Worldlex Wiki Les maillages sont utilisés pour le rendu sur écran et pour la simulation physique, notamment l'analyse par éléments finis et la dynamique des fluides numérique . Les maillages sont composés de cellules simples, comme des triangles, car, par exemple, nous savons effectuer des opérations telles que les calculs par éléments finis (ingénierie) ou le lancer de rayons (infographie) sur des triangles, mais nous ne savons pas comment les appliquer directement à des espaces et des formes complexes, comme un pont routier. Nous pouvons simuler la résistance du pont, ou le représenter sur un écran, en effectuant des calculs sur chaque triangle et en calculant les interactions entre les triangles.
Une distinction majeure réside entre maillage structuré et maillage non structuré. Dans un maillage structuré, le maillage est un réseau régulier, tel qu'un tableau, avec une connectivité implicite entre les éléments. Dans un maillage non structuré, les éléments peuvent être connectés entre eux selon des motifs irréguliers, permettant ainsi de représenter des domaines plus complexes. Cette page traite principalement des maillages non structurés. Bien qu'un maillage puisse être une triangulation , le processus de maillage se distingue de la triangulation par points par la possibilité d'ajouter des sommets absents du modèle d'entrée. Le « facettage » (triangulation) des modèles CAO pour le dessin technique offre la même liberté d'ajout de sommets, mais l'objectif est de représenter la forme avec précision en utilisant le moins de triangles possible ; la forme de chaque triangle importe peu. Les rendus graphiques de textures et d'éclairages réalistes utilisent quant à eux des maillages.
De nombreux logiciels de génération de maillage sont associés à un système de CAO qui définit leurs données d'entrée, et à un logiciel de simulation qui traite leurs données de sortie. Les données d'entrée peuvent varier considérablement, mais les formes courantes sont la modélisation 3D , la modélisation géométrique , les NURBS , les représentations B-rep , les fichiers STL ou un nuage de points .
Terminologie
Les termes « génération de maillage », « génération de grille », « maillage » et « quadrillage » sont souvent utilisés indifféremment, bien que, à proprement parler, les deux derniers soient plus généraux et englobent l'amélioration du maillage : la modification du maillage dans le but d'accroître la vitesse ou la précision des calculs numériques qui y seront effectués. En infographie et en mathématiques , un maillage est parfois appelé tessellation .
Les faces (cellules, entités) d'un maillage portent différents noms selon leur dimension et le contexte d'utilisation. En éléments finis, les entités de plus grande dimension sont appelées « éléments », les « arêtes » sont unidimensionnelles et les « nœuds » sont de dimension nulle. Si les éléments sont tridimensionnels, les entités bidimensionnelles sont appelées « faces ». En géométrie algorithmique, les points de dimension nulle sont appelés sommets. Les tétraèdres sont souvent abrégés en « tets », les triangles en « tris », les quadrilatères en « quads » et les hexaèdres (cubes topologiques) en « hexes ».
Techniques
De nombreuses techniques de maillage reposent sur les principes de la triangulation de Delaunay , associés à des règles d'ajout de sommets, comme l'algorithme de Ruppert . Leur caractéristique principale est la formation d'un maillage grossier initial couvrant l'espace entier, suivi de l'ajout de sommets et de triangles. À l'inverse, couches limites d'éléments pour la simulation d'écoulements de fluides. Dans la génération de maillages structurés, le maillage entier est un graphe réticulaire , tel qu'une grille régulière de carrés. Dans le maillage par blocs, le domaine est divisé en grandes sous-régions, chacune constituant un maillage structuré. Certaines méthodes directes partent d'un maillage par blocs et le déplacent pour l'adapter aux données d'entrée ; voir la génération automatique de maillages hexaédriques basée sur l' algorithme des polycubes . Une autre méthode directe consiste à découper les cellules structurées par la frontière du domaine ; voir la méthode de sculpture basée sur l'algorithme des cubes en marche .
