Worldlex Wiki La méthode des éléments finis (MEF) est une méthode numérique générale permettant de résoudre des équations aux dérivées partielles à deux ou trois variables spatiales (c'est-à-dire certains problèmes aux limites ). Des études portent également sur l'utilisation de la MEF pour résoudre des problèmes de grande dimension. Pour résoudre un problème, la MEF subdivise un système de grande taille en parties plus petites et plus simples appelées éléments finis . Ceci est réalisé par une discrétisation spatiale particulière , mise en œuvre par la construction d'un maillage de l'objet : le domaine numérique de la solution, constitué d'un nombre fini de points. La formulation par MEF d'un problème aux limites aboutit finalement à un système d' équations algébriques . La méthode approche la fonction inconnue sur le domaine. Les équations simples qui modélisent ces éléments finis sont ensuite assemblées en un système d'équations plus grand qui modélise le problème entier. La MEF approche alors une solution en minimisant une fonction d'erreur associée par le calcul des variations .
L'étude ou l'analyse d'un phénomène à l'aide de la méthode des éléments finis (MEF) est souvent appelée analyse par éléments finis (AEF).
La subdivision d'un domaine entier en parties plus simples présente plusieurs avantages :
- Représentation précise de la géométrie complexe ;
- Inclusion de propriétés de matériaux dissemblables ;
- Représentation aisée de la solution totale ; et
- Capture des effets locaux.
Une approche typique utilisant cette méthode comprend les étapes suivantes :
- Diviser le domaine du problème en une collection de sous-domaines, chaque sous-domaine étant représenté par un ensemble d'équations élémentaires pour le problème original.
- Recombinaison systématique de tous les ensembles d'équations élémentaires en un système global d'équations pour le calcul final.
Le système global d'équations utilise des techniques de résolution connues et peut être calculé à partir des valeurs initiales du problème original pour obtenir une réponse numérique.
Dans la première étape décrite ci-dessus, les équations élémentaires sont des équations simples qui approchent localement les équations complexes originales à étudier, lesquelles sont souvent des équations aux dérivées partielles (EDP). Pour expliquer cette approximation, la méthode des éléments finis (MEF) est généralement présentée comme un cas particulier de la méthode de Galerkin . Mathématiquement, le processus consiste à construire l'intégrale du produit scalaire du résidu et des fonctions de pondération , puis à annuler cette intégrale. En termes simples, il s'agit d'une procédure qui minimise l'erreur d'approximation en ajustant des fonctions d'essai à l'EDP. Le résidu représente l'erreur causée par ces fonctions d'essai, et les fonctions de pondération sont des fonctions d'approximation polynomiales qui projettent le résidu. Le processus élimine toutes les dérivées spatiales de l'EDP, l'approximant ainsi localement.
- un ensemble d' équations algébriques pour les problèmes en régime permanent ; et
- un ensemble d' équations différentielles ordinaires pour les problèmes transitoires .
Ces systèmes d'équations sont des équations élémentaires. Ils sont linéaires si l'EDP sous-jacente est linéaire, et réciproquement. Les systèmes d'équations algébriques intervenant dans les problèmes en régime permanent sont résolus par des méthodes numériques d'algèbre linéaire . En revanche, les systèmes d'équations différentielles ordinaires rencontrés dans les problèmes transitoires sont résolus par intégration numérique à l'aide de techniques classiques telles que la méthode d'Euler ou les méthodes de Runge-Kutta .
Dans la deuxième étape décrite ci-dessus, un système d'équations global est généré à partir des équations des éléments en transformant les coordonnées des nœuds locaux des sous-domaines vers les nœuds globaux du domaine. Cette transformation spatiale inclut les ajustements d'orientation nécessaires par rapport au système de coordonnées de référence . Ce processus est généralement réalisé à l'aide d'un logiciel d'éléments finis (FEM) avec des données de coordonnées générées à partir des sous-domaines.
