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Complément (théorie des ensembles)

Si A est la zone colorée en rouge sur cette image… …alors le complément de A est tout le reste. En théorie des ensembles , le complémentaire d'un ensemble (ou ), est l'ensemble ...

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Si A est la zone colorée en rouge sur cette image…

Un cercle vide inscrit dans un carré. La partie du carré non recouverte par le cercle est rouge. Les contours du cercle et du carré sont noirs.

…alors le complément de A est tout le reste.

En théorie des ensembles , le complémentaire d'un ensemble ${\displaystyle A^{c </span referrerpolicy=$ (ou ), est l'ensemble des éléments qui ne sont pas dans , le complément absolu de qui ne sont pas dans par rapport à un ensemble et ${\displaystyle B\setminus A, </span referrerpolicy=$ est l'ensemble des éléments de

Complément absolu

Définition

Si (ou simplement le complément de (dans un ensemble plus grand implicitement défini). Autrement dit, soit , soit parce qu'il a été spécifié précédemment, soit parce qu'il est évident et unique, alors le complément absolu de dans ${\displaystyle A^{c}=U\setminus A=\{x\in U:x otin A\}. </span referrerpolicy=$

Le complément absolu de ${\displaystyle A^{c <mrow><mstyle><mrow><mover><mi>UN</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\overline {A}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle A', <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>UN</mi><mo>′</mo></msup><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A',}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \complement _{U}A,{ ext{ and }}\complement A. <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>∁</mi><mrow><mi>U</mi></mrow></msub><mi>UN</mi><mo>,</mo><mrow><mtext> et </mtext></mrow><mi>∁</mi><mi>UN</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \complement _{U}A,{ ext{ et }}\complement A.}</annotation></semantics></math><img src=$

Exemples

Supposons que l'univers soit l'ensemble des entiers . Si est l'ensemble des nombres pairs. Si est l'ensemble des nombres congrus à 1 ou 2 modulo 3 (ou, en d'autres termes, les entiers qui ne sont pas des multiples de 3).
Supposons que l'univers soit un jeu de 52 cartes standard . Si l'ensemble est l' union des couleurs des trèfles, des carreaux et des cœurs. Si l'ensemble est l'union des couleurs des cœurs et des piques.
Lorsque l'univers est l' univers des ensembles décrit par la théorie des ensembles formalisée , le complément absolu d'un ensemble n'est généralement pas lui-même un ensemble, mais plutôt une classe stricte . Pour plus d'informations, voir ensemble universel .

Propriétés

Soient deux ensembles d'un univers ${\displaystyle \left(A\cup B ight)^{c}=A^{c}\cap B^{c}. </span referrerpolicy=$

{\displaystyle \left(A\cap B ight)^{c}=A^{c}\cup B^{c}. <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>UN</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msup><mo>∪</mo><msup><mi>B</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msup><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \left(A\cap B ight)^{c}=A^{c}\cup B^{c}.}</annotation></semantics></math></span><img src=

Lois complémentaires :

${\displaystyle A\cup A^{c}=U. <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi><mo>∪</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>U</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A\cup A^{c}=U.}</annotation></semantics></math><img src=$
${\displaystyle A\cap A^{c}=\emptyset . <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi><mo>∩</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>∅</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A\cap A^{c}=\emptyset .}</annotation></semantics></math><img src=$
${\displaystyle \emptyset ^{c}=U. <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>∅</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>U</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \emptyset ^{c}=U.}</annotation></semantics></math><img src=$
${\displaystyle U^{c}=\emptyset . <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>U</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>∅</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle U^{c}=\emptyset .}</annotation></semantics></math><img src=$
${\displaystyle { ext{If }}A\subseteq B{ ext{, then }}B^{c}\subseteq A^{c}. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mtext>Si </mtext></mrow><mi>UN</mi><mo>⊆</mo><mi>B</mi><mrow><mtext>, alors </mtext></mrow><msup><mi>B</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msup><mo>⊆</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msup><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle { ext{Si }}A\subseteq B{ ext{, alors }}B^{c}\subseteq A^{c}.}</annotation></semantics></math><img src=$
(ceci découle de l'équivalence d'une conditionnelle avec sa contraposée ).

