Graphique semi-logarithmique

En sciences et en ingénierie , un graphique semi-logarithmique ou semi-logarithmique possède un axe sur une échelle logarithmique et l'autre sur une échelle linéaire . Il est utile pour les données avec des relations exponentielles , où une variable couvre une large plage de valeurs.

Toutes les équations de la forme forment des lignes droites lorsqu'elles sont tracées de manière semi-logarithmique, car la prise des logarithmes des deux côtés donne ${\displaystyle y=\lambda a^{\gamma x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>et</mi> <mo>=</mo> <mi>λ</mi> <msup> <mi>un</mi> <mrow> <mi>γ</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle y=\lambda a^{\gamma x}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$

{\displaystyle \log _{a}y=\gamma x+\log _{a}\lambda . <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>enregistrer</mi> <mrow> <mi>un</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>et</mi> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>enregistrer</mi> <mrow> <mi>un</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>λ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \log _{a}y=\gamma x+\log _{a}\lambda .}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Il s'agit d'une ligne avec pente et interception verticale. L'échelle logarithmique est généralement libellée en base 10 ; parfois en base 2 : ${\displaystyle \gamma <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \gamma }</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle \log _{a}\lambda <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>enregistrer</mi> <mrow> <mi>un</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \log _{a}\lambda }</annotation> </semantics> </math></span><img src=$

{\displaystyle \log(y)=(\gamma \log(a))x+\log(\lambda ). <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>enregistrer</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>et</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>γ</mi> <mi>enregistrer</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>un</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>enregistrer</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>λ</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \log(y)=(\gamma \log(a))x+\log(\lambda ).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Un tracé log-linéaire (parfois log-lin) a une échelle logarithmique sur l' axe des y et une échelle linéaire sur l' axe des x ; un tracé linéaire-log (parfois lin-log) est l'inverse. La dénomination est sortie-entrée ( y – x ), l'ordre inverse de ( x , y ).

Sur un graphique semi-logarithmique, l'espacement de l'échelle sur l' axe des y (ou des x ) est proportionnel au logarithme du nombre, et non au nombre lui-même. Cela revient à convertir les valeurs y (ou x ) en leur logarithme et à représenter les données sur des échelles linéaires. Un graphique log-log utilise l'échelle logarithmique pour les deux axes et n'est donc pas un graphique semi-logarithmique.

Équations

L'équation d'une ligne sur un graphique linéaire-logarithmique, où l' axe des abscisses est mis à l'échelle logarithmiquement (avec une base logarithmique de n ), serait

{\displaystyle F(x)=m\log _{n}(x)+b.\, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <msub> <mi>enregistrer</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>.</mo> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle F(x)=m\log _{n}(x)+b.\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

L'équation d'une ligne sur un graphique log-linéaire, avec un axe des ordonnées mis à l'échelle logarithmiquement (avec une base logarithmique de n ), serait :

{\displaystyle \log _{n}(F(x))=mx+b <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>enregistrer</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \log _{n}(F(x))=mx+b}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle F(x)=n^{mx+b}=(n^{mx})(n^{b}). <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>n</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle F(x)=n^{mx+b}=(n^{mx})(n^{b}).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Recherche de la fonction à partir du graphique semi-logarithmique

Diagramme linéaire-logarithmique

Sur un graphique logarithmique linéaire, choisissez un point fixe ( x ₀ , F ₀ ), où F ₀ est l'abréviation de F ( x ₀ ), quelque part sur la ligne droite du graphique ci-dessus, et plus loin un autre point arbitraire ( x ₁ , F ₁ ) sur le même graphique. La formule de pente du graphique est :

{\displaystyle m={\frac {F_{1}-F_{0}}{\log _{n}(x_{1}/x_{0}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>enregistrer</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle m={\frac {F_{1}-F_{0}}{\log _{n}(x_{1}/x_{0})}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

ce qui conduit à

{\displaystyle F_{1}-F_{0}=m\log _{n}(x_{1}/x_{0}) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <msub> <mi>enregistrer</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle F_{1}-F_{0}=m\log _{n}(x_{1}/x_{0})}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle F_{1}=m\log _{n}(x_{1}/x_{0})+F_{0}=m\log _{n}(x_{1})-m\log _{n}(x_{0})+F_{0 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <msub> <mi>enregistrer</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <msub> <mi>enregistrer</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <mi>m</mi> <msub> <mi>enregistrer</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle F_{1}=m\log _{n}(x_{1}/x_{0})+F_{0}=m\log _{n}(x_{1})-m\log _{n}(x_{0})+F_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

ce qui signifie que ${\displaystyle F(x)=m\log _{n}(x)+\mathrm {constant} <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <msub> <mi>enregistrer</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mrow> <mi>c</mi> <mi>ou</mi> <mi>n</mi> <mi>m</mi> <mi>t</mi> <mi>un</mi> <mi>n</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle F(x)=m\log _{n}(x)+\mathrm {constante} }</annotation> </semantics> </math></span><img src=$