L'application pratique de la méthode des éléments finis (MEF) est connue sous le nom d'analyse par éléments finis (AEF). En ingénierie , l'AEF est un outil de calcul permettant de réaliser des analyses . Elle repose sur l'utilisation de techniques de maillage pour diviser un problème complexe en éléments plus petits, ainsi que sur l'utilisation d'un logiciel doté d'un algorithme MEF. Lors de l'application de l'AEF, le problème complexe est généralement un système physique dont les lois physiques sous-jacentes , telles que l' équation d'Euler-Bernoulli , l' équation de la chaleur ou les équations de Navier - Stokes, sont exprimées sous forme d'équations aux dérivées partielles (EDP) ou d'équations intégrales . Les éléments plus petits qui composent le problème complexe représentent différentes zones du système physique.
L'analyse par éléments finis (AEF) peut être utilisée pour analyser des problèmes dans des domaines complexes (par exemple, les voitures et les oléoducs) lorsque le domaine évolue (par exemple, lors d'une réaction à l'état solide avec une frontière mobile), lorsque la précision souhaitée varie sur l'ensemble du domaine ou lorsque la solution manque de régularité. Les simulations par AEF constituent une ressource précieuse, car elles permettent d'éviter la création et le test de multiples prototypes complexes pour diverses situations de haute fidélité. Par exemple, dans une simulation de collision frontale, il est possible d'améliorer la précision des prédictions dans des zones critiques, comme l'avant du véhicule, et de la réduire à l'arrière, diminuant ainsi le coût de la simulation. Un autre exemple concerne la prévision numérique du temps , où il est plus important d'obtenir des prédictions précises pour des phénomènes fortement non linéaires en développement, tels que les cyclones tropicaux dans l'atmosphère ou les tourbillons océaniques, que pour des zones relativement calmes.
Une présentation claire, détaillée et pratique de cette approche peut être trouvée dans le manuel The Finite Element Method for Engineers .
Histoire
Bien qu'il soit difficile de dater précisément l'invention de la méthode des éléments finis (MEF), celle-ci trouve son origine dans la nécessité de résoudre des problèmes complexes d'élasticité et d'analyse structurale en génie civil et aéronautique . Son développement remonte aux travaux d' Alexander Hrennikoff et de Richard Courant au début des années 1940. Ioannis Argyris fut un autre pionnier . En URSS, l'introduction de l'application pratique de la MEF est généralement associée à Feng Kang à la fin des années 1950 et au début des années 1960, à partir de calculs de construction de barrages, où elle fut appelée « méthode des différences finies » basée sur les principes variationnels. Bien que les approches utilisées par ces pionniers diffèrent, elles partagent une caractéristique essentielle : la discrétisation d' un domaine continu en un ensemble de sous-domaines discrets, généralement appelés éléments.
Les travaux de Hrennikoff discrétisent le domaine en utilisant une analogie avec un réseau , tandis que l'approche de Courant divise le domaine en sous-régions triangulaires finies pour résoudre des équations aux dérivées partielles elliptiques du second ordre issues du problème de la torsion d'un cylindre . La contribution de Courant fut novatrice, s'appuyant sur un vaste corpus de résultats antérieurs concernant les EDP, développés par Lord Rayleigh , Walther Ritz et Boris Galerkin .
