entre un {\displaystyle a} et b {\displaystyle b} est la zone jaune (−) soustraite de la zone bleue (+) En mathématiques , une intégrale est l'équivalent continu d'une somme et ...
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entre carré était difficile à reproduire pour les imprimeurs ; ces notations n'ont donc pas été largement adoptées.
Première utilisation du terme
Le terme a été imprimé pour la première fois en latin par Jacob Bernoulli en 1690 : « Ergo et horum Integralia aequantur ».
Terminologie et notation
En général, l'intégrale d'une fonction à valeurs réelles par rapport à une variable réelle sur un intervalle s'écrit comme
Le symbole intégral , appelé différentielle de la variable , indique que la variable d'intégration est . La fonction est appelée l' intégrande , les points et sont appelés les bornes d'intégration, et l'intégrale est dite calculée sur l'intervalle , appelé intervalle d'intégration. Une fonction est dite intégrable au sens de Riemann signifie que les sommes de Riemann supérieure et inférieure convergent sur le domaine, intégrable au sens de Lebesgue signifie que l' intégrale de Lebesgue existe et est finie, etc.) Si des limites sont spécifiées, l'intégrale est dite définie.
Lorsque les limites sont omises, comme dans
L'intégrale ainsi obtenue est dite indéfinie ; elle représente une classe de fonctions (les primitives ) dont la dérivée est l'intégrande. Le théorème fondamental du calcul intégral relie l'évaluation des intégrales définies à celle des intégrales indéfinies. Il existe plusieurs extensions de la notation des intégrales permettant d'inclure l'intégration sur des domaines non bornés et/ou en plusieurs dimensions (voir les sections suivantes de cet article).
Dans les contextes avancés, il n'est pas rare d'omettre lorsqu'on utilise uniquement l' intégrale de Riemann simple , ou lorsque le type exact d'intégrale est sans importance. Par exemple, on pourrait écrire :
Interprétations
Approximations de l'intégrale de de 0 à 1, avec 5 partitions jaunes à l'extrémité droite et 10 partitions vertes à l'extrémité
Les intégrales interviennent dans de nombreuses situations pratiques. Par exemple, connaissant la longueur, la largeur et la profondeur d'une piscine rectangulaire à fond plat, on peut déterminer son volume d'eau, l'aire de sa surface et la longueur de son bord. En revanche, si la piscine est ovale à fond arrondi, le calcul d'intégrales est nécessaire pour obtenir des valeurs exactes et rigoureuses de ces grandeurs. Dans les deux cas, on peut décomposer la grandeur recherchée en une infinité de sous -unités, puis les sommer pour obtenir une approximation précise.
À titre d'exemple supplémentaire, pour trouver l'aire de la région délimitée par le graphique de la fonction , √ 1/5 , √ 2/5 , ..., √ 1 ) et additionner leurs aires pour obtenir l'approximation.
qui est supérieure à la valeur exacte. Par ailleurs, en remplaçant ces sous-intervalles par des intervalles dont la hauteur correspond à l'extrémité gauche de chaque morceau, l'approximation obtenue est trop faible : avec douze sous-intervalles de ce type, l'aire approximée n'est que de 0,6203. Cependant, lorsque le nombre de morceaux tend vers l'infini, il atteint une limite qui correspond à la valeur exacte de l'aire recherchée (dans ce cas,
ce qui signifie que x , multipliée par les largeurs de pas infinitésimales, notées , sur l'intervalle
Sommes de Darboux
Sommes supérieures de Darboux de la fonction y = x²
Sommes inférieures de Darboux de la fonction y = x²
Définitions formelles
Sommes de Riemann convergent
Il existe de nombreuses façons de définir formellement une intégrale, et elles ne sont pas toutes équivalentes. Ces différences visent principalement à traiter des cas particuliers qui ne seraient pas intégrables selon d'autres définitions, mais elles peuvent aussi avoir des implications pédagogiques. Les définitions les plus couramment utilisées sont les intégrales de Riemann et les intégrales de Lebesgue.
