Nombre complexe fractionné

En algèbre , un nombre complexe éclaté (ou nombre hyperbolique , également nombre perplexe , nombre double ) est basé sur une unité hyperbolique j satisfaisant , où . Un nombre complexe éclaté a deux composantes réelles x et y , et s'écrit Le conjugué de z est Puisque le produit d'un nombre z par son conjugué est une forme quadratique isotrope . ${\displaystyle j^{2}=1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>j</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle j^{2}=1}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle j eq \pm 1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>j</mi> <mo>≠</mo> <mo>±</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle j eq \pm 1}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle z=x+yj. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>et</mi> <mi>j</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z=x+yj.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle z^{*}=x-yj. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>j</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>et</mi> <mi>j</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z^{*}=x-yj.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle j^{2}=1, <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>j</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle j^{2}=1,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle N(z):=zz^{*}=x^{2}-y^{2}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>N</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <mo>:=</mo> <mi>j</mi> <msup> <mi>j</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle N (z): = zz ^ {*} = x ^ {2}-y ^ {2},}</annotation> </semantics> </math><img src=$

L'ensemble D de tous les nombres complexes éclatés pour ⁠ ⁠ forme une algèbre sur le corps des nombres réels . Deux nombres complexes éclatés w et z ont un produit wz qui satisfait Cette composition de N sur le produit algébrique fait de ( D , +, ×, *) une algèbre de composition . ${\displaystyle z=x+yj <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>et</mi> <mi>j</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z=x+yj}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>et</mi> <mo>∈</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle N(wz)=N(w)N(z). <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>N</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo> <mi>N</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle N (wz) = N (w) N (z).}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Une algèbre similaire basée sur ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ et des opérations composantes d'addition et de multiplication, ⁠ ⁠ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},+, imes ,xy), <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo>,</mo> <mo>×</mo> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mi>et</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},+, imes ,xy),}</annotation> </semantics> </math><img src=$ où xy est la forme quadratique sur ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}, <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}</annotation> </semantics> </math><img src=$ forme également un espace quadratique . L' isomorphisme d'anneau

${\displaystyle {\begin{aligned}D& o \mathbb {R} ^{2}\\x+yj&\mapsto (x-y,x+y)\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>D</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>→</mo> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>et</mi> <mi>j</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>↦</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>et</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>et</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}D& o \mathbb {R} ^{2}\\x+yj&\mapsto (x-y,x+y)\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

relie les formes quadratiques proportionnelles, mais l'application n'est pas une isométrie puisque l'identité multiplicative (1, 1) de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ est à une distance ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\sqrt {2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\sqrt {2}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ de 0, qui est normalisée dans D .

Les nombres complexes fractionnés ont de nombreux autres noms ; voir § Synonymes ci-dessous. Voir l'article Variable motrice pour les fonctions d'un nombre complexe fractionné.

Définition

Un nombre complexe divisé est une paire ordonnée de nombres réels, écrite sous la forme

${\displaystyle z=x+jy <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z=x+jy}</annotation> </semantics> </math><img src=$

où x et y sont des nombres réels et l' unité hyperbolique j satisfait

${\displaystyle j^{2}=+1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>j</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle j^{2}=+1}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Dans le domaine des nombres complexes , l' unité imaginaire i satisfait Le changement de signe distingue les nombres complexes dédoublés des nombres complexes ordinaires. L'unité hyperbolique j n'est pas un nombre réel mais une quantité indépendante. ${\displaystyle i^{2}=-1. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>i</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle i^{2}=-1.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

L'ensemble de tous ces z est appelé le plan complexe fractionné . L'addition et la multiplication de nombres complexes fractionnés sont définies par

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+jy)+(u+jv)&=(x+u)+j(y+v)\\(x+jy)(u+jv)&=(xu+yv)+j(xv+yu).\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>u</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mi>v</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mi>u</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}(x+jy)+(u+jv)&=(x+u)+j(y+v)\\(x+jy)(u+jv)&=(xu+yv)+j(xv+yu).\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Cette multiplication est commutative , associative et distribue sur l'addition.