L'application de la méthode des éléments finis (MEF) a connu un essor important dans les années 1960 et 1970 grâce aux travaux de J.H. Argyris et de ses collaborateurs à l' Université de Stuttgart ; de R.W. Clough et de ses collaborateurs à l'Université de Californie à Berkeley ; d'O.C. Zienkiewicz et de ses collaborateurs, notamment Ernest Hinton , Bruce Irons [ d'autres, à l' Université de Swansea ; de Philippe G. Ciarlet à l'Université Paris 6 ; et de Richard Gallagher et de ses collaborateurs à l'Université Cornell . Durant cette période, la disponibilité de logiciels MEF libres a également contribué à ce développement. La NASA a financé la première version de NASTRAN . L'Université de Californie à Berkeley a largement diffusé les logiciels d'éléments finis SAP IV et, plus tard, OpenSees . En Norvège, la société de classification navale Det Norske Veritas (aujourd'hui DNV GL ) a développé Sesam en 1969 pour l'analyse des navires. Une base mathématique rigoureuse pour la méthode des éléments finis (MEF) a été fournie en 1973 par une publication de Gilbert Strang et George Fix . La méthode a depuis été généralisée à la modélisation numérique de systèmes physiques dans une grande variété de disciplines de l'ingénierie , telles que l'électromagnétisme , le transfert de chaleur et la dynamique des fluides .
Discussion technique
La structure des méthodes d'éléments finis
Une méthode par éléments finis est caractérisée par une formulation variationnelle , une stratégie de discrétisation, un ou plusieurs algorithmes de résolution et des procédures de post-traitement.
Parmi les exemples de formulation variationnelle, on peut citer la méthode de Galerkin , la méthode de Galerkin discontinue, les méthodes mixtes, etc.
Une stratégie de discrétisation désigne un ensemble de procédures clairement définies qui couvrent : (a) la création de maillages d'éléments finis, (b) la définition de fonctions de base sur les éléments de référence (également appelées fonctions de forme), et (c) la projection des éléments de référence sur les éléments du maillage. Parmi les exemples de stratégies de discrétisation, on peut citer les méthodes h, p , hp , x-FEM , l'analyse isogéométrique , etc. Chaque stratégie présente des avantages et des inconvénients. Un critère pertinent pour le choix d'une stratégie de discrétisation est d'obtenir des performances quasi optimales pour le plus grand nombre possible de modèles mathématiques appartenant à une classe de modèles donnée.
Les différents algorithmes de résolution numérique se répartissent en deux grandes catégories : les solveurs directs et les solveurs itératifs. Ces algorithmes exploitent la sparsité des matrices, laquelle dépend de la formulation variationnelle et de la stratégie de discrétisation choisies.
Les procédures de post-traitement sont conçues pour extraire les données pertinentes d'une solution par éléments finis. Afin de satisfaire aux exigences de vérification de la solution, les postprocesseurs doivent permettre une estimation a posteriori des erreurs sur les grandeurs d'intérêt. Lorsque les erreurs d'approximation dépassent le seuil acceptable, la discrétisation doit être modifiée, soit automatiquement, soit par l'analyste. Certains postprocesseurs très performants permettent d'atteindre la superconvergence .
0 
Pour achever la discrétisation, nous devons choisir une base de . Dans le cas unidimensionnel, pour chaque point de contrôle, nous choisirons la fonction linéaire par morceaux de dont la valeur est égale à et nulle à tout , c'est-à-dire,
Pour cette base, on utilise une fonction tente translatée et mise à l'échelle . Dans le cas bidimensionnel, on choisit également une fonction de base par sommet de la triangulation de la région plane . Cette fonction est l'unique fonction de dont la valeur est égale à et nulle en tout point .
Selon l'auteur, le terme « élément » dans la « méthode des éléments finis » désigne les triangles du domaine, la fonction de base linéaire par morceaux, ou les deux. Ainsi, par exemple, un auteur s'intéressant aux domaines courbes pourrait remplacer les triangles par des primitives courbes et qualifier les éléments de curvilignes. D'autres auteurs, en revanche, remplacent « linéaire par morceaux » par « quadratique par morceaux » voire « polynomial par morceaux ». L'auteur pourrait alors parler d'« élément d'ordre supérieur » plutôt que de « polynôme de degré supérieur ». La méthode des éléments finis ne se limite pas aux triangles (tétraèdres en 3D ou simplexes d'ordre supérieur dans les espaces multidimensionnels). Elle peut également être définie sur des sous-domaines quadrilatéraux (hexaèdres, prismes ou pyramides en 3D, etc.). Les formes d'ordre supérieur (éléments curvilignes) peuvent être définies par des formes polynomiales, voire non polynomiales (par exemple, une ellipse ou un cercle).