Intégrale de Riemann
sur la droite réelle est une suite finie
Cela partitionne l'intervalle en indexés par . Une somme de Riemann d'une fonction
− étiquetée est la largeur du plus grand sous-intervalle formé par la partition, L' intégrale de Riemann d'une fonction est égale à 0 il existe0 de sorte que, pour toute partition étiquetée
Intégrale de Lebesgue
, on partitionne le domaine a , b ] en sous-intervalles », tandis que pour l'intégrale de Lebesgue, « on partitionne en réalité l'image de d'un intervalle est sa largeur, , de sorte que l'intégrale de Lebesgue coïncide avec l'intégrale de Riemann (propre) lorsqu'elles existent toutes deux . Dans des cas plus complexes, les ensembles mesurés peuvent être très fragmentés, sans continuité et sans ressemblance avec des intervalles.
En utilisant le principe de « partitionnement de l'image de : ℝ → ℝ doit être la somme, sur et . Cette aire est simplement : f ( x ) > t } dt . Soit : f ( x ) > t } . L'intégrale de Lebesgue de
où l'intégrale de droite est une intégrale de Riemann impropre ordinaire ( est une fonction positive strictement décroissante, et possède donc une intégrale de Riemann impropre bien définie). Pour une classe appropriée de fonctions (les fonctions mesurables ), cela définit l'intégrale de Lebesgue.
Une fonction mesurable générale et l' axe
Dans ce cas, l'intégrale est, comme dans le cas riemannien, la différence entre l'aire au-dessus de l' axe :
Bien que les intégrales de Riemann et de Lebesgue soient les définitions de l'intégrale les plus couramment utilisées, il en existe un certain nombre d'autres, notamment :
L' intégrale de Darboux , définie par les sommes de Darboux (sommes de Riemann restreintes), est équivalente à l' intégrale de Riemann . Une fonction est Darboux-intégrable si et seulement si elle est Riemann-intégrable. Les intégrales de Darboux ont l'avantage d'être plus faciles à définir que les intégrales de Riemann.
L' intégrale de Riemann-Stieltjes est une extension de l'intégrale de Riemann qui intègre par rapport à une fonction plutôt qu'à une variable.
L' intégrale de chemin rugueux , qui est définie pour les fonctions dotées d'une structure de « chemin rugueux » supplémentaire et généralise l'intégration stochastique à la fois aux semi-martingales et aux processus tels que le mouvement brownien fractionnaire .
L'ensemble des fonctions intégrables au sens de Riemann sur un intervalle fermé forme un espace vectoriel muni des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire, ainsi que de l'intégration.
est une forme linéaire sur cet espace vectoriel. Ainsi, l'ensemble des fonctions intégrables est fermé par combinaison linéaire , et l'intégrale d'une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des intégrales :
De même, l'ensemble des fonctions à valeurs réelles Lebesgue-intégrables sur un espace mesuré est stable par combinaison linéaire et forme donc un espace vectoriel, et l'intégrale de Lebesgue est définie comme suit :
est une fonctionnelle linéaire sur cet espace vectoriel, de sorte que :
qui est compatible avec les combinaisons linéaires. Dans ce cas, la linéarité est vérifiée pour le sous-espace des fonctions dont l'intégrale est un élément de est , , ou une extension finie du corps des nombres p-adiques , et , et lorsque et , généralisée par Nicolas Bourbaki aux fonctions à valeurs dans un espace vectoriel topologique localement compact. Voir
Bornes supérieure et inférieure. Une fonction intégrable a , b ] est nécessairement bornée sur cet intervalle. Il existe donc des nombres réels tels que pour tout a , b ] . Puisque les sommes inférieure et supérieure de a , b ] sont respectivement bornées par et , il s'ensuit que
Inégalités entre fonctions. Si pour chaque a , b ], alors chacune des sommes supérieures et inférieures de . Ainsi . De plus, si l'inégalité entre fonctions est stricte, alors l'inégalité entre intégrales l'est également. Autrement dit, si pour tout a , b ] , alors
Sous-intervalles. Si c , d ] est un sous-intervalle de a , b ] et si ( x ) est non négative pour tout
Produits et valeurs absolues des fonctions. Si sont deux fonctions, on peut considérer leurs produits termes à terme , leurs puissances et leurs valeurs absolues : , alors il en va de même pour f | , et
