les approches d'algèbre de Clifford associées à la relativité, à la gravité et à la cosmologie. La théorie de jauge de la gravité (GTG) utilise la théorie de jauge de la gravité pour décrire une courbure induite sur l'espace de Minkowski tout en admettant une symétrie de jauge sous « remappage arbitraire et lisse des événements sur l'espace-temps » conduisant à cette équation géodésique.

et la dérivée covariante

où est la connexion associée au potentiel gravitationnel, et est une interaction externe telle qu'un champ électromagnétique.

La théorie semble prometteuse pour le traitement des trous noirs, car sa forme de solution de Schwarzschild ne s'effondre pas aux singularités ; la plupart des résultats de la relativité générale ont été reproduits mathématiquement, et la formulation relativiste de l'électrodynamique classique a été étendue à la mécanique quantique et à l' équation de Dirac .