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En ingénierie et en physique, un système de ressorts ou un réseau de ressorts est un modèle de physique décrit comme un graphe avec une position à chaque sommet et un ressort de rigidité et de longueur données le long de chaque arête. Cela généralise la loi de Hooke à des dimensions supérieures. Ce modèle simple peut être utilisé pour résoudre la pose de systèmes statiques allant du réseau cristallin aux ressorts. Un système de ressorts peut être considéré comme le cas le plus simple de la méthode des éléments finis pour résoudre des problèmes de statique . En supposant des ressorts linéaires et une faible déformation (ou en se limitant à un mouvement unidimensionnel), un système de ressorts peut être présenté comme un système (éventuellement surdéterminé) d'équations linéaires ou de manière équivalente comme un problème de minimisation d'énergie .
Longueurs de ressorts connues
Considérons le cas simple de trois nœuds, en une dimension , reliés par deux ressorts. Si les longueurs nominales, L , des ressorts sont connues pour être respectivement de 1 et 2 unités, c'est-à-dire , alors le système peut être résolu comme suit :
L'étirement des deux ressorts est donné en fonction des positions des nœuds par
où est la matrice transposée de la matrice d'incidence orientée
reliant chaque degré de liberté à la direction dans laquelle chaque ressort tire dessus. Les forces exercées sur les ressorts sont
où W est une matrice diagonale donnant la rigidité de chaque ressort. La force sur les nœuds est alors donnée par la multiplication à gauche par , que nous mettons à zéro pour trouver l'équilibre :
ce qui donne l'équation linéaire :
Maintenant, la matrice est singulière, car toutes les solutions sont équivalentes à une translation de corps rigide près. Prescrivons une condition limite de Dirichlet , par exemple .
A titre d'exemple, soit W la matrice identité alors
est la matrice laplacienne . En insérant, nous avons
L'incorporation du 2 sur le côté gauche donne
et en supprimant les lignes du système que nous connaissons déjà, et en simplifiant, nous restons avec
afin que nous puissions ensuite résoudre
C'est-à-dire , comme prescrit, et , en laissant le premier ressort mou, et , en laissant le deuxième ressort mou.