Intensité sonore

L'intensité sonore , également appelée intensité acoustique , est définie comme la puissance transportée par les ondes sonores par unité de surface dans une direction perpendiculaire à cette surface, également appelée densité de puissance sonore et densité de flux d'énergie sonore . L' unité SI d'intensité, qui inclut l'intensité sonore, est le watt par mètre carré (W/m2 ⁾ . Une application est la mesure du bruit de l' intensité sonore dans l'air à l'emplacement d'un auditeur en tant que quantité d'énergie sonore.

L'intensité sonore n'est pas la même quantité physique que la pression sonore . L'ouïe humaine est sensible à la pression sonore qui est liée à l'intensité sonore. Dans l'électronique audio grand public, les différences de niveau sont appelées différences « d'intensité », mais l'intensité sonore est une quantité spécifiquement définie et ne peut pas être détectée par un simple microphone.

Le niveau d'intensité sonore est une expression logarithmique de l'intensité sonore par rapport à une intensité de référence.

Définition mathématique

L'intensité sonore, notée I , est définie par où ${\displaystyle \mathbf {I} =p\mathbf {v} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>p</mi> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle mathbf {I} = p mathbf {v}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

p est la pression acoustique ;
v est la vitesse des particules .

I et v sont tous deux des vecteurs , ce qui signifie qu'ils ont tous deux une direction ainsi qu'une amplitude. La direction de l'intensité sonore est la direction moyenne dans laquelle l'énergie circule.

L'intensité sonore moyenne pendant le temps T est donnée par Pour une onde plane , Où, ${\displaystyle \langle \mathbf {I} angle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}p(t)\mathbf {v} (t)\,\mathrm {d} t. <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⟨</mo> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> <mo>⟩</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>T</mi> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msubsup> <mi>p</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mspace></mspace> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \langle \mathbf {I} angle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}p(t)\mathbf {v} (t)\,\mathrm {d} t.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathrm {I} =2\pi ^{2} u ^{2}\delta ^{2} ho c <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>π</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>δ</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>ρ</mi> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle mathrm {I} = 2 pi ^ {2} nu ^ {2} delta ^ {2} rho c}</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle u <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle u }</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle \delta <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>δ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \delta }</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle ho <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ρ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle ho }</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle c <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Loi du carré inverse

Pour une onde sonore sphérique , l'intensité dans la direction radiale en fonction de la distance r du centre de la sphère est donnée par où ${\displaystyle I(r)={\frac {P}{A(r)}}={\frac {P}{4\pi r^{2}}}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>je</mi> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mi>P</mi> <mrow> <mi>UN</mi> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mi>P</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msup> <mi>l</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle I(r)={\frac {P}{A(r)}}={\frac {P}{4\pi r^{2}}},}</annotation> </semantics> </math><img src=$

P est la puissance sonore ;
A ( r ) est l' aire de surface d'une sphère de rayon r .

Ainsi, l'intensité sonore diminue comme 1/ r ² à partir du centre de la sphère : ${\displaystyle I(r)\propto {\frac {1}{r^{2}}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>je</mi> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mo>)</mo> <mo>∝</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>l</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle I(r)\propto {\frac {1}{r^{2}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Cette relation est une loi du carré inverse .

Niveau d'intensité sonore

Le niveau d'intensité sonore (SIL) ou niveau d'intensité acoustique est le niveau (une grandeur logarithmique ) de l'intensité d'un son par rapport à une valeur de référence.

On la note L _I , exprimée en népers , bels ou décibels , et définie par où ${\displaystyle L_{I}={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {I}{I_{0}}} ight)\mathrm {Np} =\log _{10}\left({\frac {I}{I_{0}}} ight)\mathrm {B} =10\log _{10}\left({\frac {I}{I_{0}}} ight)\mathrm {dB} , <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>dans</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mi>je</mi> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mi>p</mi> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>enregistrer</mi> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mi>je</mi> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mn>10</mn> <msub> <mi>enregistrer</mi> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mi>je</mi> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle L_{I}={\frac {1}{2}}\ln \gauche({\frac {I}{I_{0}}}\droit)\mathrm {Np} =\log _{10}\gauche({\frac {I}{I_{0}}}\droit)\mathrm {B} =10\log _{10}\gauche({\frac {I}{I_{0}}}\droit)\mathrm {dB} ,}</annotation> </semantics> </math><img src=$

I est l'intensité sonore ;
I ₀ est l' intensité sonore de référence ;
- 1 Np = 1 est le néper ;
- 1 B = ⁠1/2⁠ ln(10) est le bel ;
- 1 dB = ⁠1/20⁠ ln(10) est le décibel .

