Analyse complexe

d'une variable discrète ( entière )

{\displaystyle z </span referrerpolicy=

du domaine et leurs images

{\displaystyle f(z) <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f(z)}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle z=x+iy\quad { ext{ and }}\quad f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y), <semantics><mrow><mstyle><mi>z</mi><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>je</mi><mi>y</mi><mspace></mspace><mrow><mtext> et </mtext></mrow><mspace></mspace><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>je</mi><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>vous</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>je</mi><mi>v</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle z=x+iy\quad { ext{ et }}\quad f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),}</annotation></semantics></math></span><img src=

où ${\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y) <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>vous</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi>v</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle x, y, u (x, y), v (x, y)}</annotation></semantics></math><img src=$

Autrement dit, une fonction complexe ${\displaystyle f:\mathbb {C} o \mathbb {C} <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>:</mo><mrow><mi>C</mi></mrow><mo>→</mo><mrow><mi>C</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f:\mathbb {C} o \mathbb {C} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle u <semantics><mrow><mstyle><mi>vous</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle u}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle v <semantics><mrow><mstyle><mi>v</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle v}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle x <semantics><mrow><mstyle><mi>x</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle x}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle y <semantics><mrow><mstyle><mi>y</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle y}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle u:\mathbb {R} ^{2} o \mathbb {R} \quad <semantics><mrow><mstyle><mi>vous</mi><mo>:</mo><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>→</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mspace></mspace></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle u:\mathbb {R} ^{2} o \mathbb {R} \quad }</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle \quad v:\mathbb {R} ^{2} o \mathbb {R} . <semantics><mrow><mstyle><mspace></mspace><mi>v</mi><mo>:</mo><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>→</mo><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \quad v:\mathbb {R} ^{2} o \mathbb {R} .}</annotation></semantics></math></span><img src=

Une fonction complexe est continue si et seulement si sa fonction vectorielle associée à deux variables est également continue. Cependant, cette identification ne s'étend pas à la dérivabilité . La définition de la dérivée d'une fonction complexe est très similaire à celle d'une fonction réelle, mais la dérivabilité de la fonction réelle associée à deux variables n'implique pas l'existence de la dérivée de la fonction complexe. En particulier, si une fonction complexe admet une dérivée, elle possède des dérivées de tout ordre et est égale à la somme de ses développements en série de Taylor au voisinage de chaque point de son domaine.

Il s'ensuit que deux fonctions différentiables égales au voisinage d'un point sont égales sur l'intersection de leurs domaines si ces domaines sont connexes . Cette propriété est à la base du principe de prolongement analytique , qui permet de prolonger de manière unique toute fonction analytique réelle ou complexe afin d'obtenir une fonction analytique complexe dont le domaine est le plan complexe tout entier, après suppression d'un nombre fini d' arcs de courbe . De nombreuses fonctions complexes, fondamentales et particulières, sont définies de cette manière, notamment la fonction exponentielle complexe , les fonctions logarithmiques complexes et les fonctions trigonométriques .

Fonctions holomorphes

{\displaystyle \Omega </span referrerpolicy=

Les éléments du plan complexe sont dits holomorphes sur

{\displaystyle \Omega </span referrerpolicy=

Dans le contexte de l'analyse complexe, la dérivée de

{\displaystyle f <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle z_{0 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>z</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle z_{0}}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z o z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}. <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>f</mi><mo>′</mo></msup><mo>(</mo><msub><mi>z</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><munder><mo>limite</mo><mrow><mi>z</mi><mo>→</mo><msub><mi>z</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></munder><mrow><mfrac><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><msub><mi>z</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>z</mi><mo>−</mo><msub><mi>z</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z o z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

En apparence, cette définition est formellement analogue à celle de la dérivée d'une fonction réelle. Cependant, les dérivées complexes et les fonctions différentiables se comportent de manière significativement différente de leurs homologues réelles. En particulier, pour que cette limite existe, la valeur du quotient différentiel doit tendre vers le même nombre complexe, quelle que soit la manière dont on l'approche. ${\displaystyle z_{0 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>z</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle z_{0}}</annotation></semantics></math><img src=$ n -ième n'implique pas nécessairement l'existence de la dérivée ( n +1)-ième pour les fonctions réelles. De plus, toutes les fonctions holomorphes satisfont la condition plus forte d' analyticité , ce qui signifie que la fonction est, en tout point de son domaine, localement donnée par une série entière convergente. En substance, cela signifie que les fonctions holomorphes sur ${\displaystyle \Omega <semantics><mrow><mstyle><mi>Ω</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \Omega <semantics><mrow><mstyle><mi>Ω</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \Omega }</annotation></semantics></math><img src=$ nulle part analytiques ; voir Une fonction lisse qui n'est nulle part réelle analytique .