sur un intervalle est définie si b . Cela signifie que les sommes supérieure et inférieure de la fonction les valeurs sont croissantes. Géométriquement, cela signifie que l'intégration se fait « de gauche à droite », en évaluant indice inférieur. Les valeurs , les bornes de l' intervalle , sont appelées les bornes d'intégration f b :
Avec , cela implique :
La première convention est nécessaire pour considérer les intégrales calculées sur des sous-intervalles de ; la seconde stipule qu'une intégrale calculée sur un intervalle dégénéré, ou sur un point , doit être nulle . L'une des raisons de la première convention est que l'intégrabilité de implique que , mais en particulier, les intégrales ont la propriété que si , alors :
Avec la première convention, la relation résultante
est alors bien définie pour toute permutation cyclique de et
Le théorème fondamental du calcul intégral stipule que la différentiation et l'intégration sont des opérations inverses : si l'on intègre puis différencie une fonction continue , on retrouve la fonction originale. Une conséquence importante, parfois appelée le second théorème fondamental du calcul intégral , permet de calculer des intégrales à l'aide d'une primitive de la fonction à intégrer.
Premier théorème
Soit . Soit dans , par
Alors, , différentiable sur l'intervalle ouvert , et
pour tout .
Deuxième théorème
Soit ] qui admet une primitive . Autrement dit, sont des fonctions telles que pour tout ,
Si alors
Extensions
Intégrales impropres
possède des intervalles illimités pour le domaine et l'image.
Une intégrale de Riemann « propre » suppose que l'intégrande est définie et finie sur un intervalle fermé et borné, délimité par les bornes d'intégration. Une intégrale est dite impropre lorsqu'une ou plusieurs de ces conditions ne sont pas satisfaites. Dans certains cas, de telles intégrales peuvent être définies en considérant la limite d'une suite d' intégrales de Riemann propres sur des intervalles de plus en plus grands.
Si l'intervalle n'est pas borné, par exemple à son extrémité supérieure, alors l'intégrale impropre est la limite lorsque cette extrémité tend vers l'infini :
Si l'intégrande n'est définie ou finie que sur un intervalle semi-ouvert, par exemple , alors une limite peut à nouveau fournir un résultat fini :
Autrement dit, l'intégrale impropre est la limite des intégrales propres lorsque l'une des extrémités de l'intervalle d'intégration tend vers un nombre réel spécifié , ou . Dans des cas plus complexes, on exige des limites aux deux extrémités, ou en des points intérieurs.
Intégration multiple
De même que l'intégrale définie d'une fonction positive d'une variable représente l' aire de la région comprise entre la courbe représentative de la fonction et l' axe des abscisses , l' intégrale double d'une fonction positive de deux variables représente le volume de la région comprise entre la surface définie par la fonction et le plan contenant son domaine. Par exemple, une fonction à deux dimensions dépend de deux variables réelles, x et y , et l'intégrale d'une fonction f sur le rectangle R est donnée comme le produit cartésien de deux intervalles.
où la différentielle indique que l'intégration est effectuée par rapport à l'aire. Cette intégrale double peut être définie à l'aide de sommes de Riemann et représente le volume (signé) sous la courbe de sur le domaine R. Sous certaines conditions (par exemple, si f est continue), le théorème de Fubini stipule que cette intégrale peut être exprimée comme une intégrale itérée équivalente .
Cela ramène le problème du calcul d'une intégrale double au calcul d'intégrales unidimensionnelles. C'est pourquoi une autre notation pour l'intégrale sur R utilise un signe d'intégrale double :
L'intégration sur des domaines plus généraux est possible. L'intégrale d'une fonction f , par rapport au volume, sur une région D à n dimensions de
Intégrales curvilignes et intégrales de surface
peut s'exprimer (en termes de grandeurs vectorielles) comme suit
Pour un objet se déplaçant le long d'une trajectoire dans un champ vectoriel tel qu'un champ électrique ou un champ gravitationnel , le travail total effectué par le champ sur l'objet est obtenu en sommant le travail différentiel effectué pour passer de à . Ceci donne l'intégrale de ligne
La définition de l'intégrale de surface repose sur la division de la surface en petits éléments de surface.