Loi d'involution ou loi du double complément :

${\displaystyle \left(A^{c} ight)^{c}=A. <semantics><mrow><mstyle><msup><mrow><mo>(</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msup><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>UN</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \left(A^{c} ight)^{c}=A.}</annotation></semantics></math><img src=$

Relations entre compléments relatifs et absolus :

${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{c}. <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi><mo>∖</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mi>UN</mi><mo>∩</mo><msup><mi>B</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msup><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{c}.}</annotation></semantics></math><img src=$
${\displaystyle (A\setminus B)^{c}=A^{c}\cup B=A^{c}\cup (B\cap A). <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>UN</mi><mo>∖</mo><mi>B</mi><msup><mo>)</mo><mrow><mi>c</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msup><mo>∪</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><msup><mi>UN</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msup><mo>∪</mo><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>∩</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (A\setminus B)^{c}=A^{c}\cup B=A^{c}\cup (B\cap A).}</annotation></semantics></math><img src=$

Relation avec une différence fixe :

${\displaystyle A^{c}\setminus B^{c}=B\setminus A. <semantics><mrow><mstyle><msup><mi>UN</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msup><mo>∖</mo><msup><mi>B</mi><mrow><mi>c</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mi>B</mi><mo>∖</mo><mi>UN</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A^{c}\setminus B^{c}=B\setminus A.}</annotation></semantics></math><img src=$

Les deux premières lois complémentaires ci-dessus montrent que si est un sous-ensemble propre non vide de , alors est une partition de .

Complément relatif

Définition

Si et sont des ensembles, alors le complément relatif de dans , également appelé différence d'ensemble de et , est l'ensemble des éléments de mais pas de

Le complément relatif de dans est noté ${\displaystyle B\setminus A <semantics><mrow><mstyle><mi>B</mi><mo>∖</mo><mi>UN</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle B\setminus A}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle B-A, <semantics><mrow><mstyle><mi>B</mi><mo>−</mo><mi>UN</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle BA,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle b-a, <semantics><mrow><mstyle><mi>b</mi><mo>−</mo><mi>un</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle ba,}</annotation></semantics></math><img src=$

Officiellement: ${\displaystyle B\setminus A=\{x\in B:x otin A\}. <semantics><mrow><mstyle><mi>B</mi><mo>∖</mo><mi>UN</mi><mo>=</mo><mo>{</mo><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>B</mi><mo>:</mo><mi>x</mi><mo>∉</mo><mi>UN</mi><mo>}</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle B\setminus A=\{x\in B:x otin A\}.}</annotation></semantics></math><img src=$

Exemples

${\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}. <semantics><mrow><mstyle><mo>{</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>3</mn><mo>}</mo><mo>∖</mo><mo>{</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mn>4</mn><mo>}</mo><mo>=</mo><mo>{</mo><mn>1</mn><mo>}</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}.}</annotation></semantics></math><img src=$
${\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}. <semantics><mrow><mstyle><mo>{</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mn>4</mn><mo>}</mo><mo>∖</mo><mo>{</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>3</mn><mo>}</mo><mo>=</mo><mo>{</mo><mn>4</mn><mo>}</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}.}</annotation></semantics></math><img src=$
Si ${\displaystyle \mathbb {R} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>R</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {Q} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>Q</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} <semantics><mrow><mstyle><mrow><mi>R</mi></mrow><mo>∖</mo><mrow><mi>Q</mi></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }</annotation></semantics></math><img src=$

Propriétés

, et trois ensembles d'un univers

{\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B). </span referrerpolicy=