La plupart des fonctions élémentaires, y compris la fonction exponentielle , les fonctions trigonométriques et toutes les fonctions polynomiales , s'étendent de manière appropriée aux arguments complexes en tant que fonctions ${\displaystyle \mathbb {C} o \mathbb {C} <mrow><mstyle><mi>p</mi><mrow><mo>/</mo></mrow><mi>q</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle p/q}</annotation></semantics></math><img src=$ p et q sont des polynômes sont holomorphes sur les domaines qui excluent les points où q s'annule. Ces fonctions, holomorphes partout sauf en un ensemble de points isolés, sont appelées fonctions méromorphes . ${ displaystyle z mapsto Re (z) <mrow><mstyle><mi>z</mi><mo>↦</mo><mrow><mrow><mover><mi>z</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{ displaystyle z mapsto { bar {z}}}</annotation></semantics></math><img src=$

Une propriété importante des fonctions holomorphes est la relation entre les dérivées partielles de leurs composantes réelles et imaginaires, connue sous le nom de conditions de Cauchy-Riemann . ${\displaystyle f:\mathbb {C} o \mathbb {C} <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>:</mo><mrow><mi>C</mi></mrow><mo>→</mo><mrow><mi>C</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f:\mathbb {C} o \mathbb {C} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) </span referrerpolicy=$ , où ${\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\in \mathbb {R} <mrow><mstyle><msub><mi>z</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>∈</mo><mi>Ω</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle z_{0}\in \Omega}</annotation></semantics></math><img src=$

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})=0,\ { ext{where }}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\mathrel {:=} {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}} ight). <semantics><mrow><mstyle><mrow><mfrac><mrow><mi>∂</mi><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>∂</mi><mrow><mrow><mover><mi>z</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo>(</mo><msub><mi>z</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mtext> </mtext><mrow><mtext>où </mtext></mrow><mrow><mfrac><mi>∂</mi><mrow><mi>∂</mi><mrow><mrow><mover><mi>z</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo>:=</mo></mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mi>∂</mi><mrow><mi>∂</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>+</mo><mi>je</mi><mrow><mfrac><mi>∂</mi><mrow><mi>∂</mi><mi>y</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})=0,\ { ext{où }}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\mathrel {:=} {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}} ight).}</annotation></semantics></math></span><img src=

En termes de parties réelle et imaginaire de la fonction, u et v , cela est équivalent à la paire d'équations ${\displaystyle u_{x}=v_{y <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>vous</mi><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>v</mi><mrow><mi>y</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle u_{x}=v_{y}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle u_{y}=-v_{x <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>vous</mi><mrow><mi>y</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>−</mo><msub><mi>v</mi><mrow><mi>x</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle u_{y}=-v_{x}}</annotation></semantics></math><img src=$

Les fonctions holomorphes présentent des propriétés remarquables. Par exemple, le théorème de Picard affirme que l'image d'une fonction entière ne peut prendre que trois formes possibles : ${\displaystyle \mathbb {C} <mrow><mstyle><mo>{</mo><msub><mi>z</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>}</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \{z_{0}\}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${ displaystyle z_ {0} in mathbb {C <mrow><mstyle><mi>z</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle z}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle w <semantics><mrow><mstyle><mi>w</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle w}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f <mrow><mstyle><mi>f</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f}</annotation></semantics></math><img src=$

Carte conforme

En mathématiques , une application conforme est une fonction qui préserve localement les angles , mais pas nécessairement les longueurs.

