Spirographe

Le Spirographe est un appareil de dessin géométrique qui produit des courbes mathématiques de roulette du type connu techniquement sous le nom d'hypotrochoïdes et d'épitrochoïdes . La version jouet bien connue a été développée par l'ingénieur britannique Denys Fisher et commercialisée pour la première fois en 1965.

Le nom est une marque déposée de Hasbro Inc. depuis 1998 suite au rachat de la société qui avait acquis la société Denys Fisher. La marque Spirograph a été relancée dans le monde entier en 2013, avec ses configurations de produits originales, par Kahootz Toys .

En 1827, l'architecte et ingénieur anglais d'origine grecque Peter Hubert Desvignes a développé et commercialisé un « spirographe », un appareil permettant de créer des dessins en spirale élaborés. Un homme du nom de J. Jopling a rapidement affirmé avoir déjà inventé des méthodes similaires. Lorsqu'il travaillait à Vienne entre 1845 et 1848, Desvignes a construit une version de la machine qui permettrait d'éviter la falsification de billets de banque, car les variations presque infinies de motifs de roulette qu'elle pouvait produire étaient extrêmement difficiles à rétroconcevoir. Le mathématicien Bruno Abakanowicz a inventé un nouvel appareil Spirographe entre 1881 et 1900. Il était utilisé pour calculer une zone délimitée par des courbes.

Les jouets à dessiner basés sur des engrenages existent depuis au moins 1908, lorsque le Marvelous Wondergraph a été annoncé dans le catalogue Sears . Un article décrivant comment fabriquer une machine à dessiner Wondergraph est paru dans la publication Boys Mechanic en 1913.

Le jouet Spirographe par excellence a été développé par l'ingénieur britannique Denys Fisher entre 1962 et 1964 en créant des machines à dessiner avec des pièces Meccano . Fisher a exposé son spirographe à la Foire internationale du jouet de Nuremberg en 1965. Il a ensuite été produit par sa société. Les droits de distribution aux États-Unis ont été acquis par Kenner , Inc., qui l'a introduit sur le marché américain en 1966 et l'a promu comme un jouet créatif pour enfants. Kenner a ensuite introduit Spirotot, Magnetic Spirograph, Spiroman et divers ensembles de recharge.

En 2013, la marque Spirograph a été relancée dans le monde entier, avec les engrenages et les roues d'origine, par Kahootz Toys. Les produits modernes utilisent du mastic amovible à la place des broches pour maintenir les pièces fixes en place. Le Spirograph a été élu Jouet de l'année en 1967 et finaliste du Jouet de l'année, dans deux catégories, en 2014. Kahootz Toys a été acquis par PlayMonster LLC en 2019.

Le Spirographe original commercialisé aux États-Unis était constitué de deux anneaux en plastique de tailles différentes (ou stators ), avec des dents d'engrenage à l'intérieur et à l'extérieur de leurs circonférences. Une fois l'un de ces anneaux maintenu en place (soit par des broches, avec un adhésif ou à la main), l'un des nombreux engrenages (ou rotors) fournis, chacun ayant des trous pour un stylo à bille , pouvait être tourné autour de l'anneau pour dessiner des formes géométriques. Plus tard, le Super-Spirograph a introduit des formes supplémentaires telles que des anneaux, des triangles et des barres droites. Tous les bords de chaque pièce ont des dents pour engager n'importe quelle autre pièce ; les engrenages plus petits s'insèrent à l'intérieur des anneaux plus grands, mais ils peuvent également tourner le long du bord extérieur des anneaux ou même les uns autour des autres. Les engrenages peuvent être combinés dans de nombreux arrangements différents. Les ensembles comprenaient souvent des stylos de différentes couleurs, qui pouvaient améliorer un design en changeant de couleur, comme le montrent les exemples présentés ici.

Les débutants glissent souvent sur les engrenages, en particulier lorsqu'ils utilisent les trous situés près du bord des roues les plus grandes, ce qui entraîne des lignes brisées ou irrégulières. Les utilisateurs expérimentés peuvent apprendre à déplacer plusieurs pièces les unes par rapport aux autres (par exemple, le triangle autour de l'anneau, avec un cercle « grimpant » de l'anneau sur le triangle).

