Mode transversal

Un mode transverse de rayonnement électromagnétique est un motif particulier de champ électromagnétique du rayonnement dans le plan perpendiculaire (c'est-à-dire transverse) à la direction de propagation du rayonnement . Les modes transverses apparaissent dans les ondes radio et les micro-ondes confinées dans un guide d'ondes , ainsi que dans les ondes lumineuses dans une fibre optique et dans le résonateur optique d' un laser .

Les modes transversaux apparaissent en raison des conditions aux limites imposées à l'onde par le guide d'ondes. Par exemple, une onde radio dans un guide d'ondes métallique creux doit présenter une amplitude de champ électrique tangentiel nulle aux parois du guide ; la distribution transversale du champ électrique des ondes est donc restreinte à celles qui se propagent entre les parois. C'est pourquoi les modes supportés par un guide d'ondes sont quantifiés . Les modes autorisés peuvent être déterminés en résolvant les équations de Maxwell pour les conditions aux limites d'un guide d'ondes donné.

Types de modes

Les ondes électromagnétiques non guidées dans l'espace libre, ou dans un diélectrique isotrope massif , peuvent être décrites comme une superposition d' ondes planes ; celles-ci peuvent être décrites comme des modes électromagnétiques transverses (TEM) tels que définis ci-dessous.

Cependant, dans tout guide d'ondes où les conditions aux limites sont imposées par une structure physique, une onde d'une fréquence donnée peut être décrite en termes de mode transverse (ou de superposition de tels modes). Ces modes suivent généralement des constantes de propagation différentes . Lorsque deux modes ou plus ont une constante de propagation identique le long du guide d'ondes, plusieurs décompositions modales sont possibles pour décrire une onde avec cette constante de propagation (par exemple, un mode laser gaussien non central peut être décrit de manière équivalente comme une superposition de modes Hermite-Gauss ou de modes Laguerre-Gauss , décrits ci-dessous).

guides d'ondes

Les modes dans les guides d'ondes peuvent être classés comme suit :

Modes électromagnétiques transverses (TEM): Ni champ électrique ni champ magnétique dans la direction de propagation.
Modes électriques transverses (TE): Aucun champ électrique n'est présent dans la direction de propagation. On les appelle parfois modes H car il n'existe qu'un champ magnétique dans cette direction ( H est le symbole conventionnel du champ magnétique).
Modes magnétiques transversaux (TM): Aucun champ magnétique n'est présent dans la direction de propagation. On les appelle parfois modes E car il n'existe qu'un champ électrique dans cette direction.
modes hybrides: Champs électriques et magnétiques non nuls dans la direction de propagation. Voir aussi Modes .

Lignes de transmission à conducteurs

Dans un câble coaxial, l'énergie est généralement transportée en mode TEM fondamental. Ce mode est également généralement supposé pour la plupart des autres types de conducteurs électriques. Cette hypothèse est généralement exacte, à l'exception notable des câbles microruban , qui présentent une composante longitudinale significative due à l'inhomogénéité à l'interface entre le substrat diélectrique situé sous le conducteur et l'air situé au-dessus. L'inhomogénéité se manifeste également au niveau des connecteurs ou des coudes d'un câble coaxial. Les modes non-TEM créés par les connecteurs sont généralement négligeables, sauf si le signal a une fréquence suffisamment élevée. On parle alors de fréquence maximale de fonctionnement sans modes parasites ou simplement de fréquence de fonctionnement sans modes du connecteur.

Dans une fibre optique ou un autre guide d'ondes diélectrique, les modes sont généralement de type hybride.

guides d'ondes

Les guides d'ondes métalliques creux remplis d'un matériau homogène et isotrope (généralement de l'air) supportent les modes TE et TM, mais pas le mode TEM. Dans les guides d'ondes rectangulaires, les numéros de mode rectangulaire sont désignés par deux nombres suffixés au type de mode, par exemple TE _mn ou TM _mn , où m représente le nombre de demi-ondes sur la largeur du guide d'ondes et n le nombre de demi-ondes sur sa hauteur. Dans les guides d'ondes circulaires, il existe des modes circulaires ; m représente alors le nombre d'ondes complètes sur la circonférence et n le nombre de demi-ondes sur le diamètre.

Fibres optiques

{ extstyle V=k_{0}a{\sqrt {n_{1}^{2}-n_{2}^{2 </span referrerpolicy=

où

{\displaystyle k_{0 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>k</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle k_{0}}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle a <semantics><mrow><mstyle><mi>un</mi></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle a}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle n_{1 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>n</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n_{1}}</annotation></semantics></math></span><img src=

{\displaystyle n_{2 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>n</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle n_{2}}</annotation></semantics></math></span><img src=

La décomposition des distributions de champ en modes est utile car un grand nombre de mesures d'amplitudes de champ peuvent être simplifiées en un nombre beaucoup plus restreint d'amplitudes modales. Ces modes évoluant dans le temps selon des règles simples, il est également possible d'anticiper le comportement futur de la distribution de champ. Ces simplifications des distributions de champ complexes facilitent le traitement du signal dans les systèmes de communication par fibre optique .

Les modes dans les fibres typiques à faible contraste d'indice de réfraction sont généralement appelés modes LP (polarisation linéaire), ce qui fait référence à une approximation scalaire de la solution du champ, la traitant comme si elle ne contenait qu'une seule composante de champ transverse.