Forme conjuguée, module et forme bilinéaire

Tout comme pour les nombres complexes, on peut définir la notion de conjugué complexe scindé . Si

${\displaystyle z=x+jy~, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mi>y</mi> <mtext> </mtext> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z=x+jy~,}</annotation> </semantics> </math><img src=$

alors le conjugué de z est défini comme

${\displaystyle z^{*}=x-jy~. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>z</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>j</mi> <mi>y</mi> <mtext> </mtext> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z^{*}=x-jy~.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le conjugué est une involution qui satisfait des propriétés similaires au conjugué complexe . À savoir,

${\displaystyle {\begin{aligned}(z+w)^{*}&=z^{*}+w^{*}\\(zw)^{*}&=z^{*}w^{*}\\\left(z^{*} ight)^{*}&=z.\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mi>w</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>w</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mi>w</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <msup> <mi>w</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>z</mi> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}(z+w)^{*}&=z^{*}+w^{*}\\(zw)^{*}&=z^{*}w^{*}\\\left(z^{*} ight)^{*}&=z.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le module au carré d'un nombre complexe divisé est donné par la forme quadratique isotrope ${\displaystyle z=x+jy <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z=x+jy}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle \lVert z Vert ^{2}=zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}~. <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>‖</mo> <mi>z</mi> <msup> <mo>‖</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>z</mi> <msup> <mi>z</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mtext> </mtext> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \lVert z Vert ^{2}=zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}~.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Il a la propriété d'algèbre de composition :

${\displaystyle \lVert zw Vert =\lVert z Vert \lVert w Vert ~. <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>‖</mo> <mi>z</mi> <mi>w</mi> <mo>‖</mo> <mo>=</mo> <mo>‖</mo> <mi>z</mi> <mo>‖</mo> <mo>‖</mo> <mi>w</mi> <mo>‖</mo> <mtext> </mtext> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \lVert zw Vert =\lVert z Vert \lVert w Vert ~.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Cependant, cette forme quadratique n'est pas définie positive mais a plutôt la signature (1, −1) , donc le module n'est pas une norme .

La forme bilinéaire associée est donnée par

${\displaystyle \langle z,w angle =\operatorname {\mathrm {Re} } \left(zw^{*} ight)=\operatorname {\mathrm {Re} } \left(z^{*}w ight)=xu-yv~, <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⟨</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>w</mi> <mo>⟩</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mi>R</mi> <mi>e</mi> </mrow> </mrow> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>z</mi> <msup> <mi>w</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mi>R</mi> <mi>e</mi> </mrow> </mrow> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>z</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mi>w</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>u</mi> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mi>v</mi> <mtext> </mtext> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \langle z,w angle =\operatorname {\mathrm {Re} } \left(zw^{*} ight)=\operatorname {\mathrm {Re} } \left(z^{*}w ight)=xu-yv~,}</annotation> </semantics> </math><img src=$

où et Ici, la partie réelle est définie par . Une autre expression pour le module au carré est alors ${\displaystyle z=x+jy <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z=x+jy}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle w=u+jv. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>w</mi> <mo>=</mo> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mi>v</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle w=u+jv.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \operatorname {\mathrm {Re} } (z)={ frac {1}{2}}(z+z^{*})=x <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mi>R</mi> <mi>e</mi> </mrow> </mrow> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \operatorname {\mathrm {Re} } (z)={ frac {1}{2}}(z+z^{*})=x}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle \lVert z Vert ^{2}=\langle z,z angle ~. <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>‖</mo> <mi>z</mi> <msup> <mo>‖</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>⟨</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>⟩</mo> <mtext> </mtext> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \lVert z Vert ^{2}=\langle z,z angle ~.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Comme elle n'est pas définie positive, cette forme bilinéaire n'est pas un produit scalaire ; néanmoins, on parle souvent de produit scalaire indéfini . Un abus de langage similaire fait référence au module comme à une norme.