L'intensité sonore de référence couramment utilisée dans l'air est ${\displaystyle I_{0}=1~\mathrm {pW/m^{2}} . <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mtext> </mtext> <mrow> <mi>p</mi> <mi>L</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle I_{0}=1~\mathrm {pW/m^{2}} .}</annotation> </semantics> </math><img src=$

étant approximativement l'intensité sonore la plus faible audible par une oreille humaine non endommagée dans des conditions ambiantes. Les notations appropriées pour le niveau d'intensité sonore utilisant cette référence sont L _{I /(1 pW/m ² )} ou L _I (re 1 pW/m ² ) , mais les notations dB SIL , dB(SIL) , dBSIL ou dB _SIL sont très courantes, même si elles ne sont pas acceptées par le SI.

L'intensité acoustique de référence I ₀ est définie de telle sorte qu'une onde plane progressive ait la même valeur de niveau d'intensité acoustique (SIL) et de niveau de pression acoustique (SPL), puisque ${\displaystyle I\propto p^{2}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>je</mi> <mo>∝</mo> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle I propto p ^ {2}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

L'égalité de SIL et SPL nécessite que où p ₀ = 20 μPa soit la pression acoustique de référence. ${\displaystyle {\frac {I}{I_{0}}}={\frac {p^{2}}{p_{0}^{2}}}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mi>je</mi> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msubsup> <mi>p</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {I}{I_{0}}}={\frac {p^{2}}{p_{0}^{2}}},}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Pour une onde sphérique progressive , où z ₀ est l' impédance acoustique spécifique caractéristique . Ainsi, ${\displaystyle {\frac {p}{c}}=z_{0}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>c</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>j</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {p}{c}}=z_{0},}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle I_{0}={\frac {p_{0}^{2}I}{p^{2}}}={\frac {p_{0}^{2}pc}{p^{2}}}={\frac {p_{0}^{2}}{z_{0}}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>p</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mi>je</mi> </mrow> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>p</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mi>p</mi> <mi>c</mi> </mrow> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msubsup> <mi>p</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>j</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle I_{0}={\frac {p_{0}^{2}I}{p^{2}}}={\frac {p_{0}^{2}pc}{p^{2 }}}={\frac {p_{0}^{2}}{z_{0}}}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Dans l'air à température ambiante, z ₀ = 410 Pa·s/m , d'où la valeur de référence I ₀ = 1 pW/m ² .

Dans une chambre anéchoïque qui se rapproche d'un champ libre (sans réflexion) avec une seule source, les mesures en champ lointain en SPL peuvent être considérées comme égales aux mesures en SIL. Ce fait est exploité pour mesurer la puissance acoustique dans des conditions anéchoïques.

Mesures

L'intensité sonore est définie comme le produit moyen dans le temps de la pression sonore et de la vitesse des particules acoustiques. Les deux quantités peuvent être mesurées directement en utilisant une sonde d'intensité sonore pu comprenant un microphone et un capteur de vitesse des particules , ou estimées indirectement en utilisant une sonde pp qui approxime la vitesse des particules en intégrant le gradient de pression entre deux microphones rapprochés.