{\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B). <semantics><mrow><mstyle><mi>C</mi><mo>∖</mo><mo>(</mo><mi>UN</mi><mo>∪</mo><mi>B</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>C</mi><mo>∖</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo><mo>∩</mo><mo>(</mo><mi>C</mi><mo>∖</mo><mi>B</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B).}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B), <semantics><mrow><mstyle><mi>C</mi><mo>∖</mo><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>∖</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>C</mi><mo>∩</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo><mo>∪</mo><mo>(</mo><mi>C</mi><mo>∖</mo><mi>B</mi><mo>)</mo><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B),}</annotation></semantics></math></span><img src=

avec le cas particulier important

{\displaystyle C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A) <semantics><mrow><mstyle><mi>C</mi><mo>∖</mo><mo>(</mo><mi>C</mi><mo>∖</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>C</mi><mo>∩</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A). <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>∖</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo><mo>∩</mo><mi>C</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>∩</mo><mi>C</mi><mo>)</mo><mo>∖</mo><mi>UN</mi><mo>=</mo><mi>B</mi><mo>∩</mo><mo>(</mo><mi>C</mi><mo>∖</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A).}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C). <semantics><mrow><mstyle><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>∖</mo><mi>UN</mi><mo>)</mo><mo>∪</mo><mi>C</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>∪</mo><mi>C</mi><mo>)</mo><mo>∖</mo><mo>(</mo><mi>UN</mi><mo>∖</mo><mi>C</mi><mo>)</mo><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C).}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle A\setminus A=\emptyset . <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi><mo>∖</mo><mi>UN</mi><mo>=</mo><mi>∅</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A\setminus A=\emptyset .}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset . <semantics><mrow><mstyle><mi>∅</mi><mo>∖</mo><mi>UN</mi><mo>=</mo><mi>∅</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset .}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle A\setminus \emptyset =A. <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi><mo>∖</mo><mi>∅</mi><mo>=</mo><mi>UN</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A\setminus \emptyset =A.}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle A\setminus U=\emptyset . <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi><mo>∖</mo><mi>U</mi><mo>=</mo><mi>∅</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A\setminus U=\emptyset .}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle A\subset B <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi><mo>⊂</mo><mi>B</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A\subset B}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle C\setminus A\supset C\setminus B <semantics><mrow><mstyle><mi>C</mi><mo>∖</mo><mi>UN</mi><mo>⊃</mo><mi>C</mi><mo>∖</mo><mi>B</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C\setminus A\supset C\setminus B}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle A\supseteq B\setminus C <semantics><mrow><mstyle><mi>UN</mi><mo>⊇</mo><mi>B</mi><mo>∖</mo><mi>C</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle A\supseteq B\setminus C}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle C\supseteq B\setminus A <semantics><mrow><mstyle><mi>C</mi><mo>⊇</mo><mi>B</mi><mo>∖</mo><mi>UN</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C\supseteq B\setminus A}</annotation></semantics></math></span><img src=

Relation complémentaire

Une relation binaire ${\displaystyle R <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle X imes Y. <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi><mo>×</mo><mi>Y</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X imes Y.}</annotation></semantics></math><img src=$ relation complémentaire ${\displaystyle {\bar {R <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>R</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\bar {R}}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle X imes Y. <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi><mo>×</mo><mi>Y</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X imes Y.}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle {\bar {R}}\ =\ (X imes Y)\setminus R. <semantics><mrow><mstyle><mrow><mrow><mover><mi>R</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mtext> </mtext><mo>=</mo><mtext> </mtext><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>×</mo><mi>Y</mi><mo>)</mo><mo>∖</mo><mi>R</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle {\bar {R}}\ =\ (X imes Y)\setminus R.}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle X, <semantics><mrow><mstyle><mi>X</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle X,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle Y. <semantics><mrow><mstyle><mi>Y</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle Y.}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle aRb <semantics><mrow><mstyle><mi>un</mi><mi>R</mi><mi>b</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle aRb}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle a, <semantics><mrow><mstyle><mi>un</mi><mo>,</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a,}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle b. <semantics><mrow><mstyle><mi>b</mi><mo>.</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle b.}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R}</annotation></semantics></math><img src=$

Avec la composition des relations et les relations réciproques , les relations complémentaires et l' algèbre des ensembles sont les opérations élémentaires du calcul des relations .

Notation LaTeX

{\displaystyle \complement </span referrerpolicy=

(par opposition à

{\displaystyle C <semantics><mrow><mstyle><mi>C</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle C}</annotation></semantics></math></span><img src=

\complement. (Il correspond au symbole Unicode ∁ COMPLÉMENT .)