Les méthodes hp-FEM et spectrale FEM sont des exemples de méthodes utilisant des fonctions de base polynomiales par morceaux de degré supérieur .
Les implémentations plus avancées (méthodes d'éléments finis adaptatives) utilisent une méthode d'évaluation de la qualité des résultats (basée sur la théorie de l'estimation d'erreur) et modifient le maillage pendant la résolution afin d'obtenir une solution approchée, à une certaine distance de la solution exacte du problème continu. L'adaptativité du maillage peut recourir à diverses techniques ; les plus courantes sont :
- nœuds mobiles (adaptativité r)
- éléments raffinés (et non raffinés) (h-adaptativité)
- changement d'ordre des fonctions de base (adaptativité p)
- combinaisons des éléments ci-dessus ( adaptativité hp ).
Petit soutien de la base
Le principal avantage de ce choix de base est que les produits scalaires et seront nuls pour presque tout . (La matrice contenant à l' emplacement est appelée matrice de Gram .) Dans le cas unidimensionnel, le support de est l'intervalle . Par conséquent, les intégrales de et sont identiquement nulles lorsque .
1 De même, dans le cas planaire, si et ne partagent pas une arête de la triangulation, alors les intégrales et sont toutes deux nulles.
Forme matricielle du problème
Si nous écrivons et alors le problème (3), en prenant pour , devient
Si l'on note et les vecteurs colonnes et , et si l'on considère et les matrices dont les coefficients sont et , alors on peut reformuler (4) comme
Il n'est pas nécessaire de supposer . Pour une fonction générale , le problème (3) avec pour devient en fait plus simple, puisqu'aucune matrice n'est utilisée.
où et pour .
Comme nous l'avons déjà évoqué, la plupart des coefficients de et sont nuls car les fonctions de base ont un support réduit. Il nous faut donc résoudre un système linéaire en l'inconnue où la plupart des coefficients de la matrice , que nous devons inverser, sont nuls.
Ces matrices sont dites creuses , et il existe des solveurs efficaces pour de tels problèmes (bien plus efficaces que l'inversion de la matrice). De plus, étant symétrique et définie positive, une technique comme la méthode du gradient conjugué est privilégiée. Pour les problèmes de taille raisonnable, les décompositions LU et de Cholesky creuses restent performantes. Par exemple, l'opérateur backslash de MATLAB (qui utilise les décompositions LU et de Cholesky creuses, ainsi que d'autres méthodes de factorisation) peut suffire pour des maillages comportant cent mille sommets.
La matrice est généralement appelée matrice de rigidité , tandis que la matrice est appelée matrice de masse .
Forme générale de la méthode des éléments finis
En général, la méthode des éléments finis est caractérisée par le processus suivant.
- On choisit une grille pour . Dans le traitement précédent, la grille était composée de triangles, mais on peut également utiliser des carrés ou des polygones curvilignes.
- Ensuite, on choisit les fonctions de base. Nous avons utilisé des fonctions de base linéaires par morceaux dans notre discussion, mais il est courant d'utiliser des fonctions de base polynomiales par morceaux.
Il convient de considérer séparément la régularité des fonctions de base. Pour les problèmes aux limites elliptiques du second ordre , des fonctions de base polynomiales par morceaux simplement continues (c'est-à-dire dont les dérivées sont discontinues) suffisent. Pour les équations aux dérivées partielles d'ordre supérieur, il est nécessaire d'utiliser des fonctions de base plus régulières. Par exemple, pour un problème du quatrième ordre tel que , on peut utiliser des fonctions de base quadratiques par morceaux .