Certains types de maillages sont bien plus difficiles à créer que d'autres. Les maillages simpliciaux sont généralement plus simples que les maillages cubiques. Une catégorie importante consiste à générer un maillage hexaédrique conforme à un maillage de surface quadrangulaire fixe ; un sous-domaine de recherche étudie l'existence et la génération de maillages de petites configurations spécifiques, comme le trapézoèdre tétragonal . En raison de la difficulté de ce problème, l'existence de maillages hexaédriques combinatoires a été étudiée indépendamment du problème de la génération de bonnes réalisations géométriques ; voir Techniques combinatoires pour la génération de maillages hexaédriques . Si les algorithmes connus génèrent des maillages simpliciaux avec une qualité minimale garantie, de telles garanties sont rares pour les maillages cubiques, et de nombreuses implémentations courantes génèrent des hexaèdres inversés (à l'envers) à partir de certaines entrées.
Les maillages sont souvent créés séquentiellement sur des stations de travail, même si les calculs ultérieurs sur ce maillage seront effectués en parallèle sur des supercalculateurs. Ceci s'explique à la fois par le caractère interactif de la plupart des générateurs de maillage et par le fait que le temps d'exécution de la génération du maillage est généralement négligeable par rapport au temps de calcul du solveur. Toutefois, si le maillage est trop volumineux pour tenir dans la mémoire d'une seule machine séquentielle, ou s'il doit être modifié (adapté) pendant la simulation, le maillage est alors effectué en parallèle.
méthodes algébriques
La génération de maillage par méthodes algébriques repose sur une fonction d'interpolation mathématique . Elle s'effectue à l'aide de fonctions connues en une, deux ou trois dimensions , en considérant des régions de forme arbitraire. Le domaine de calcul peut ne pas être rectangulaire, mais par souci de simplicité, il est considéré comme tel. Le principal avantage de ces méthodes est qu'elles permettent un contrôle explicite de la forme et de l'espacement du maillage physique. La procédure la plus simple pour produire un maillage de calcul adapté aux frontières est la transformation de normalisation.
Pour une buse, avec la fonction descriptive, la grille peut être facilement générée en utilisant une division uniforme dans la direction y avec des incréments équidistants dans la direction x , qui sont décrits par
où désigne la coordonnée y de la paroi de la buse. Pour des valeurs données de ( , ), les valeurs de ( , ) peuvent être facilement retrouvées.
Méthodes d'équations différentielles
À l'instar des méthodes algébriques, les méthodes d'équations différentielles sont également utilisées pour générer des maillages. L'avantage d'utiliser les équations aux dérivées partielles (EDP) réside dans le fait que la solution des équations génératrices de maillage peut être exploitée pour générer le maillage. La construction de maillage peut être réalisée à l'aide des trois classes d' équations aux dérivées partielles .
Schémas elliptiques
Les EDP elliptiques admettent généralement des solutions très régulières, ce qui conduit à des contours lisses. Tirant parti de cette régularité, les équations de Laplace sont privilégiées car leur jacobien s'avère positif, conformément au principe du maximum pour les fonctions harmoniques . Après les travaux approfondis de Crowley (1962) et Winslow (1966) sur les EDP, consistant à transformer le domaine physique en un plan de calcul par la méthode de Poisson , Thompson et al. (1974) ont étudié en détail les EDP elliptiques pour générer des maillages. Dans les générateurs de maillages de Poisson, la transformation est réalisée en marquant les points du maillage souhaités sur la frontière du domaine physique, la distribution des points intérieurs étant déterminée par la solution des équations ci-dessous.
où les coordonnées dans le domaine de calcul sont notées , tandis que P et Q déterminent l'espacement des points dans D. La transformation des équations ci-dessus dans l'espace de calcul donne un système de deux EDP elliptiques de la forme :
où
Ces systèmes d'équations sont résolus dans le plan de calcul sur une grille uniforme, ce qui nous fournit les coordonnées de chaque point dans l'espace physique. L'avantage d'utiliser des EDP elliptiques réside dans la régularité de la solution associée et, par conséquent, de la grille. Cependant, la spécification de P et Q devient complexe, ce qui constitue un inconvénient supplémentaire. De plus, la grille doit être recalculée à chaque pas de temps, ce qui augmente le temps de calcul.