Lasers

Diagrammes de mode transverse cylindriques TEM( pl )

Dans un laser à symétrie cylindrique, les profils de modes transverses sont décrits par la combinaison d'un profil de faisceau gaussien et d'un polynôme de Laguerre . Les modes sont notés où sont des entiers désignant respectivement les ordres des modes radial et angulaire. L'intensité en un point (en coordonnées polaires ) du centre du mode est donnée par : ${\displaystyle I_{pl}( ho ,\varphi )=I_{0} ho ^{l}\left[L_{p}^{l}( ho ) ight]^{2}\cos ^{2}(l\varphi )e^{- ho <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>je</mi><mrow><mi>p</mi><mi>l</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>ρ</mi><mo>,</mo><mi>φ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>je</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><msup><mi>ρ</mi><mrow><mi>l</mi></mrow></msup><msup><mrow><mo>[</mo><mrow><msubsup><mi>L</mi><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msubsup><mo>(</mo><mi>ρ</mi><mo>)</mo></mrow><mo>]</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>cos</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>⁡</mo><mo>(</mo><mi>l</mi><mi>φ</mi><mo>)</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><mi>ρ</mi></mrow></msup></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle I_{pl}( ho,\varphi )=I_{0} ho ^{l}\left[L_{p}^{l}( ho ) ight]^{2}\cos ^{2}(l\varphi )e^{- ho }}</annotation></semantics></math><img src=$ est le polynôme de Laguerre associé d'ordre , et , le mode TEM _00 est d'ordre fondamental. Il s'agit du mode transverse fondamental du résonateur laser et il présente la même forme qu'un faisceau gaussien. Le diagramme de rayonnement possède un seul lobe et une phase constante . Les modes d'ordre croissant présentent des lobes à distribution angulaire. En général , le diagramme de rayonnement du mode comporte ). Le mode , également appelé mode en forme de tore , est un cas particulier constitué de la superposition de deux modes ) décalés de par rapport à l'autre.

La taille globale du mode est déterminée par le rayon ; ainsi, le mode gaussien fondamental d'un laser peut être sélectionné en plaçant une ouverture de taille appropriée dans la cavité laser.

Dans de nombreux lasers, la symétrie du résonateur optique est restreinte par des éléments polarisants tels que les fenêtres d'angle de Brewster . Dans ces lasers, des modes transverses à symétrie rectangulaire sont formés. Ces modes sont désignés , représentant respectivement les ordres horizontal et vertical du motif. Le champ électrique en un point pour un faisceau se propageant le long de l'axe z est donné par ${\displaystyle E_{mn}(x,y,z)=E_{0}{\frac {w_{0}}{w}}H_{m}\left({\frac {{\sqrt {2}}x}{w}} ight)H_{n}\left({\frac {{\sqrt {2}}y}{w}} ight)\exp \left[-(x^{2}+y^{2})\left({\frac {1}{w^{2}}}+{\frac {jk}{2R}} ight)-jkz-j(m+n+1)\zeta ight] <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>E</mi><mrow><mi>m</mi><mi>n</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>z</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><msub><mi>E</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mrow><mfrac><msub><mi>w</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mi>w</mi></mfrac></mrow><msub><mi>H</mi><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mi>x</mi></mrow><mi>w</mi></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><msub><mi>H</mi><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mi>y</mi></mrow><mi>w</mi></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mi>exp</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><mo>−</mo><mo>(</mo><msup><mi>x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>)</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mrow><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>w</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow><mo>+</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>j</mi><mi>k</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>R</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><mi>j</mi><mi>k</mi><mi>z</mi><mo>−</mo><mi>j</mi><mo>(</mo><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mi>ζ</mi></mrow><mo>]</mo></mrow></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle E_{mn}(x,y,z)=E_{0}{\frac {w_{0}}{w}}H_{m}\left({\frac {{\sqrt {2}}x}{w}} ight)H_{n}\left({\frac {{\sqrt {2}}y}{w}} ight)\exp \left[-(x^{2}+y^{2})\left({\frac {1}{w^{2}}}+{\frac {jk}{2R}} ight)-jkz-j(m+n+1)\zeta ight]}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle w_{0 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>w</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle w_{0}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle w(z) <semantics><mrow><mstyle><mi>w</mi><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle w(z)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle R(z) <semantics><mrow><mstyle><mi>R</mi><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle R(z)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle \zeta (z) <semantics><mrow><mstyle><mi>ζ</mi><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>)</mo></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle \zeta (z)}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle E_{0 <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>E</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle E_{0}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle H_{k <semantics><mrow><mstyle><msub><mi>H</mi><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mstyle></mrow><annotation>{\displaystyle H_{k}}</annotation></semantics></math><img src=$ ${\displaystyle I_{mn}(x,y,z)=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w}} ight)^{2}\left[H_{m}\left({\frac {{\sqrt {2}}x}{w}} ight)\exp \left({\frac {-x^{2}}{w^{2}}} ight) ight]^{2}\left[H_{n}\left({\frac {{\sqrt {2}}y}{w}} ight)\exp \left({\frac {-y^{2}}{w^{2}}} ight) ight]^{2 </span referrerpolicy=$

Diagrammes de modes transversaux rectangulaires TEM(mn)

Le mode TEM ₀₀ correspond exactement au même mode fondamental que dans la géométrie cylindrique. Les modes d' ordre croissant présentent des lobes dans les directions horizontale et verticale, avec généralement lobes présents dans le diagramme. Comme précédemment, les modes d'ordre supérieur ont une extension spatiale plus importante que le mode 00.

La phase de chaque lobe d'un est déphasée de radians par rapport à ses voisins horizontaux ou verticaux. Cela équivaut à inverser la direction de la polarisation de chaque lobe.

Le profil d'intensité global de la sortie d'un laser peut être constitué de la superposition de n'importe lequel des modes transversaux autorisés de la cavité du laser, bien qu'il soit souvent souhaitable de ne fonctionner que sur le mode fondamental.