Segment sphérique

En géométrie , un segment sphérique est le solide défini par la coupe d'une sphère ou d'une boule par une paire de plans parallèles . On peut le considérer comme une calotte sphérique dont le sommet est tronqué, et il correspond donc à un tronc de boule .

La surface du segment sphérique (à l'exclusion des bases) est appelée zone sphérique .

Si le rayon de la sphère est appelé R , les rayons des bases du segment sphérique sont a et b , et la hauteur du segment (la distance d'un plan parallèle à l'autre) appelée h , alors le volume du segment sphérique est

{\displaystyle V={\frac {\pi }{6}}h\left(3a^{2}+3b^{2}+h^{2} ight). <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>6</mn> </mfrac> </mrow> <mi>h</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>3</mn> <msup> <mi>un</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <msup> <mi>b</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>h</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V={\frac {\pi }{6}}h\gauche(3a^{2}+3b^{2}+h^{2}\droite).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Pour le cas particulier où le plan supérieur est tangent à la sphère, on a et le solide se réduit à une calotte sphérique . ${\displaystyle b=0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$

L'équation ci-dessus pour le volume du segment sphérique peut être arrangée comme suit

{\displaystyle V={\biggl [}\pi a^{2}\left({\frac {h}{2}}{\biggr )} ight]+{\biggl [}\pi b^{2}\left({\frac {h}{2}}{\biggr )} ight]+{\biggl [}{\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {h}{2}} ight)^{3}{\biggr ] <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> </mrow> </mrow> <mi>π</mi> <msup> <mi>un</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mi>h</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> </mrow> </mrow> <mi>π</mi> <msup> <mi>b</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mi>h</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mrow> <mo>[</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mfrac> <mn>4</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mi>π</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mi>h</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle V={\biggl [}\pi a^{2}\gauche({\frac {h}{2}}{\biggr )}\droite]+{\biggl [}\pi b^{2}\gauche({\frac {h}{2}}{\biggr )}\droite]+{\biggl [}{\frac {4}{3}}\pi \gauche({\frac {h}{2}}\droite)^{3}{\biggr ]}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Ainsi, le volume du segment est égal à la somme de trois volumes : deux cylindres circulaires droits, l'un de rayon a et le second de rayon b (tous deux de hauteur ) et une sphère de rayon . ${\displaystyle h/2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>h</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle h/2}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$ ${\displaystyle h/2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>h</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle h/2}</annotation> </semantics> </math></span><img src=$

L' aire de la surface courbe de la zone sphérique, qui exclut les bases supérieure et inférieure, est donnée par

{\displaystyle A=2\pi Rh. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>R</mi> <mi>h</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A=2\pi Rh.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=