Schémas hyperboliques
Ce schéma de génération de maillage est généralement applicable aux problèmes à domaines ouverts compatibles avec le type d' EDP décrivant le problème physique. L'avantage des EDP hyperboliques réside dans le fait que les équations régissant le système n'ont besoin d'être résolues qu'une seule fois pour générer le maillage. La distribution initiale des points, associée aux conditions aux limites approchées, constitue l'entrée requise, et la solution est ensuite propagée vers l'extérieur. Steger et Sorenson (1980) ont proposé une méthode d'orthogonalité volumique utilisant des EDP hyperboliques pour la génération du maillage. Pour un problème bidimensionnel, en considérant un espace de calcul défini par , l'inverse du jacobien est donnée par .
où représente l'aire dans l'espace physique pour une aire donnée dans l'espace de calcul. La seconde équation établit un lien entre l'orthogonalité des lignes de la grille à la frontière dans l'espace physique et peut s'écrire :
Pour que les surfaces et soient perpendiculaires, l'équation devient
Le problème lié à ce système d'équations réside dans la spécification de . Un mauvais choix de peut entraîner une propagation abrupte et discontinue de cette information à travers le maillage. L'orthogonalité du maillage permet une génération très rapide, ce qui constitue un avantage de cette méthode.
Schémas paraboliques
La technique de résolution est similaire à celle des EDP hyperboliques : la solution est étendue à partir de la surface de données initiales tout en respectant les conditions aux limites. Nakamura (1982) et Edwards (1985) ont développé les principes fondamentaux de la génération de grilles paraboliques. Cette approche utilise l'équation de Laplace ou l' équation de Poisson , en traitant plus particulièrement les aspects qui régissent le comportement elliptique. Les valeurs initiales sont données par les coordonnées d'un point sur la surface , et les solutions sont étendues à la surface extérieure de l'objet en respectant les conditions aux limites le long des arêtes.
Le contrôle du pas de maillage n'a pas été proposé jusqu'à présent. Nakamura et Edwards ont réalisé ce contrôle en utilisant un pas non uniforme. La génération de maillage parabolique présente l'avantage, par rapport à la génération de maillage hyperbolique, d'éviter les chocs et les discontinuités, et d'obtenir un maillage relativement lisse. La spécification des valeurs initiales et le choix du pas pour contrôler les points du maillage sont toutefois fastidieux, mais ces techniques peuvent s'avérer efficaces avec l'expérience.
Méthodes variationnelles
Cette méthode comprend une technique qui minimise la régularité, l'orthogonalité et la variation de volume du maillage . Elle constitue une plateforme mathématique pour la résolution des problèmes de génération de maillage. Dans cette méthode, un maillage alternatif est généré à chaque itération, et la vitesse de maillage est calculée par intégrales et ainsi réduire le temps de calcul.
Génération de réseau non structurée
L'intérêt principal de ce schéma réside dans sa capacité à générer automatiquement la grille. Grâce à cette méthode, les grilles sont segmentées en blocs selon la surface des éléments, et une structure est mise en place pour garantir une connectivité adéquate. Un solveur de flux de données est utilisé pour interpréter ce flux. Lorsqu'un schéma non structuré est employé, l'objectif principal est de répondre aux besoins de l'utilisateur, et un générateur de grille est utilisé à cette fin. Le stockage des informations dans un schéma structuré s'effectue cellule par cellule et non grille par grille, ce qui nécessite davantage d'espace mémoire. En raison de l'emplacement aléatoire des cellules, l' efficacité du solveur est moindre dans un schéma non structuré que dans un schéma structuré.
Il convient de tenir compte de certains points lors de la construction du maillage . Un maillage à haute résolution pose des difficultés, tant pour les maillages structurés que non structurés. Par exemple, dans le cas de la couche limite , un maillage structuré produit un réseau allongé dans le sens de l'écoulement. En revanche, les maillages non structurés nécessitent une densité de cellules plus élevée dans la couche limite, car les cellules doivent être aussi équilatérales que possible afin d'éviter les erreurs.
Il est nécessaire d'identifier les informations permettant de localiser la cellule et toutes ses voisines dans le maillage de calcul . Les points peuvent être placés arbitrairement n'importe où sur la grille non structurée. Un schéma d'insertion de points est utilisé pour insérer les points indépendamment et déterminer la connectivité des cellules. Cela implique que les points soient identifiés au fur et à mesure de leur insertion.
La logique d'établissement de nouvelles connexions est définie une fois les points insérés. Les données constituant le point de grille qui identifie la cellule sont nécessaires. Chaque cellule est numérotée et les points sont triés. Les informations relatives aux cellules voisines sont également requises.