Un autre élément à considérer est la relation entre l'espace de dimension finie et son homologue de dimension infinie dans les exemples précédents . Une
On dispose généralement d'un algorithme pour subdiviser un maillage donné. Si la méthode principale pour améliorer la précision consiste à subdiviser le maillage, on parle de méthode d'ordre h ( h étant généralement le diamètre du plus grand élément du maillage). Ainsi, si l'on démontre que l'erreur d'une grille est majorée par une fonction , pour certains et , on obtient une méthode d'ordre p . Sous certaines hypothèses (par exemple, si le domaine est convexe), une méthode polynomiale par morceaux d'ordre aura une erreur d'ordre .
0 Si, au lieu de diminuer h , on augmente le degré des polynômes utilisés dans la fonction de base, on obtient une méthode p . La combinaison de ces deux types de raffinement donne une méthode hp ( hp-FEM ). Dans la hp-FEM, les degrés des polynômes peuvent varier d'un élément à l'autre. Les méthodes d'ordre élevé avec un p uniforme important sont appelées méthodes spectrales par éléments finis ( SFEM ). Il ne faut pas les confondre avec les méthodes spectrales .
Pour les équations aux dérivées partielles vectorielles, les fonctions de base peuvent prendre des valeurs dans .
Différents types de méthodes d'éléments finis
AEM
La méthode des éléments appliqués ou AEM combine les caractéristiques de la méthode des éléments finis (FEM) et de la méthode des éléments discrets (DEM).
partition de l'unité est ensuite utilisée pour « lier » ces espaces et former le sous-espace d'approximation. L'efficacité de la MEF a été démontrée lors de son application à des problèmes présentant des domaines à frontières complexes, à des problèmes à l'échelle micrométrique et à des problèmes de couches limites.Méthode des éléments finis mixtes
hpk-FEM
La méthode des éléments finis étendus (XFEM) est une technique numérique basée sur la méthode des éléments finis généralisés (GFEM) et la méthode de partition de l'unité (PUM). Elle étend la méthode des éléments finis classique en enrichissant l'espace des solutions des équations différentielles comportant des fonctions discontinues. Les méthodes des éléments finis étendus enrichissent l'espace d'approximation afin de reproduire naturellement les caractéristiques complexes du problème étudié : discontinuité, singularité, couche limite, etc. Il a été démontré que, pour certains problèmes, cette intégration des caractéristiques du problème dans l'espace d'approximation peut améliorer significativement les vitesses de convergence et la précision. De plus, le traitement des problèmes avec discontinuités par XFEM supprime la nécessité de mailler et de remailler les surfaces de discontinuité, réduisant ainsi les coûts de calcul et les erreurs de projection associés aux méthodes des éléments finis conventionnelles, au prix de la limitation des discontinuités aux bords du maillage.
Plusieurs codes de recherche mettent en œuvre cette technique à des degrés divers :
- GetFEM++
- xfem++
- openxfem++
La méthode XFEM a également été implémentée dans des logiciels tels qu'Altair Radio, ASTER, Morfeo et Abaqus. Elle est de plus en plus adoptée par d'autres logiciels commerciaux d'éléments finis, avec quelques modules complémentaires et des implémentations natives disponibles (ANSYS, SAMCEF, OOFELIE, etc.).
Méthode des éléments finis à frontière mise à l'échelle (SBFEM)
L'introduction de la méthode des éléments finis de frontière à échelle réduite (SBFEM) est due aux travaux de Song et Wolf (1997) . La SBFEM représente l'une des contributions les plus importantes dans le domaine de l'analyse numérique des problèmes de mécanique de la rupture. Il s'agit d'une méthode semi-analytique sans solution fondamentale, combinant les avantages des formulations et procédures par éléments finis et de la discrétisation par éléments de frontière. Cependant, contrairement à la méthode des éléments de frontière, elle ne requiert pas de solution différentielle fondamentale.