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  Animation d'un spirographe
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  Plusieurs modèles Spirograph dessinés avec un ensemble Spirograph en utilisant plusieurs stylos de couleurs différentes
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  Gros plan d'une roue de spirographe

Considérons un cercle extérieur fixe de rayon centré sur l'origine. Un cercle intérieur plus petit de rayon roule à l'intérieur et lui est continuellement tangent. sera supposé ne jamais glisser (dans un vrai spirographe, les dents des deux cercles empêchent un tel glissement). Supposons maintenant qu'un point situé quelque part à l'intérieur soit situé à une certaine distance du centre de . Ce point correspond au trou de stylo dans le disque intérieur d'un vrai spirographe. Sans perte de généralité, on peut supposer qu'au moment initial le point était sur l' axe. Afin de trouver la trajectoire créée par un spirographe, suivez le point lorsque le cercle intérieur est mis en mouvement.

Marquez maintenant deux points sur et sur . Le point indique toujours l'endroit où les deux cercles sont tangents. Le point , en revanche, se déplacera sur , et sa position initiale coïncide avec . Après avoir été mis en mouvement dans le sens inverse des aiguilles d'une montre autour de , a une rotation dans le sens des aiguilles d'une montre par rapport à son centre. La distance parcourue par le point sur est la même que celle parcourue par le point tangent sur , en raison de l'absence de glissement.

Définissons maintenant le nouveau système de coordonnées (relatif) avec son origine au centre de et ses axes parallèles à et . Soit le paramètre l'angle selon lequel le point tangent tourne sur , et l'angle selon lequel tourne (c'est-à-dire selon lequel se déplace) dans le système de coordonnées relatif. Comme il n'y a pas de glissement, les distances parcourues par et le long de leurs cercles respectifs doivent donc être les mêmes.

ou de manière équivalente,

Il est courant de supposer qu'un mouvement dans le sens inverse des aiguilles d'une montre correspond à un changement d'angle positif et un mouvement dans le sens des aiguilles d'une montre à un changement d'angle négatif. Un signe moins dans la formule ci-dessus ( ) correspond à cette convention.

Soit les coordonnées du centre de dans le système absolu de coordonnées. Alors représente le rayon de la trajectoire du centre de , qui (toujours dans le système absolu) subit un mouvement circulaire ainsi :

Comme défini ci-dessus, il s'agit de l'angle de rotation dans le nouveau système relatif. Étant donné que le point obéit à la loi habituelle du mouvement circulaire, ses coordonnées dans le nouveau système de coordonnées relatives sont

Pour obtenir la trajectoire de dans l'ancien système de coordonnées absolu, additionnez ces deux mouvements :

où est défini ci-dessus.

Maintenant, utilisez la relation entre et telle que dérivée ci-dessus pour obtenir des équations décrivant la trajectoire du point en termes d'un seul paramètre :

(en utilisant le fait que la fonction est impaire ).

Il est commode de représenter l'équation ci-dessus en termes de rayon et de paramètres sans dimension décrivant la structure du spirographe. À savoir, soit

et

Le paramètre représente la distance à laquelle se trouve le point par rapport au centre de . En même temps, il représente la taille du cercle intérieur par rapport au cercle extérieur .

On observe maintenant que

et donc les équations de trajectoire prennent la forme

Le paramètre est un paramètre de mise à l'échelle et n'affecte pas la structure du Spirographe. Des valeurs différentes donneraient des dessins Spirographe similaires .

Les deux cas extrêmes et donnent lieu à des trajectoires dégénérées du Spirographe. Dans le premier cas extrême, lorsque , nous avons un cercle simple de rayon , correspondant au cas où a été rétréci en un point. (La division par dans la formule ne pose pas de problème, puisque les deux fonctions et sont des fonctions bornées.)

L'autre cas extrême correspond au rayon du cercle intérieur correspondant au rayon du cercle extérieur , c'est-à-dire . Dans ce cas, la trajectoire est un point unique. Intuitivement, il est trop grand pour rouler à l'intérieur du cercle de même taille sans glisser.

Si , alors le point est sur la circonférence de . Dans ce cas, les trajectoires sont appelées hypocycloïdes et les équations ci-dessus se réduisent à celles d'une hypocycloïde.