Grille adaptative
L'un des problèmes liés à la résolution des équations aux dérivées partielles par les méthodes précédentes est que le maillage est construit et les points sont répartis dans le domaine physique avant que les détails de la solution ne soient connus. Par conséquent, le maillage peut ne pas être optimal pour le problème donné.
Les méthodes adaptatives permettent d'améliorer la précision des solutions. On parle de méthode « h » si un raffinement du maillage est utilisé, de méthode « r » si le nombre de points de la grille est fixe et non redistribué, et de méthode « p » si l'ordre du schéma de résolution est augmenté dans la théorie des éléments finis. La résolution des problèmes multidimensionnels par le schéma d'équidistribution peut être réalisée de plusieurs manières. La plus simple consiste à utiliser des générateurs de grille de Poisson dont la fonction de contrôle repose sur l'équidistribution de la fonction de pondération, la diffusion étant un multiple du volume cellulaire souhaité. Le schéma d'équidistribution peut également être appliqué aux problèmes non structurés. La difficulté réside dans les problèmes de connectivité lorsque le déplacement des points de la grille est important.
Cette méthode adaptative permet de résoudre les écoulements stationnaires et de calculer les débits avec précision temporelle. Le maillage est affiné après un nombre prédéterminé d'itérations afin de s'adapter au problème d'écoulement stationnaire. L'ajustement du maillage cesse une fois la solution convergente. Dans le cas d'une précision temporelle, le couplage des équations aux dérivées partielles du problème physique et de celles décrivant le mouvement du maillage est nécessaire.
Maillage basé sur l'image
Apprentissage automatique dans la génération de maillages
Les progrès récents en intelligence artificielle (IA) et en apprentissage automatique (AA) ont considérablement influencé la génération de maillages, automatisant des processus traditionnellement fastidieux et améliorant la précision des simulations numériques. Les techniques basées sur l'IA, telles que les réseaux de neurones et l'apprentissage par renforcement, permettent de prédire les configurations de maillage optimales, d'affiner les maillages de manière adaptative et de réduire l'intervention manuelle dans l'analyse par éléments finis (AEF) et la dynamique des fluides numérique (CFD).
Des entreprises comme NVIDIA, Ansys et Siemens ont intégré des outils de génération de maillage basés sur l'IA dans leurs logiciels de simulation, accélérant ainsi les flux de travail dans les secteurs de l'aérospatiale, de l'automobile et du génie biomédical.
topologie cellulaire
Les cellules sont généralement polygonales ou polyédriques et forment un maillage qui partitionne le domaine. Parmi les éléments bidimensionnels importants, on trouve les triangles (simplexes) et les quadrilatères (carrés topologiques). En trois dimensions, les cellules les plus courantes sont les tétraèdres (simplexes) et les hexaèdres (cubes topologiques). Les maillages simpliciaux peuvent être de dimension quelconque et comprennent notamment les triangles (2D) et les tétraèdres (3D). Les maillages cubiques constituent la catégorie pandimensionnelle qui inclut les quadrilatères (2D) et les hexagones (3D). En 3D, les pyramides à 4 faces et les prismes à 3 faces apparaissent dans les maillages conformes de types cellulaires mixtes.
Dimension cellulaire
Le maillage est intégré dans un espace géométrique généralement bidimensionnel ou tridimensionnel , bien que la dimension soit parfois augmentée d'une unité par l'ajout de la dimension temporelle. Les maillages de dimension supérieure sont utilisés dans des contextes spécifiques. Les maillages unidimensionnels sont également utiles. Une catégorie importante est celle des maillages de surface, qui sont des maillages 2D intégrés dans un espace 3D pour représenter une surface courbe.
Dualité
Les graphes duaux jouent plusieurs rôles dans le maillage. On peut créer un maillage polyédrique de type diagramme de Voronoï en dualisant un maillage simplicial de triangulation de Delaunay . On peut créer un maillage cubique en générant un arrangement de surfaces et en dualisant le graphe d'intersection ; voir le continuum de torsion spatiale . Parfois, le maillage primal et son maillage dual sont utilisés simultanément dans une même simulation ; voir l'opérateur étoile de Hodge . Ceci découle de la physique impliquant les opérateurs de divergence et de rotationnel , tels que le flux et la vorticité ou l'électricité et le magnétisme , où une variable se situe naturellement sur les faces primales et son homologue sur les faces duales.