Français Les méthodes de mesure basées sur la pression sont largement utilisées dans des conditions anéchoïques à des fins de quantification du bruit. L'erreur de biais introduite par une sonde pp peut être approximée par où est l'intensité « réelle » (non affectée par les erreurs d'étalonnage), est l'estimation biaisée obtenue à l'aide d'une sonde pp , est la valeur quadratique moyenne de la pression acoustique, est le nombre d'ondes, est la densité de l'air, est la vitesse du son et est l'espacement entre les deux microphones. Cette expression montre que les erreurs d'étalonnage de phase sont inversement proportionnelles à la fréquence et à l'espacement des microphones et directement proportionnelles au rapport entre la pression acoustique quadratique moyenne et l'intensité acoustique. Si le rapport pression/intensité est élevé, même une petite discordance de phase entraînera des erreurs de biais importantes. En pratique, les mesures d'intensité acoustique ne peuvent pas être effectuées avec précision lorsque l'indice pression-intensité est élevé, ce qui limite l'utilisation de sondes d'intensité pp dans des environnements avec des niveaux élevés de bruit de fond ou de réflexions. ${\displaystyle {\widehat {I}}_{n}^{p-p}\simeq I_{n}-{\frac {\varphi _{ ext{pe}}\,p_{ ext{rms}}^{2}}{k\Delta r ho c}}=I_{n}\left(1-{\frac {\varphi _{ ext{pe}}}{k\Delta r}}{\frac {p_{ ext{rms}}^{2}/ ho c}{I_{r}}} ight), <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>je</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mi>p</mi> </mrow> </msubsup> <mo>≃</mo> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>φ</mi> <mrow> <mtext>pe</mtext> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <msubsup> <mi>p</mi> <mrow> <mtext>RMS</mtext> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mi>Δ</mi> <mi>l</mi> <mi>ρ</mi> <mi>c</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mi>φ</mi> <mrow> <mtext>pe</mtext> </mrow> </msub> <mrow> <mi>k</mi> <mi>Δ</mi> <mi>l</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>p</mi> <mrow> <mtext>RMS</mtext> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>ρ</mi> <mi>c</mi> </mrow> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\widehat {I}}_{n}^{pp}\simeq I_{n}-{\frac {\varphi _{ ext{pe}}\,p_{ ext{rms}}^{2}}{k\Delta r ho c}}=I_{n}\gauche(1-{\frac {\varphi _{ ext{pe}}}{k\Delta r}}{\frac {p_{ ext{rms}}^{2}/ ho c}{I_{r}}}\droite),}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle I_{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle I_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\hat {I}}_{n}^{p-p <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>je</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mi>p</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\que {je}}_{n}^{pp}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle p_{ ext{rms <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>p</mi> <mrow> <mtext>RMS</mtext> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p_{ ext{rms}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle ho <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>ρ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle ho }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle c <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \Delta r <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Δ</mi> <mi>l</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Delta r}</annotation> </semantics> </math><img src=$

D'autre part, l'erreur de biais introduite par une sonde pu peut être approximée par où est l'estimation biaisée obtenue à l'aide d'une sonde pu , et sont la transformée de Fourier de la pression acoustique et de la vitesse des particules, est l'intensité réactive et est la discordance de phase pu introduite par les erreurs d'étalonnage. Par conséquent, l'étalonnage de phase est essentiel lorsque les mesures sont effectuées dans des conditions de champ proche, mais pas si pertinent si les mesures sont effectuées dans le champ lointain. La « réactivité » (le rapport entre l'intensité réactive et l'intensité active) indique si cette source d'erreur est préoccupante ou non. Par rapport aux sondes basées sur la pression, les sondes d'intensité pu ne sont pas affectées par l'indice pression/intensité, ce qui permet l'estimation de l'énergie acoustique se propageant dans des environnements de test défavorables à condition que la distance à la source sonore soit suffisante. ${\displaystyle {\hat {I}}_{n}^{p-u}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left\{{P{\hat {V}}_{n}^{*}} ight\}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left\{{PV_{n}^{*}e^{-j\varphi _{ ext{ue}}}} ight\}\simeq I_{n}+\varphi _{ ext{ue}}J_{n}\,, <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>je</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mi>toi</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>Concernant</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>P</mi> <msubsup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>V</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>Concernant</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>P</mi> <msubsup> <mi>V</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>∗</mo> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>j</mi> <msub> <mi>φ</mi> <mrow> <mtext>tu</mtext> </mrow> </msub> </mrow> </msup> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>≃</mo> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>φ</mi> <mrow> <mtext>tu</mtext> </mrow> </msub> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\hat {I}}_{n}^{pu}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \gauche\{{P{\hat {V}}_{n}^{*}}\droite\}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \gauche\{{PV_{n}^{*}e^{-j\varphi _{ ext{ue}}}}\droite\}\simeq I_{n}+\varphi _{ ext{ue}}J_{n}\,,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\hat {I}}_{n}^{p-u <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mrow> <mrow> <mover> <mi>je</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mi>toi</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle { hat {I}} _ {n} ^ {pu}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle P <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle V_{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle J_{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle J_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \varphi _{ ext{ue <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>φ</mi> <mrow> <mtext>tu</mtext> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle varphi _ {text {ue}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$