L' intégrale de surface généralise les intégrales doubles à l'intégration sur une surface (qui peut être un ensemble courbe dans l'espace ) ; elle peut être vue comme l' analogue, pour l' intégrale double, de l' intégrale curviligne . La fonction à intégrer peut être un champ scalaire ou un champ vectoriel . La valeur de l'intégrale de surface est la somme des intégrales du champ en tous les points de la surface. Ceci peut être réalisé en décomposant la surface en éléments de surface, qui constituent le partitionnement des sommes de Riemann.
À titre d’exemple d’application des intégrales de surface, considérons un champ vectoriel sur une surface ; autrement dit, pour chaque point de , est un vecteur. Imaginons qu’un fluide s’écoule à travers , de sorte que détermine la vitesse du fluide en par unité de temps. Pour calculer le flux, il faut effectuer le produit scalaire de avec la normale unitaire à la surface en chaque point, ce qui donne un champ scalaire, lequel est intégré sur la surface :
Dans cet exemple, le flux de fluide peut provenir d'un fluide physique tel que l'eau ou l'air, ou d'un flux électrique ou magnétique. Les intégrales de surface trouvent donc des applications en physique, notamment dans le cadre de la théorie classique de l'électromagnétisme .
Intégrales de contour
et non une fonction réelle d'une variable réelle Dans le plan complexe, l'intégrale est notée comme suit
où E , F et G sont des fonctions à trois dimensions. Une 1-forme différentielle peut être intégrée sur un chemin orienté, et l'intégrale résultante est une autre façon d'écrire une intégrale curviligne. Ici, les différentielles élémentaires dx , dy et dz mesurent des longueurs orientées infinitésimales parallèles aux trois axes de coordonnées.
Une 2-forme différentielle est une somme de la forme
Voici les deux formes de base
Contrairement au produit vectoriel et au calcul vectoriel tridimensionnel, le produit extérieur et le calcul des formes différentielles sont valables en dimension arbitraire et sur des variétés plus générales (courbes, surfaces et leurs analogues de dimension supérieure). La dérivée extérieure joue le rôle du gradient et du rotationnel du calcul vectoriel, et le théorème de Stokes généralise simultanément les trois théorèmes du calcul vectoriel : le théorème de la divergence , le théorème de Green et le théorème de Kelvin-Stokes .
Sommaires
Une intégration effectuée non pas sur une variable (ou, en physique, sur une dimension spatiale ou temporelle), mais sur un espace de fonctions , est appelée intégrale fonctionnelle .
Applications
Les intégrales sont largement utilisées dans de nombreux domaines. Par exemple, en théorie des probabilités , elles permettent de déterminer la probabilité qu'une variable aléatoire appartienne à un intervalle donné. De plus, l'intégrale sous une fonction de densité de probabilité complète doit être égale à 1, ce qui permet de vérifier si une fonction sans valeurs négatives peut être une fonction de densité.
Les intégrales permettent de calculer l' aire d'une région bidimensionnelle à frontière courbe, ainsi que le volume d'un objet tridimensionnel à frontière courbe. L'aire d'une région bidimensionnelle peut être calculée à l'aide de l'intégrale définie mentionnée précédemment. Le volume d'un objet tridimensionnel, tel qu'un disque ou une rondelle, peut être calculé par intégration sur un disque à l'aide de l'équation du volume d'un cylindre.