Type de maille par utilisation
Les maillages tridimensionnels utilisés pour l'analyse par éléments finis doivent être composés de tétraèdres , de pyramides , de prismes ou d'hexaèdres . Ceux utilisés pour la méthode des volumes finis peuvent être constitués de polyèdres quelconques . Ceux utilisés pour les méthodes des différences finies sont constitués de réseaux structurés par morceaux d' hexaèdres , appelés maillages multiblocs. Les pyramides à 4 faces permettent de connecter de manière conforme les hexaèdres aux tétraèdres. Les prismes à 3 faces sont utilisés pour les couches limites conformes à un maillage tétraédrique de l'intérieur de l'objet.
Les maillages de surface sont utiles en infographie lorsque les surfaces des objets réfléchissent la lumière (y compris la diffusion sous la surface ) et qu'un maillage 3D complet n'est pas nécessaire. Ils servent également à modéliser des objets minces, comme les tôles dans l'industrie automobile et les façades de bâtiments en architecture. Les maillages cubiques de haute dimension (par exemple, 17 dimensions) sont courants en astrophysique et en théorie des cordes .
Définition mathématique et variantes
Qu'est-ce qu'un maillage ? Il n'existe pas de définition mathématique universellement acceptée et applicable dans tous les contextes. Cependant, certains objets mathématiques sont clairement des maillages : un complexe simplicial est un maillage composé de simplexes. La plupart des maillages polyédriques (par exemple cubiques) sont conformes, c'est-à-dire qu'ils possèdent la structure cellulaire d'un complexe CW , une généralisation d'un complexe simplicial . Un maillage n'est pas nécessairement simplicial, car un sous-ensemble quelconque de nœuds d'une cellule ne constitue pas forcément une cellule : par exemple, trois nœuds d'un quadrilatère ne définissent pas une cellule. Cependant, deux cellules s'intersectent en des cellules : par exemple, un quadrilatère ne possède pas de nœud à l'intérieur. L'intersection de deux cellules peut être constituée de plusieurs cellules : par exemple, deux quadrilatères peuvent partager deux arêtes. Une intersection constituée de plus d'une cellule est parfois interdite et rarement souhaitée ; l'objectif de certaines techniques d'amélioration de maillage (par exemple, le lissage) est d'éliminer ces configurations. Dans certains contextes, on distingue un maillage topologique d'un maillage géométrique dont l'intégration satisfait certains critères de qualité.
Parmi les variantes de maillage importantes autres que les complexes CW, on trouve les maillages non conformes où les cellules ne se rencontrent pas strictement face à face, mais partitionnent néanmoins le domaine. Un octree en est un exemple : la face d'un élément peut être partitionnée par les faces d'éléments adjacents. Ces maillages sont utiles pour les simulations basées sur les flux. Dans les grilles superposées, plusieurs maillages conformes se chevauchent géométriquement sans partitionner le domaine ; voir par exemple Overflow, le solveur FLOW pour grilles superposées . Les méthodes dites sans maillage utilisent souvent une discrétisation du domaine similaire à un maillage et des fonctions de base à support chevauchant. Parfois, un maillage local est créé près de chaque point de degré de liberté de la simulation ; ces maillages peuvent se chevaucher et être non conformes les uns aux autres.
Les triangulations implicites sont basées sur un complexe delta : pour chaque triangle, les longueurs de ses côtés et une application de collage entre les arêtes des faces. (veuillez développer)
Éléments d'ordre supérieur
De nombreux maillages utilisent des éléments linéaires, où la transformation de l'élément abstrait en élément réalisé est linéaire, et les arêtes du maillage sont des segments rectilignes. Les transformations polynomiales d'ordre supérieur sont courantes, notamment quadratiques. L'objectif principal des éléments d'ordre supérieur est de représenter plus précisément la frontière du domaine, bien qu'ils présentent également des gains de précision à l'intérieur du maillage. L'un des avantages des maillages cubiques réside dans le fait que les éléments cubiques linéaires possèdent certains des mêmes avantages numériques que les éléments simpliciaux quadratiques. Dans la technique de simulation par analyse isogéométrique , les cellules du maillage contenant la frontière du domaine utilisent directement la représentation CAO, sans approximation linéaire ni polynomiale.