Un nombre complexe fractionné est inversible si et seulement si son module est différent de zéro ( ), ${\displaystyle \lVert z Vert eq 0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>‖</mo> <mi>z</mi> <mo>‖</mo> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \lVert z Vert eq 0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ainsi les nombres de la forme x ± jx n'ont pas d'inverse. L' inverse multiplicatif d'un élément inversible est donné par

${\displaystyle z^{-1}={\frac {z^{*}}{{\lVert z Vert }^{2}}}~. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>z</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>z</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>‖</mo> <mi>z</mi> <mo>‖</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mtext> </mtext> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z^{-1}={\frac {z^{*}}{{\lVert z Vert }^{2}}}~.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les nombres complexes fractionnés qui ne sont pas inversibles sont appelés vecteurs nuls . Ils sont tous de la forme ( a ± ja ) pour un nombre réel a .

La base diagonale

Il existe deux éléments idempotents non triviaux donnés par et Rappelons qu'idempotent signifie que et Ces deux éléments sont nuls : ${\displaystyle e={ frac {1}{2}}(1-j) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle e={ frac {1}{2}}(1-j)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle e^{*}={ frac {1}{2}}(1+j). <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle e^{*}={ frac {1}{2}}(1+j).}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle ee=e <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>e</mi> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle ee=e}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle e^{*}e^{*}=e^{*}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle e^{*}e^{*}=e^{*}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle \lVert e Vert =\lVert e^{*} Vert =e^{*}e=0~. <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>‖</mo> <mi>e</mi> <mo>‖</mo> <mo>=</mo> <mo>‖</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>‖</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mi>e</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mtext> </mtext> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \lVert e Vert =\lVert e^{*} Vert =e^{*}e=0~.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Il est souvent pratique d'utiliser e et e ^∗ comme base alternative pour le plan complexe divisé. Cette base est appelée base diagonale ou base nulle . Le nombre complexe divisé z peut être écrit dans la base nulle comme

${\displaystyle z=x+jy=(x-y)e+(x+y)e^{*}~. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mi>e</mi> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mtext> </mtext> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z=x+jy=(x-y)e+(x+y)e^{*}~.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Si nous désignons le nombre réel a et b par ( a , b ) , alors la multiplication complexe divisée est donnée par ${\displaystyle z=ae+be^{* <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>e</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z=ae+be^{*}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle \left(a_{1},b_{1} ight)\left(a_{2},b_{2} ight)=\left(a_{1}a_{2},b_{1}b_{2} ight)~. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mtext> </mtext> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \left(a_{1},b_{1} ight)\left(a_{2},b_{2} ight)=\left(a_{1}a_{2},b_{1}b_{2} ight)~.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le conjugué complexe divisé dans la base diagonale est donné par et le module au carré par ${\displaystyle (a,b)^{*}=(b,a) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (a,b)^{*}=(b,a)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle \lVert (a,b) Vert ^{2}=ab. <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>‖</mo> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <msup> <mo>‖</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \lVert (a,b) Vert ^{2}=ab.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Isomorphisme

Sur la base de {e, e*}, il devient clair que les nombres complexes divisés sont isomorphes à l'anneau de la somme directe ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>⊕</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ avec l'addition et la multiplication définies deux à deux.

La base diagonale du plan numérique complexe divisé peut être invoquée en utilisant une paire ordonnée ( x , y ) pour et en effectuant le mappage ${\displaystyle z=x+jy <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z=x+jy}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle (u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=(x,y)S~. <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mi>S</mi> <mtext> </mtext> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=(x,y)S~.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Maintenant, la forme quadratique est De plus, ${\displaystyle uv=(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}~. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>u</mi> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mtext> </mtext> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle uv=(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}~.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle (\cosh a,\sinh a){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=\left(e^{a},e^{-a} ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>cosh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>sinh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>a</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (\cosh a,\sinh a){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=\left(e^{a},e^{-a} ight)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

ainsi les deux hyperboles paramétrées sont mises en correspondance avec S .