En d'autres termes, F est proportionnel au logarithme de x fois la pente de la droite de son graphique lin–log, plus une constante. Plus précisément, une droite sur un graphique lin–log contenant les points ( F ₀ , x ₀ ) et ( F ₁ , x ₁ ) aura la fonction :

{\displaystyle F(x)=(F_{1}-F_{0}){\left[{\frac {\log _{n}(x/x_{0})}{\log _{n}(x_{1}/x_{0})}} ight]}+F_{0}=(F_{1}-F_{0})\log _{\frac {x_{1}}{x_{0}}}{\left({\frac {x}{x_{0}}} ight)}+F_{0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>enregistrer</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>enregistrer</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>enregistrer</mi> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mi>x</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle F(x)=(F_{1}-F_{0}){\gauche[{\frac {\log _{n}(x/x_{0})}{\log _{n}(x_{1}/x_{0})}}\droite]}+F_{0}=(F_{1}-F_{0})\log _{\frac {x_{1}}{x_{0}}}{\gauche({\frac {x}{x_{0}}}\droite)}+F_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

graphique log-linéaire

Sur un graphique log-linéaire (échelle logarithmique sur l'axe des y), choisissez un point fixe ( x ₀ , F ₀ ), où F ₀ est l'abréviation de F ( x ₀ ), quelque part sur la ligne droite du graphique ci-dessus, et plus loin un autre point arbitraire ( x ₁ , F ₁ ) sur le même graphique. La formule de pente du graphique est :

{\displaystyle m={\frac {\log _{n}(F_{1}/F_{0})}{x_{1}-x_{0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>enregistrer</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle m={\frac {\log _{n}(F_{1}/F_{0})}{x_{1}-x_{0}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

ce qui conduit à

{\displaystyle \log _{n}(F_{1}/F_{0})=m(x_{1}-x_{0}) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>enregistrer</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \log _{n}(F_{1}/F_{0})=m(x_{1}-x_{0})}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Notez que n ^{log _n ( F ₁ )} = F ₁ . Par conséquent, les logarithmes peuvent être inversés pour trouver :

{\displaystyle {\frac {F_{1}}{F_{0}}}=n^{m(x_{1}-x_{0}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>n</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {F_{1}}{F_{0}}}=n^{m(x_{1}-x_{0})}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle F_{1}=F_{0}n^{m(x_{1}-x_{0}) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>n</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle F_{1}=F_{0}n^{m(x_{1}-x_{0})}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Ceci peut être généralisé à n'importe quel point, au lieu de simplement F ₁ :

{\displaystyle F(x)={F_{0}}n^{\left({\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}} ight)\log _{n}(F_{1}/F_{0}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>F</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msup> <mi>n</mi> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>enregistrer</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle F(x)={F_{0}}n^{\gauche({\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\droite)\log _{n}(F_{1}/F_{0})}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Exemples concrets

Diagramme de phase de l'eau

En physique et en chimie , un graphique du logarithme de la pression en fonction de la température peut être utilisé pour illustrer les différentes phases d'une substance, comme dans le cas suivant pour l'eau :

Progression de la « grippe porcine » en 2009

Bien que dix soit la base la plus courante , il existe des moments où d'autres bases sont plus appropriées, comme dans cet exemple :

Graphique semi-logarithmique des cas et des décès lors de l’ épidémie de grippe A (H1N1) de 2009 .

Notez que si l'axe horizontal (temps) est linéaire, avec des dates régulièrement espacées, l'axe vertical (cas) est logarithmique, les divisions régulièrement espacées étant étiquetées avec des puissances successives de deux. Le tracé semi-logarithmique permet de voir plus facilement quand l'infection a cessé de se propager à son rythme maximal, c'est-à-dire la ligne droite sur ce tracé exponentiel, et commence à se courber pour indiquer un rythme plus lent. Cela peut indiquer qu'une certaine forme de mesure d'atténuation fonctionne, par exemple la distanciation sociale.

Croissance microbienne

En biologie et en génie biologique , l'évolution du nombre de microbes due à la reproduction asexuée et à l'épuisement des nutriments est généralement illustrée par un graphique semi-logarithmique. Le temps est généralement l'axe indépendant, avec le logarithme du nombre ou de la masse de bactéries ou d'autres microbes comme variable dépendante. Cela forme un graphique avec quatre phases distinctes, comme indiqué ci-dessous.