Amélioration du maillage
Pour les modifications continues, les nœuds sont déplacés, ou les faces de dimension supérieure sont déplacées en modifiant l'ordre polynomial des éléments. Le déplacement des nœuds pour améliorer la qualité est appelé « lissage » ou « raffinement r », et l'augmentation de l'ordre des éléments est appelée « raffinement p ». Les nœuds sont également déplacés dans les simulations où la forme des objets évolue au fil du temps. Cela dégrade la forme des éléments. Si l'objet se déforme suffisamment, il est entièrement remaillé et la solution actuelle est transférée de l'ancien maillage vers le nouveau.
Communauté de recherche
praticiens
Ce domaine est hautement interdisciplinaire, avec des contributions en mathématiques , en informatique et en ingénierie . La R&D en maillage se distingue par une attention égale portée aux mathématiques et aux calculs discrets et continus, à l'instar de la géométrie algorithmique , mais contrairement à la théorie des graphes (discrète) et à l'analyse numérique (continue). La génération de maillages est d'une complexité trompeuse : il est aisé pour un humain de concevoir le maillage d'un objet donné, mais difficile de programmer un ordinateur pour qu'il prenne des décisions pertinentes à partir d'entrées arbitraires. La nature et les objets artificiels présentent une variété infinie de géométries. Nombre de chercheurs en génération de maillages ont été les premiers utilisateurs de maillages. La génération de maillages continue de bénéficier d'une attention, d'un soutien et d'un financement considérables, car le temps humain nécessaire à la création d'un maillage est bien inférieur au temps requis pour la mise en place et la résolution des calculs une fois le maillage terminé. Cette situation a toujours prévalu depuis l'invention de la simulation numérique et de l'infographie : l'amélioration du matériel informatique et des logiciels de résolution d'équations simples a incité à la création de modèles géométriques plus grands et plus complexes, dans une quête de fidélité accrue, de compréhension scientifique plus approfondie et d'expression artistique.
Revues
Les recherches sur le maillage sont publiées dans un large éventail de revues. Ceci reflète la nature interdisciplinaire de la recherche nécessaire à son développement, ainsi que la grande variété d'applications qui utilisent les maillages. Environ 150 publications sur le maillage paraissent chaque année dans 20 revues, chaque revue publiant au maximum 20 articles. Aucune revue n'est spécialisée dans le maillage. Les revues publiant au moins 10 articles sur le maillage par an sont indiquées en gras.
- Algorithmique
- Journal de la Société d'électromagnétisme computationnel appliqué
- Astronomie et informatique
- Géométrie algorithmique : théorie et applications
- Géométrie discrète et algorithmique
- Ingénierie informatique
- Revue internationale des méthodes numériques en mécanique des fluides
- Revue internationale des méthodes numériques en génie biomédical
- Revue internationale de géométrie computationnelle et applications
- Journal de physique computationnelle (JCP)
- Transactions on Graphics (ACM TOG)
- Transactions on Mathematical Software (ACM TOMS)
- Transactions on Visualization and Computer Graphics (IEEE TVCG)
- Symposium international sur la géométrie algorithmique SoCG
- Géométrie numérique, génération de grilles et calcul scientifique (NUMGRID) (actes de conférence dans SIGGRAPH (actes publiés dans ACM Transactions on Graphics )
- Symposium sur le traitement géométrique SGP ( Eurographics ) (actes du Solid Modeling Association)
- Congrès mondial d'ingénierie
Ateliers
Les ateliers dont le thème principal est le maillage sont indiqués en gras.
- Conférence sur la géométrie : théorie et applications CGTA
- Atelier européen sur la géométrie algorithmique EuroCG
- Atelier d'automne sur la géométrie algorithmique
- Éléments finis dans les fluides (FEF)
- Symposium MeshTrends (organisé en alternance par WCCM ou USNCCM)
- Méthodes des éléments polytopaux en mathématiques et en ingénierie
- Atelier du tétraèdre
- La conférence internationale sur la modélisation et la simulation adaptatives (ADMOS), qui se tient tous les deux ans, a pour principaux thèmes récurrents l'adaptabilité du maillage et l'estimation des erreurs.