L' action du verseur hyperbolique correspond alors sous cette transformation linéaire à une application de compression ${\displaystyle e^{bj}\! <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle e^{bj}\!}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle \sigma :(u,v)\mapsto \left(ru,{\frac {v}{r}} ight),\quad r=e^{b}~. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>σ</mi> <mo>:</mo> <mo>(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> <mo>↦</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mrow> <mfrac> <mi>v</mi> <mi>r</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <mtext> </mtext> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sigma :(u,v)\mapsto \left(ru,{\frac {v}{r}} ight),\quad r=e^{b}~.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Bien qu'appartenant à la même classe d'isomorphisme dans la catégorie des anneaux , le plan complexe divisé et la somme directe de deux droites réelles diffèrent dans leur disposition dans le plan cartésien . L'isomorphisme, en tant qu'application plane, consiste en une rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre de 45° et une dilatation de √ 2 . La dilatation en particulier a parfois causé une confusion en rapport avec les aires d'un secteur hyperbolique . En effet, l'angle hyperbolique correspond à l'aire d'un secteur dans le plan ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>⊕</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ avec son « cercle unité » donné par L' hyperbole unité contractée du plan complexe divisé n'a que la moitié de l'aire dans l'envergure d'un secteur hyperbolique correspondant. Une telle confusion peut être perpétuée lorsque la géométrie du plan complexe divisé n'est pas distinguée de celle de ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \{(a,b)\in \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} :ab=1\}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo>∈</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>⊕</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>:</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>}</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{(a,b)\in \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} :ab=1\}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \{\cosh a+j\sinh a:a\in \mathbb {R} \ <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <mi>cosh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mi>sinh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>a</mi> <mo>:</mo> <mi>a</mi> <mo>∈</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{\cosh a+j\sinh a:a\in \mathbb {R} \}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>⊕</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Géométrie

Hyperbole unitaire : ‖ z ‖ = 1

Hyperbole conjuguée : ‖ z ‖ = −1

Asymptotes : ‖ z ‖ = 0

Un espace vectoriel réel à deux dimensions avec le produit scalaire de Minkowski est appelé espace de Minkowski à (1 + 1) dimensions , souvent noté ⁠ ⁠ Tout comme une grande partie de la géométrie du plan euclidien ⁠ ⁠ peut être décrite avec des nombres complexes, la géométrie du plan de Minkowski ⁠ ⁠ peut être décrite avec des nombres complexes divisés. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

L'ensemble des points

${\displaystyle \left\{z:\lVert z Vert ^{2}=a^{2} ight\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>z</mi> <mo>:</mo> <mo>‖</mo> <mi>z</mi> <msup> <mo>‖</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \left\{z:\lVert z Vert ^{2}=a^{2} ight\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

est une hyperbole pour tout a non nul dans ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} . <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} .}</annotation> </semantics> </math><img src=$ L'hyperbole est constituée d'une branche droite et d'une branche gauche passant par ( a , 0) et (− a , 0) . Le cas a = 1 est appelé hyperbole unitaire . L' hyperbole conjuguée est donnée par

${\displaystyle \left\{z:\lVert z Vert ^{2}=-a^{2} ight\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>z</mi> <mo>:</mo> <mo>‖</mo> <mi>z</mi> <msup> <mo>‖</mo> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \left\{z:\lVert z Vert ^{2}=-a^{2} ight\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

avec une branche supérieure et une branche inférieure passant par (0, a ) et (0, − a ) . L'hyperbole et l'hyperbole conjuguée sont séparées par deux asymptotes diagonales qui forment l'ensemble des éléments nuls :

${\displaystyle \left\{z:\lVert z Vert =0 ight\}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>z</mi> <mo>:</mo> <mo>‖</mo> <mi>z</mi> <mo>‖</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \left\{z:\lVert z Vert =0 ight\}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Ces deux lignes (parfois appelées cône nul ) sont perpendiculaires en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ et ont des pentes ±1.

Les nombres complexes fractionnés z et w sont dits hyperboliques-orthogonaux si ⟨ z , w ⟩ = 0 . Bien qu'analogue à l'orthogonalité ordinaire, en particulier telle qu'elle est connue avec l'arithmétique des nombres complexes ordinaires, cette condition est plus subtile. Elle constitue la base du concept d'hyperplan simultané dans l'espace-temps.