Plus formellement, laissez ${\displaystyle U <semantics><mrow><mstyle><mi>U</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle U}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle V <semantics><mrow><mstyle><mi>V</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle V}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle f:U o V <semantics><mrow><mstyle><mi>f</mi><mo>:</mo><mi>U</mi><mo>→</mo><mi>V</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle f:U o V}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle u_{0}\in U <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>vous</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>∈</mo><mi>U</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle u_{0}\in U}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle u_{0 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>vous</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle u_{0}}</annotation></semantics></math><img src=$

La propriété de conformité peut être décrite en termes de matrice dérivée jacobienne d'une transformation de coordonnées . La transformation est conforme lorsque la jacobienne en chaque point est le produit d'un scalaire positif par une matrice de rotation ( orthogonale et de déterminant égal à un). Certains auteurs définissent la conformité comme incluant les transformations inversant l'orientation dont les jacobiennes peuvent s'écrire comme le produit d'un scalaire quelconque par une matrice orthogonale quelconque.

En deux dimensions, les applications conformes (préservant l'orientation) sont précisément les fonctions analytiques complexes localement inversibles . En trois dimensions et plus, le théorème de Liouville restreint considérablement les applications conformes à quelques types.

La notion de conformité se généralise naturellement aux applications entre variétés riemanniennes ou semi-riemanniennes .

Résultats majeurs

Graphique de la roue chromatique de la fonction ( x ² − 1)( x − 2 − i ) ² / x ² + 2 + 2 i ⁠ . La teinte représente l' argument , la luminosité la magnitude.

L'un des outils centraux de l'analyse complexe est l' intégrale curviligne . L'intégrale curviligne le long d'un contour fermé d'une fonction holomorphe sur tout l'espace délimité par ce contour est toujours nulle, comme l'énonce le théorème intégral de Cauchy . Les valeurs d'une telle fonction holomorphe à l'intérieur d'un disque peuvent être calculées par une intégrale curviligne sur la frontière du disque (comme le montre la formule intégrale de Cauchy ). Les intégrales curvilignes dans le plan complexe sont souvent utilisées pour déterminer des intégrales réelles complexes, et la théorie des résidus, entre autres, y est applicable (voir les méthodes d'intégration de contour ). Un pôle (ou singularité isolée ) d'une fonction est un point où la valeur de la fonction devient non bornée, ou « explose ». Si une fonction possède un tel pôle, on peut calculer son résidu en ce point, qui permet de calculer des intégrales curvilignes impliquant la fonction ; c'est le contenu du puissant théorème des résidus . Le comportement remarquable des fonctions holomorphes au voisinage des singularités essentielles est décrit par le théorème de Picard . Les fonctions qui possèdent uniquement des pôles mais aucune singularité essentielle sont dites méromorphes . Les séries de Laurent sont l'équivalent, à valeurs complexes, des séries de Taylor , mais peuvent être utilisées pour étudier le comportement des fonctions au voisinage des singularités grâce à des sommes infinies de fonctions plus classiques, telles que les polynômes.

Une fonction bornée holomorphe sur tout le plan complexe est constante ; c'est le théorème de Liouville . On peut s'en servir pour fournir une démonstration naturelle et concise du théorème fondamental de l'algèbre, qui affirme que le corps des nombres complexes est algébriquement clos .

Si une fonction est holomorphe sur un domaine connexe , ses valeurs sont entièrement déterminées par ses valeurs sur tout sous-domaine plus petit. On dit alors que la fonction est prolongée analytiquement sur le domaine plus grand à partir de ses valeurs sur le sous-domaine plus petit. Ceci permet d'étendre la définition de fonctions, telles que la fonction zêta de Riemann , initialement définies comme des sommes infinies convergeant seulement sur des domaines limités, à presque tout le plan complexe. Parfois, comme dans le cas du logarithme népérien , il est impossible de prolonger analytiquement une fonction holomorphe sur un domaine non simplement connexe du plan complexe, mais on peut l'étendre à une fonction holomorphe sur une surface étroitement apparentée, appelée surface de Riemann .

Tout ceci se rapporte à l'analyse complexe à une variable. Il existe également une théorie très riche de l'analyse complexe en plusieurs dimensions complexes, dans laquelle les propriétés analytiques, telles que le développement en série entière, se conservent, tandis que la plupart des propriétés géométriques des fonctions holomorphes en une dimension complexe (comme la conformité ) ne se conservent pas. Le théorème de transformation de Riemann concernant la relation de conformité de certains domaines du plan complexe, qui est peut-être le résultat le plus important de la théorie unidimensionnelle, est fortement remis en cause en dimensions supérieures.

Une application majeure de certains espaces complexes se trouve en mécanique quantique , sous forme de fonctions d'onde .