S-FEM
Méthode des éléments finis de plasticité cristalline (CPFEM)
La méthode des éléments finis de plasticité cristalline (CPFEM) est un outil numérique avancé développé par Franz Roters. Les métaux peuvent être considérés comme des agrégats cristallins présentant une anisotropie sous déformation, notamment des contraintes et des déformations localisées anormales. La CPFEM, basée sur le glissement (taux de cisaillement), permet de calculer les dislocations, l'orientation cristalline et d'autres informations de texture afin de prendre en compte l'anisotropie cristalline. Elle a été appliquée à l'étude numérique de la déformation des matériaux, de la rugosité de surface, des fractures, etc.
Méthode des éléments virtuels (VEM)
La méthode des éléments virtuels (MEV), introduite par Beirão da Veiga et al. (2013) comme extension des méthodes de différences finies mimétiques (MFD), est une généralisation de la méthode des éléments finis standard pour des géométries d'éléments arbitraires. Elle permet ainsi de traiter des polygones (ou des polyèdres en 3D) de forme très irrégulière et non convexe. Le terme « virtuel » provient du fait que la connaissance de la base des fonctions de forme locales n'est pas requise et n'est, de fait, jamais calculée explicitement.
Lien avec la méthode de discrétisation du gradient
Certaines méthodes d'éléments finis (conformes, non conformes et mixtes) sont des cas particuliers de la méthode de discrétisation par gradient (GDM). Par conséquent, les propriétés de convergence de la GDM, établies pour une série de problèmes (problèmes elliptiques linéaires et non linéaires, problèmes paraboliques linéaires, non linéaires et dégénérés), s'appliquent également à ces méthodes d'éléments finis particulières.
Comparaison avec la méthode des différences finies
La méthode des différences finies (MDF) est une autre façon d'approximer les solutions des EDP. Les différences entre la méthode des éléments finis (MEF) et la MDF sont les suivantes :
- L’atout majeur de la méthode des éléments finis (MEF) réside dans sa capacité à traiter des géométries (et des frontières) complexes avec une relative facilité. Alors que la méthode des différences finies (MDF), dans sa forme de base, se limite aux formes rectangulaires et à leurs modifications simples, le traitement des géométries en MEF est théoriquement simple.
- La FDM n'est généralement pas utilisée pour les géométries CAO irrégulières, mais plus souvent pour les modèles rectangulaires ou en forme de bloc.
- La méthode des éléments finis (MEF) permet généralement une adaptabilité du maillage plus flexible que la méthode des différences finies (MDF).
- L'atout majeur des différences finies réside dans leur simplicité de mise en œuvre.
- On peut considérer la méthode des différences finies (MDF) comme un cas particulier de la méthode des éléments finis (MEF) de plusieurs manières. Par exemple, la MEF du premier ordre est identique à la MDF pour l'équation de Poisson si le problème est discrétisé par un maillage rectangulaire régulier, chaque rectangle étant divisé en deux triangles.
- Il existe des raisons de considérer les fondements mathématiques de l'approximation par éléments finis comme plus solides, par exemple parce que la qualité de l'approximation entre les points de la grille est médiocre dans la méthode des différences finies.
- La qualité d'une approximation par éléments finis est souvent supérieure à celle de l'approche par différences finies correspondante, mais cela dépend fortement du problème, et plusieurs exemples contraires peuvent être fournis.
En mécanique des structures, la méthode des éléments finis (MEF) est généralement privilégiée pour tous les types d'analyses (calcul des déformations et des contraintes dans les corps solides ou dynamique des structures). En revanche, la dynamique des fluides numérique (CFD) tend à utiliser la méthode des différences finies (MDF) ou d'autres méthodes comme la méthode des volumes finis (MVF). Les problèmes de CFD nécessitent généralement une discrétisation du problème en un grand nombre de cellules/points de maillage (plusieurs millions). Par conséquent, le coût de la solution favorise une approximation plus simple et d'ordre inférieur au sein de chaque cellule. Ceci est particulièrement vrai pour les problèmes d'écoulement externe, comme l'écoulement de l'air autour d'une voiture ou d'un avion, ou encore la simulation météorologique.