L'analogue de la formule d'Euler pour les nombres complexes divisés est

${\displaystyle \exp(j heta )=\cosh( heta )+j\sinh( heta ). <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mi>θ</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>cosh</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>θ</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mi>sinh</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>θ</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \exp(j heta )=\cosh( heta )+j\sinh( heta ).}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Cette formule peut être dérivée d'un développement en série entière en utilisant le fait que cosh n'a que des puissances paires tandis que celui de sinh a des puissances impaires. Pour toutes les valeurs réelles de l' angle hyperbolique θ le nombre complexe divisé λ = exp( jθ ) a pour norme 1 et se trouve sur la branche droite de l'hyperbole unité. Des nombres tels que λ ont été appelés verseurs hyperboliques .

Étant donné que λ a un module 1, la multiplication de tout nombre complexe divisé z par λ préserve le module de z et représente une rotation hyperbolique (également appelée boost de Lorentz ou application de compression ). La multiplication par λ préserve la structure géométrique, en prenant les hyperboles pour elles-mêmes et le cône nul pour lui-même.

L'ensemble de toutes les transformations du plan complexe divisé qui préservent le module (ou de manière équivalente, le produit scalaire) forme un groupe appelé groupe orthogonal généralisé O(1, 1) . Ce groupe est constitué des rotations hyperboliques, qui forment un sous-groupe noté SO ⁺ (1, 1) , combiné à quatre réflexions discrètes données par

${\displaystyle z\mapsto \pm z <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>z</mi> <mo>↦</mo> <mo>±</mo> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z\mapsto \pm z}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle z\mapsto \pm z^{*}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>z</mi> <mo>↦</mo> <mo>±</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z\mapsto \pm z^{*}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La carte exponentielle

${\displaystyle \exp \colon (\mathbb {R} ,+) o \mathrm {SO} ^{+}(1,1) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>exp</mi> <mo>:</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo>)</mo> <mo>→</mo> <msup> <mrow> <mi>S</mi> <mi>O</mi> </mrow> <mrow> <mo>+</mo> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \exp \colon (\mathbb {R} ,+) o \mathrm {SO} ^{+}(1,1)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

envoyer θ en rotation par exp( jθ ) est un isomorphisme de groupe puisque la formule exponentielle habituelle s'applique :

${\displaystyle e^{j( heta +\phi )}=e^{j heta }e^{j\phi }. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>(</mo> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>ϕ</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle e^{j( heta +\phi )}=e^{j heta }e^{j\phi }.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Si un nombre complexe divisé z ne se trouve pas sur l'une des diagonales, alors z a une décomposition polaire .

Propriétés algébriques

En termes d'algèbre abstraite , les nombres complexes divisés peuvent être décrits comme le quotient de l' anneau polynomial par l' ${\displaystyle \mathbb {R} [x] <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>[</mo> <mi>x</mi> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} [x]}</annotation> </semantics> </math><img src=$ idéal généré par le polynôme ${\displaystyle x^{2}-1, <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x^{2}-1,}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1). <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>[</mo> <mi>x</mi> <mo>]</mo> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1).}</annotation> </semantics> </math><img src=$

L'image de x dans le quotient est l'unité "imaginaire" j . Avec cette description, il est clair que les nombres complexes dédoublés forment une algèbre commutative sur les nombres réels. L'algèbre n'est pas un corps puisque les éléments nuls ne sont pas inversibles. Tous les éléments nuls non nuls sont des diviseurs de zéro .

L'addition et la multiplication étant des opérations continues par rapport à la topologie habituelle du plan, les nombres complexes fractionnés forment un anneau topologique .

L'algèbre des nombres complexes divisés forme une algèbre de composition puisque

${\displaystyle \lVert zw Vert =\lVert z Vert \lVert w Vert ~ <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>‖</mo> <mi>z</mi> <mi>w</mi> <mo>‖</mo> <mo>=</mo> <mo>‖</mo> <mi>z</mi> <mo>‖</mo> <mo>‖</mo> <mi>w</mi> <mo>‖</mo> <mtext> </mtext> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \lVert zw Vert =\lVert z Vert \lVert w Vert ~}</annotation> </semantics> </math><img src=$

pour tous les nombres z et w .