La technique la plus élémentaire pour calculer les intégrales définies d'une variable réelle repose sur le théorème fondamental du calcul intégral . Soit la fonction de . On cherche alors une primitive de telle que sur l'intervalle. Si l'intégrande et l'intégrale ne présentent aucune singularité sur le chemin d'intégration, d'après le théorème fondamental du calcul intégral,
Il existe des méthodes alternatives pour calculer des intégrales plus complexes. De nombreuses intégrales non élémentaires peuvent être développées en série de Taylor et intégrées terme à terme. Dans certains cas, la série infinie ainsi obtenue peut être sommée analytiquement. La méthode de convolution utilisant les fonctions G de Meijer peut également être employée, à condition que l'intégrande puisse s'écrire comme un produit de fonctions G de Meijer. Il existe aussi de nombreuses méthodes moins courantes pour calculer des intégrales définies ; par exemple, l'identité de Parseval permet de transformer une intégrale sur un domaine rectangulaire en une somme infinie. Parfois, une intégrale peut être évaluée par une astuce ; pour un exemple, voir l'intégrale de Gauss .
Les résultats spécifiques obtenus par diverses techniques sont rassemblés dans la liste des intégrales .
Symbolique
Méthodes de quadrature numérique : méthode des rectangles, méthode des trapèzes, méthode de Romberg (avec un nombre de segments variable), quadrature de Gauss
Les intégrales définies peuvent être approchées par plusieurs méthodes d' intégration numérique . La méthode des rectangles consiste à diviser la région sous la courbe de la fonction en une série de rectangles correspondant aux valeurs de la fonction, puis à multiplier par le pas d'intégration pour obtenir la somme. Une approche plus performante, la méthode des trapèzes , remplace les rectangles utilisés dans une somme de Riemann par des trapèzes. Cette méthode pondère les première et dernière valeurs par un demi, puis multiplie par le pas d'intégration pour obtenir une meilleure approximation. L'idée sous-jacente à la méthode des trapèzes, selon laquelle des approximations plus précises de la fonction conduisent à de meilleures approximations de l'intégrale, peut être étendue : la méthode de Simpson approxime l'intégrande par une fonction quadratique par morceaux.
Les sommes de Riemann, la méthode des trapèzes et la méthode de Simpson sont des exemples de formules de quadrature appartenant à la famille des formules de Newton-Cotes . La formule de quadrature de Newton-Cotes de degré . Ce polynôme est choisi pour interpoler les valeurs de la fonction sur l'intervalle. Les approximations de Newton-Cotes de degré supérieur peuvent être plus précises, mais elles nécessitent davantage d'évaluations de la fonction et peuvent souffrir d'imprécisions numériques dues au phénomène de Runge . Une solution à ce problème est la quadrature de Clenshaw-Curtis , dans laquelle l'intégrande est approchée par un développement en polynômes de Tchebychev .
de Romberg divise par deux la largeur pas, fournissant des approximations trapézoïdales notées , , etc., où est la moitié de Pour chaque nouvelle taille de pas, seule la moitié des nouvelles valeurs de la fonction doivent être calculées ; les autres sont conservées de la taille précédente. On interpole ensuite un polynôme travers ces approximations, puis on extrapole jusqu'à . La quadrature de Gauss évalue la fonction aux racines d'un ensemble de polynômes orthogonaux . Une méthode de Gauss .
Le calcul d'intégrales de dimension supérieure (par exemple, les calculs de volume) fait un usage important d'alternatives telles que l'intégration de Monte Carlo .
Mécanique
L'aire d'une forme bidimensionnelle quelconque peut être déterminée à l'aide d'un instrument de mesure appelé planimètre . Le volume d'objets de forme irrégulière peut être mesuré avec précision grâce au volume de fluide déplacé lors de l'immersion de l'objet.
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entre carré était difficile à reproduire pour les imprimeurs ; ces notations n'ont donc pas été largement adoptées. 
0 il existe
0 de sorte que, pour toute partition étiquetée
0,\\0,&{ ext{sinon,}}\end{cases}}\\&f^{-}(x)&&{}={}\max\{-f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}-f(x),&{ ext{si }}f(x)<0,\\0,&{ ext{sinon.}}\end{cases}}\end{alignedat 
possède des intervalles illimités pour le domaine et l'image.
Dans le plan complexe, l'intégrale est notée comme suit
Cela peut également être appliqué aux intégrales fonctionnelles , permettant de les calculer par différentiation fonctionnelle .