Méthodes des éléments finis et de la transformée de Fourier rapide (FFT)
Another method used for approximating solutions to a partial differential equation is the Fast Fourier Transform (FFT), where the solution is approximated by a Fourier series computed using the FFT. For approximating the mechanical response of materials under stress, FFT is often much faster, but FEM may be more accurate. One example of the respective advantages of the two methods is in simulation of rolling a sheet of aluminum (an FCC metal), and drawing a wire of tungsten (a BCC metal). This simulation did not have a sophisticated shape update algorithm for the FFT method. In both cases, the FFT method was more than 10 times as fast as FEM, but in the wire drawing simulation, where there were large deformations in grains, the FEM method was much more accurate. In the sheet rolling simulation, the results of the two methods were similar. FFT has a larger speed advantage in cases where the boundary conditions are given in the materials strain, and loses some of its efficiency in cases where the stress is used to apply the boundary conditions, as more iterations of the method are needed.
The FE and FFT methods can also be combined in a voxel based method (2) to simulate deformation in materials, where the FE method is used for the macroscale stress and deformation, and the FFT method is used on the microscale to deal with the effects of microscale on the mechanical response. Unlike FEM, FFT methods' similarities to image processing methods means that an actual image of the microstructure from a microscope can be input to the solver to get a more accurate stress response. Using a real image with FFT avoids meshing the microstructure, which would be required if using FEM simulation of the microstructure, and might be difficult. Because Fourier approximations are inherently periodic, FFT can only be used in cases of periodic microstructure, but this is common in real materials. FFT can also be combined with FEM methods by using Fourier components as the variational basis for approximating the fields inside an element, which can take advantage of the speed of FFT based solvers.
Application
Diverses spécialisations relevant du génie mécanique (comme les industries aéronautique, biomécanique et automobile) utilisent couramment la méthode des éléments finis (MEF) intégrée pour la conception et le développement de leurs produits. Plusieurs logiciels MEF modernes incluent des modules spécifiques pour la modélisation des environnements thermique, électromagnétique, fluidique et structurel. Dans la simulation structurelle, la MEF contribue grandement à la visualisation de la rigidité et de la résistance, ainsi qu'à la minimisation du poids, des matériaux et des coûts.
Cet outil de conception performant a considérablement amélioré la qualité des conceptions d'ingénierie et la méthodologie du processus de conception dans de nombreuses applications industrielles. L'introduction de la méthode des éléments finis (MEF) a permis de réduire sensiblement le délai de mise en production des produits, du concept à la chaîne de production. Les phases de test et de développement ont été accélérées, principalement grâce à l'amélioration des prototypes initiaux permise par la MEF. En résumé, les avantages de la MEF comprennent une précision accrue, une conception optimisée et une meilleure compréhension des paramètres de conception critiques, le prototypage virtuel, la réduction du nombre de prototypes matériels, un cycle de conception plus rapide et moins coûteux, une productivité accrue et une augmentation du chiffre d'affaires.
Dans les années 1990, la méthode des éléments finis (MEF) a été proposée pour être utilisée dans la modélisation stochastique pour résoudre numériquement des modèles de probabilité et plus tard pour l'évaluation de la fiabilité.
La méthode des éléments finis (MEF) est largement utilisée pour l'approximation des équations différentielles décrivant les systèmes physiques. Cette méthode est très répandue en dynamique des fluides numérique et trouve de nombreuses applications pour la résolution des équations de Navier-Stokes . Récemment, l'utilisation de la MEF s'est accrue dans la recherche sur les plasmas numériques. Des résultats numériques prometteurs ont été obtenus par MEF pour la magnétohydrodynamique , l'équation de Vlasov et l'équation de Schrödinger .