D'après la définition, il apparaît que l'anneau des nombres complexes fractionnés est isomorphe à l' anneau de groupe ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} [C_{2}] <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>[</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} [C_{2}]}</annotation> </semantics> </math><img src=$ du groupe cyclique C ₂ sur les nombres réels ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} . <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} .}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Représentations matricielles

On peut facilement représenter les nombres complexes fractionnés par des matrices . Le nombre complexe fractionné peut être représenté par la matrice ${\displaystyle z=x+jy <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z=x+jy}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle z\mapsto {\begin{pmatrix}x&y\\y&x\end{pmatrix}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>z</mi> <mo>↦</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> <mtd> <mi>y</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> </mtd> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z\mapsto {\begin{pmatrix}x&y\\y&x\end{pmatrix}}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

L'addition et la multiplication de nombres complexes fractionnés sont alors données par addition et multiplication de matrices. Le module au carré de z est donné par le déterminant de la matrice correspondante.

En fait, il existe de nombreuses représentations du plan complexe divisé dans l' anneau à quatre dimensions des matrices réelles 2x2. Les multiples réels de la matrice identité forment une ligne réelle dans l'anneau matriciel M(2,R). Toute unité hyperbolique m fournit un élément de base avec lequel étendre la ligne réelle au plan complexe divisé. Les matrices

${\displaystyle m={\begin{pmatrix}a&c\\b&-a\end{pmatrix <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mi>a</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle m={\begin{pmatrix}a&c\\b&-a\end{pmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

quel carré de la matrice identité satisfait Par exemple, lorsque a = 0, alors ( b, c ) est un point sur l'hyperbole standard. Plus généralement, il existe une hypersurface dans M(2, R) d'unités hyperboliques, dont l'une quelconque sert dans une base à représenter les nombres complexes fractionnés comme un sous-anneau de M(2, R). ${\displaystyle a^{2}+bc=1. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>a</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a^{2}+bc=1.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le nombre peut être représenté par la matrice ${\displaystyle z=x+jy <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z=x+jy}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x\ I+y\ m. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mtext> </mtext> <mi>I</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mtext> </mtext> <mi>m</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x\ I+y\ m.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Histoire

L'utilisation des nombres complexes fractionnés remonte à 1848 lorsque James Cockle a révélé ses tessarines . William Kingdon Clifford a utilisé des nombres complexes fractionnés pour représenter des sommes de spins. Clifford a introduit l'utilisation de nombres complexes fractionnés comme coefficients dans une algèbre de quaternions maintenant appelée biquaternions fractionnés . Il a appelé ses éléments « moteurs », un terme parallèle à l'action « rotor » d'un nombre complexe ordinaire tiré du groupe des cercles . En étendant l'analogie, les fonctions d'une variable motrice contrastent avec les fonctions d'une variable complexe ordinaire .

Depuis la fin du XXe siècle, la multiplication du complexe fractionné est généralement considérée comme une augmentation de Lorentz d'un plan espace-temps . Dans ce modèle, le nombre z = x + y j représente un événement dans un plan spatio-temporel, où x est mesuré en secondes et y en secondes-lumière . Le futur correspond au quadrant d'événements { z : | y | < x } , qui a la décomposition polaire du complexe fractionné . Le modèle dit que z peut être atteint à partir de l'origine en entrant dans un référentiel de rapidité a et en attendant ρ nanosecondes. L'équation du complexe fractionné ${\displaystyle z= ho e^{aj}\! <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>ρ</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z= ho e^{aj}\!}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle e^{aj}\ e^{bj}=e^{(a+b)j <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <mtext> </mtext> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle e^{aj}\ e^{bj}=e^{(a+b)j}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

l'expression des produits sur l'hyperbole unité illustre l'additivité des rapidités pour les vitesses colinéaires. La simultanéité des événements dépend de la rapidité a ;

${\displaystyle \{z=\sigma je^{aj}:\sigma \in \mathbb {R} \ <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>σ</mi> <mi>j</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <mo>:</mo> <mi>σ</mi> <mo>∈</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{z=\sigma je^{aj}:\sigma \in \mathbb {R} \}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

est la ligne d'événements simultanés à l'origine dans le référentiel avec une rapidité a .

Deux événements z et w sont hyperboliques-orthogonaux lorsque les événements canoniques exp( aj ) et j exp( aj ) sont hyperboliques-orthogonaux et se trouvent sur les axes d'un référentiel dans lequel les événements simultanés à l'origine sont proportionnels à j exp( aj ) . ${\displaystyle z^{*}w+zw^{*}=0. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>z</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mi>w</mi> <mo>+</mo> <mi>z</mi> <msup> <mi>w</mi> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z^{*}w+zw^{*}=0.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

En 1933, Max Zorn utilisait les octonions dédoublés et remarqua la propriété de l'algèbre de composition . Il réalisa que la construction de Cayley-Dickson , utilisée pour générer des algèbres de division, pouvait être modifiée (avec un facteur gamma, γ ) pour construire d'autres algèbres de composition, y compris les octonions dédoublés. Son innovation fut perpétuée par Adrian Albert , Richard D. Schafer et d'autres. Le facteur gamma, avec R comme corps de base, construit des nombres complexes dédoublés comme une algèbre de composition. Dans une critique d'Albert pour Mathematical Reviews , NH McCoy écrivit qu'il y avait une « introduction de certaines nouvelles algèbres d'ordre 2 ^e sur F généralisant les algèbres de Cayley-Dickson ». Prendre F = R et e = 1 correspond à l'algèbre de cet article.

En 1935, JC Vignaux et A. Durañona y Vedia ont développé l'algèbre géométrique complexe divisée et la théorie des fonctions dans quatre articles dans Contribución a las Ciencias Físicas y Matemáticas , Université nationale de La Plata , République Argentine (en espagnol). Ces essais explicatifs et pédagogiques ont présenté le sujet à une large appréciation.

En 1941, EF Allen a utilisé l'arithmétique géométrique complexe divisée pour établir l' hyperbole à neuf points d'un triangle inscrit dans zz ^∗ = 1 .

En 1956, Mieczyslaw Warmus publie « Calcul des approximations » dans le Bulletin de l'Académie polonaise des sciences (voir le lien dans les références). Il développe deux systèmes algébriques, qu'il appelle chacun « nombres approchés », le second formant une algèbre réelle. DH Lehmer passe en revue l'article dans Mathematical Reviews et observe que ce second système est isomorphe aux nombres « complexes hyperboliques », sujet de cet article.

En 1961, Warmus a poursuivi son exposé en se référant aux composantes d'un nombre approximatif comme le point médian et le rayon de l'intervalle désigné.

Synonymes

Différents auteurs ont utilisé une grande variété de noms pour les nombres complexes fractionnés. En voici quelques-uns :

( réelles ) tessarines , James Cockle (1848)
moteurs ( algébriques ) , W.K. Clifford (1882)
nombres complexes hyperboliques , JC Vignaux (1935), G. Cree (1949)
nombres biréaux , U. Bencivenga (1946)
nombres hyperboliques réels , N. Smith (1949)
nombres approximatifs , Warmus (1956), à utiliser dans l'analyse d'intervalle
numéros doubles , IM Yaglom (1968), Kantor et Solodovnikov (1989), Hazewinkel (1990), Rooney (2014)
nombres hyperboliques , W. Miller & R. Boehning (1968), G. Sobczyk (1995)
nombres anormaux complexes , W. Benz (1973)
nombres perplexes , P. Fjelstad (1986) et Poodiack & LeClair (2009)
contre-complexe ou hyperbolique , Carmody (1988)
Nombres de Lorentz , FR Harvey (1990)
nombres semi-complexes , F. Antonuccio (1994)
nombres paracomplexes , Cruceanu, Fortuny & Gadea (1996)
nombres complexes fractionnés , B. Rosenfeld (1997)
nombres de l'espace-temps , N. Borota (2000)
Numéros d'étude , P. Lounesto (2001)
deux nombres complexes , S. Olariu (2002)
binaires séparés , K. McCrimmon (2004)